लगभग # पी-कठिन समस्याएं

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शास्त्रीय # पी-पूर्ण समस्या पर विचार करें # 3SAT, अर्थात, चरों के साथ 3CNF को संतोषजनक बनाने के लिए मूल्यांकन की संख्या की गणना करना । मैं additive सन्निकटन में रुचि रखता हूं । स्पष्ट रूप से, -रोर को प्राप्त करने के लिए एक तुच्छ एल्गोरिथ्म है , लेकिन यदि , तो क्या एक कुशल सन्निकटन एल्गोरिथ्म होना संभव है, या यह समस्या भी # P-hard है ? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— user0928
स्रोत

यदि , तो एडिक्टिव एरर साथ पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म है । यदि , तो एडिटिव एरर साथ रैंडमाइज्ड पॉली-टाइम एल्गोरिदम होगा । जब काफी छोटा होता है (लेकिन बहुपत्नी छोटा नहीं होता), तो मैं इसे NP- हार्ड नहीं बल्कि # P- हार्ड होने की उम्मीद करूंगा, क्योंकि #P कठोरता आमतौर पर एक सटीक गणना होने पर निर्भर करती है।

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— थॉमस

क्या आप पहले दो दावों के लिए संदर्भ प्रदान कर सकते हैं? क्षमा करें, मैं एक शुरुआत हूं ...

— user0928

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हम # 3SAT में additive सन्निकटन में रुचि रखते हैं। यानी वेरिएबल्स पर 3CNF दिए जाने से एडिटिंग एरर तक संतोषजनक असाइनमेंट (इसे ) कॉल करें । $\phi$ $n$ $a$ $k$

इसके लिए कुछ बुनियादी परिणाम इस प्रकार हैं:

केस 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

यहाँ एक नियतकालिक पाली-टाइम एल्गोरिथ्म है: । अब मनमाना इनपुट पर उदाहरण के लिए मूल्यांकन करें (जैसे लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहला इनपुट)। मान लीजिए इन आदानों की संतुष्ट । फिर हम जानते हैं क्योंकि कम से कम संतोषजनक असाइनमेंट और क्योंकि कम से कम असंतोषजनक असाइनमेंट हैं। इस अंतराल की लंबाई । इसलिए अगर हम midpoint आउटपुट करते हैं तो यह भीतर है $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$ आवश्यकतानुसार सही उत्तर।

केस 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

यहाँ हमारे पास एक यादृच्छिक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म है: random points पर मूल्यांकन करें । Let और । हम उत्पादन करते हैं । इसके लिए त्रुटि करने के लिए अधिकांश हमें आवश्यकता है जो कि बराबर हैएक चेर्नॉफ़ बाउंड द्वारा , as $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ । इसका तात्पर्य यह है कि, यदि हम चुनते हैं (और सुनिश्चित करें कि की एक शक्ति है ), तो प्रायिकता के साथ कम से कम , त्रुटि सबसे अधिक है ।

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

केस 3: के लिए $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

इस मामले में समस्या # पी-हार्ड है: हम # 3SAT से कमी करेंगे। चर पर 3CNF लें । उठाओ ऐसी है कि - इस आवश्यकता। चलो को छोड़कर अब वेरिएबल पर है, बजाय । यदि में संतोषजनक कार्य हैं, तो में संतोषजनक कार्य हैं, क्योंकि "मुक्त" चर किसी संतोषजनक कार्य में कोई भी मान ले सकते हैं। अब मान लें कि हमारे पास है $\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ - जो कि additive error साथ के संतोषजनक कार्य की संख्या का एक अनुमान है । तब चूँकि एक पूर्णांक है, इसका मतलब है कि हम का सटीक मान से निर्धारित कर सकते हैं । # P- पूर्ण समस्या # 3SAT को हल करने वाले entails का सटीक मान निर्धारित करने वाला एल्गोरिथम । इसका अर्थ है कि यह P गणना करने के लिए # पी-हार्ड है । $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— थॉमस
स्रोत

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यहाँ बोर्डीविच, फ्रीडमैन, लोवेज़ और वेल्श का संदर्भ है जो इस विषय को कुछ हद तक विकसित करता है।

— मार्टिन श्वार्ज़
स्रोत