होमोटोपी प्रकार का सिद्धांत और गोडेल का अधूरा सिद्धांत

Question

कर्ट गोडेल की अपूर्णता प्रमेय "अंकगणित करने में सक्षम सभी तुच्छ स्वयंसिद्ध प्रणालियों की" सभी अंतर्निहित सीमाओं को स्थापित करती है।

होमोटॉपी टाइप थ्योरी गणित के लिए एक वैकल्पिक आधार प्रदान करती है, उच्चतर प्रेरक प्रकारों पर आधारित एक असमान नींव और एकरूपता स्वयंसिद्ध है । Hott पुस्तक बताते हैं कि प्रकार के उच्च groupoids कार्यों functors कर रहे हैं, प्रकार परिवारों फाई brations, आदि कर रहे हैं,

जेरेमी एवीगाड और जॉन हैरिसन द्वारा सीएसीएम में हाल ही में "औपचारिक रूप से सत्यापित गणित" का लेख औपचारिक रूप से सत्यापित गणित और स्वचालित प्रमेय साबित करने के संबंध में HoTT पर चर्चा करता है।

क्या Gödel की अपूर्णता प्रमेय HoTT पर लागू होती है?

और अगर वे करते हैं,

क्या गोड्डेल की अपूर्णता प्रमेय (औपचारिक रूप से सत्यापित गणित के संदर्भ में) द्वारा समरूप प्रकार का सिद्धांत है?

Comments

दिलचस्प सवाल। क्या आपके द्वारा पढ़ा गया कुछ ऐसा है जो HTT Godel Incompleteness से पीड़ित नहीं है ? (ध्यान दें कि नींव में पिछले प्रयास - जैसे सेट सिद्धांत - गोडेल अपूर्णता से भी पीड़ित हैं ...)

— जोशुआ ग्रूचो

Answer 1

HoTT, Gödel अपूर्णता से "पीड़ित" है, निश्चित रूप से, यह एक अनिवार्य रूप से गणना करने योग्य भाषा और अनुमान के नियम हैं, और हम इसमें अंकगणित को औपचारिक रूप दे सकते हैं। HoTT पुस्तक के लेखकों को इसकी अपूर्णता के बारे में पूरी तरह से पता था। (वास्तव में, यह काफी स्पष्ट है, खासकर जब आधे लेखक किसी प्रकार के तर्कशास्त्री होते हैं)।

लेकिन क्या अधूरापन "हानि" HoTT है? इससे अधिक कोई अन्य औपचारिक प्रणाली नहीं है, और मुझे लगता है कि पूरा मुद्दा थोड़ा गुमराह करने वाला है। मुझे एक सादृश्य की कोशिश करो। मान लीजिए आपके पास एक कार है जो आपको ग्रह पर हर जगह नहीं ले जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह खड़ी दीवार पर नहीं चढ़ सकता। क्या कार "बिगड़ा हुआ" है? बेशक, यह आपको एम्पायर स्टेट बिल्डिंग के शीर्ष पर नहीं पहुंचा सकता है। क्या कार बेकार है? दूर से, यह आपको कई अन्य दिलचस्प स्थानों पर भी ले जा सकता है। यह उल्लेख नहीं है कि एम्पायर स्टेट बिल्डिंग में लिफ्ट हैं।

Comments

मुझे नहीं लगता कि कार की सादृश्य काफी काम करती है क्योंकि सवाल इतना अधिक नहीं है "क्या कार बेकार है?" लेकिन "क्या कार नींव परिवहन के रूप में काम कर सकती है?" लेकिन, किसी भी मामले में, मूल बिंदु यह खड़ा है कि कोई भी प्रणाली जो गणित की नींव रखने जा रही है, वह अनिवार्य रूप से अपूर्ण है।

— डेविड रिचरबी

मेरा कहना था कि लोग एक सही परिवहन मशीन की मौजूदगी की उम्मीद नहीं करते हैं, और न ही वे चिंता करते हैं कि कोई एक नहीं है, लेकिन किसी तरह वे इस तथ्य के बारे में चिंता करते हैं कि गणित की कोई (उचित) नींव पूरी नहीं है।

— लेडी बाउर