हम मानते हैं कि बढ़त भार सकारात्मक पूर्णांक हैं। एज वेट के साथ एक निर्देशित ग्राफ जी को देखते हुए , ई बढ़त को अतिरेक कहिए, यदि ई किसी भी न्यूनतम वजन से संबंधित नहीं है, तो यह जी के सबग्राफ में मजबूती से जुड़ा हुआ है ।
हम दावा करते हैं कि जब तक पी = एनपी नहीं होता है, तब तक कोई बहुपद-समय एल्गोरिथ्म नहीं होता है जो हमेशा किनारे के भार के साथ दिए गए निर्देशित ग्राफ में एक निरर्थक बढ़त पाता है जब तक कि एक है। ज्यादा ठीक:
प्रमेय । एज वेट के साथ एक निर्देशित ग्राफ G को देखते हुए , यह G में एक निरर्थक बढ़त खोजने के लिए NP-कठिन है या यह घोषणा करता है कि G में निरर्थक किनारे नहीं हैं।
सबूत । मुख्य अवलोकन यह है कि यदि जी में एक अद्वितीय न्यूनतम वजन वाला दृढ़ता से जुड़ा हुआ फैले सबग्राफ है, तो आप एक-एक करके अनावश्यक किनारों को हटाकर उस सबग्राफ की गणना कर सकते हैं। इसलिए, यह दर्शाता है कि अद्वितीयता न्यूनतम-वजन वाले दृढ़ता से जुड़े फैले हुए सबग्राफ समस्या को आसान नहीं बनाती है, लेकिन यह अगले लेम्मा द्वारा साबित होता है। QED ।
लेम्मा । एज वेट के साथ एक निर्देशित ग्राफ जी को देखते हुए , यह एनपी-हार्ड है, जो कि इस वादे के तहत भी जी के न्यूनतम वजन-दृढ़ता से जुड़े फैले सबग्राफ के वजन की गणना करने के लिए है कि जी के पास एक अद्वितीय न्यूनतम-वजन दृढ़ता से जुड़ा हुआ फैले सबग्राफ है।
सबूत । जैसा कि आप जानते हैं , हैमिल्टन सर्किट की समस्या में कमी से वादे के बिना समस्या एनपी-हार्ड (इकाई-वजन के मामले के लिए भी) है। हम वादा के साथ समस्या के बिना समस्या को कम करते हैं।
आज्ञा देना जी एक निर्देशित ग्राफ के साथ बढ़त वजन है। के किनारों को लेबल करें जी द्वारा ई 0 , ई 1 , ..., ई मीटर -1 , जहां मीटर में किनारों की संख्या है जी । चलो डब्ल्यू मैं बढ़त के दिए गए वजन होना ई मैं । नई वजन चलो डब्ल्यू ' मैं 2 = मीटर डब्ल्यू मैं +2 मैं । फिर यह सत्यापित करना आसान है कि नए वजन के साथ जी में एक अद्वितीय न्यूनतम-वजन दृढ़ता से जुड़ा हुआ फैले सबग्राफ है। यह सत्यापित करना भी आसान है कि न्यूनतम वजनडब्ल्यू में एक जोरदार से जुड़े फैले subgraph के जी मूल वजन के साथ कम से कम वजन से गणना की जा सकती डब्ल्यू 'में जी के रूप में नए वजन के साथ डब्ल्यू = ⌊ डब्ल्यू / 2' मी ⌋। QED ।