उदाहरण के लिए जहां आगमनात्मक प्रकारों में सख्त सकारात्मकता की स्थिति का उल्लंघन असंगतता की ओर जाता है

Question

अधिकांश आश्रित टाइप की गई प्रणालियों में प्रेरक प्रकारों के लिए एक सख्त सकारात्मकता की स्थिति होती है। क्या किसी को एक उदाहरण पता है जहां स्थिति का उल्लंघन प्रणाली में असंगति की ओर जाता है?

Answer 1

वास्तव में सख्त सकारात्मकता को आराम करना और सुसंगत बने रहना संभव है। उदाहरण के लिए, यह केवल सकारात्मकता की स्थिति का सामना करता है। यही है, हम टाइप परिभाषाओं को स्वीकार कर सकते हैं जैसे

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

जहाँ पुनरावर्ती प्रकार चर एक समान संख्या में तीर के बाईं ओर होते हैं और स्थिरता बनाए रखते हैं।

हालांकि, इस प्रकार के आगमनात्मक प्रकार की अनुमति देने वाले सिद्धांतों में सेट-सिद्धांत मॉडल नहीं हैं - आप सेट के रूप में सेट और शब्दों के रूप में प्रकारों की व्याख्या नहीं कर सकते। इस मामले में, हम कह रहे हैं कि अपनी दोहरी-शक्तियाँ (अर्थात, ) है, और यह कैंटर के प्रमेय का उल्लंघन करती है ।$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

चूंकि आश्रित प्रकार के सिद्धांतों को अक्सर गणित को औपचारिक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है, उनके डिजाइनर आमतौर पर सिद्धांतों को जोड़ने में संकोच करते हैं जो एक सेट-प्रमेय शब्दार्थ के साथ संगत नहीं होते हैं, भले ही वे सुसंगत हों।

संपादित करें: मैं इस संपादित को जोड़ रहा हूँ, जो कि फर्न के सवाल के जवाब में है। यदि आप इसे कहते हैं, तो टाइप सुसंगत है ; इसके साथ कोई समस्या नहीं हैं। हमें केवल एक समस्या है अगर हम गैर-सख्त सकारात्मकता को बाहर रखे गए मध्य के साथ जोड़ते हैं।$T$

क्यों सुरक्षित है के लिए अंतर्ज्ञान (आईएमओ) सबसे अच्छा पैरामीट्रिकिटी के लेंस के माध्यम से देखा जाता है। सिस्टम एफ में, हम पैरामीट्रिकिटी का उपयोग करके दिखा सकते हैं कि किसी भी निश्चित फ़ंक्टर , टाइप करें वास्तव में एक आगमनात्मक प्रकार है।$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

अब, याद रखें कि एक निश्चित फ़नकार एक प्रकार का ऑपरेटर , साथ में एक ऑपरेटर functoriality की स्थिति संतोषजनक (यानी, और )।$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

अब, हम डबल पॉवरसेट के लिए एक प्रकार के ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

और क्योंकि केवल सकारात्मक रूप से होता है, हम इसके लिए एक मानचित्र ऑपरेटर को भी परिभाषित कर सकते हैं:$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

तो हम जानते हैं कि एक वैध प्रेरक प्रकार है।$T = \mu C$

Comments

क्या हम एक ऐसे उदाहरण के साथ आ सकते हैं जो अपने आप में एक असंगति पैदा करता है? आपका उदाहरण असंगत है अगर हम भी (पर्याप्त) को बीच में छोड़ दें।

— गर्लफ्रेंड बाउर

एक और कारण यह है कि हम एगाडा में एफएएन प्रमेय जोड़ सकते हैं, जिसके बाद हम यह साबित कर सकते हैं कि प्रश्न में प्रकार प्राकृतिक संख्या में (आइसोमॉर्फिक) है।

— बाउर

मैं सोच रहा हूँ बहुत बुरा होना चाहिए। $\mu \alpha . (\alpha \to 2) \to \alpha$

— बालि बाउर

आह, मैंने सवाल गलत समझा - मुद्दा यह है कि सख्त सकारात्मकता एक पर्याप्त लेकिन आवश्यक स्थिति नहीं है। आपका उदाहरण (वास्तविक नकारात्मक घटना के साथ) असंगत है।

— नील कृष्णस्वामी

हाँ, मुझे बस एहसास हुआ। मेरे उदाहरण में पानी नहीं है।

— बाउर