कुशलता से एन के बिट्स हो रहे हैं! ?

11

यह देखते हुए और , प्राप्त करने के लिए यह संभव है के 'वें बिट (या किसी भी छोटे आधार का अंक) / समय / स्थान में , जहां और में कुछ बहुपद समारोह है ? $N$ $M$ $M$ $N!$ $O( p( ln(N), ln(M) ) )$ $p(x, y)$ $x$ $y$

यानी यह देखते हुए , (साथ , ), खोजने सा की में । $N = 2^\eta$ $M = 2^\mu$ $N$ $M \in \mathbb{Z}$ $2^\mu$ $(2^\eta)!$ $O( p(\eta, \mu) )$

नोट: मैंने यहां mathoverflow.net पर यह पूछा है और मुझे कोई उत्तर नहीं मिला है इसलिए मैंने क्रॉस-पोस्ट किया है।

दूसरी साइट पर टिप्पणी से , जीन कोप्प बताते हैं कि स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके मॉड्यूलर अंकगणितीय और उच्च क्रम बिट्स करके एक व्यक्ति निचले क्रम के बिट्स की कुशलता से गणना कर सकता है, इसलिए यह प्रश्न वास्तव में है 'कोई व्यक्ति मध्य क्रम बिट्स की कुशलता से गणना कैसे कर सकता है?' ।

ds.algorithms nt.number-theory

— user834
स्रोत

13

डिक लिपटन ने 2009 में फैक्टरियल फंक्शन और फैक्टरिंग के बीच संबंधों पर एक सुंदर पोस्ट की है । वहाँ बहुत कुछ है जो इस प्रश्न से असंबंधित है, लेकिन एक मुख्य बिंदु यह प्रमेय है:

यदि चरणों में एक सीधी-रेखा अंकगणितीय संगणना द्वारा गणना की जा सकती है , फिर फैक्टरिंग में बहुपद आकार के सर्किट होते हैं। $n!$ $O(\log^{c} n)$

मुझे संदेह है कि यह इस बात का सबूत है कि आपका प्रश्न, विशेष रूप से आपके द्वारा उल्लिखित समय सीमा के भीतर, इसका उत्तर देना मुश्किल है।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

1

धन्यवाद, यह ठीक उसी प्रकार का उत्तर है जिसकी मुझे तलाश थी। यह सीधे मेरे सवाल का जवाब नहीं देता है और मैं बिल्कुल नहीं देखता कि दोनों को कैसे जोड़ा जाए, लेकिन यह मेरे दिमाग को आराम देने के लिए काफी करीब है।

— user834

3

$p$

$p$ $(p^2)$ $p^2$ $p$ $N!$ $X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$ $\log_p(N!)$ $\ln N! \approx N \ln N - N$ $p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$ $1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$ $\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$ $i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

$X_p$ $N!$ $p$

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत