यदि आप यूनिटेरिटी को निलंबित करते हैं तो "क्वांटम" कंप्यूटिंग कितना शक्तिशाली है?

लघु प्रश्न।

"क्वांटम" सर्किट की कम्प्यूटेशनल शक्ति क्या है, अगर हम गैर-एकात्मक (लेकिन अभी भी उल्टे) फाटकों की अनुमति देते हैं, और आउटपुट को निश्चितता के साथ सही उत्तर देने की आवश्यकता होती है?

यह प्रश्न इस बारे में है कि क्या होता है वर्ग जब आप सर्किटों को सिर्फ एकात्मक फाटकों से अधिक उपयोग करने की अनुमति देते हैं। (हम अभी भी ऊपर खुद को उल्टा गेट्स तक सीमित करने के लिए मजबूर हैं $\mathsf{EQP}$ $\mathbb C$ अगर हम एक अच्छी तरह से परिभाषित मॉडल के लिए सक्षम होना चाहते हैं।)

(यह सवाल संयुक्त राष्ट्र के मामले में इस तरह के सर्किट के बारे में ज्ञात परिणामों के बारे में मेरी ओर से कुछ भ्रम की रोशनी में कुछ संशोधनों के तहत आया है।)

"सटीक" क्वांटम गणना के बारे में

मैं इस प्रश्न की खातिर को उन समस्याओं के वर्ग के रूप में परिभाषित करता हूं जो एक समान क्वांटम सर्किट परिवार द्वारा हल किए जा सकते हैं, जहां प्रत्येक एकात्मक के गुणांक बहुपद-टाइम-बाउंड टेड मशीनों (इनपुट स्ट्रिंग से) द्वारा गणना योग्य हैं प्रत्येक इनपुट आकार लिए ) , और यह कि एक निर्देशित नेटवर्क के रूप में सर्किट का लेआउट भी बहुपद समय में उत्पादित किया जा सकता है। "बिल्कुल" हल करके, मेरा मतलब है कि आउटपुट बिट पैदावार को मापने कोई उदाहरण के लिए निश्चितता, और साथ YES उदाहरणों के लिए निश्चितता के साथ। $\mathsf{EQP}$ $1^n$ $n$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

चेतावनियां:

यहां तक कि एकात्मक द्वार तक सीमित, की यह धारणा बर्नस्टीन और वाज़िरानी द्वारा वर्णित क्वांटम ट्यूरिंग मशीनों का उपयोग करने से अलग है। ऊपर दी गई परिभाषा सर्किट परिवार को सिद्धांत में एक अनंत गेट सेट की अनुमति देती है - प्रत्येक व्यक्तिगत सर्किट केवल एक परिमित सबसेट का उपयोग करता है, निश्चित रूप से - क्योंकि गेट्स वास्तव में इनपुट से गणना की जाती हैं। (एक क्वांटम ट्यूरिंग मशीन किसी भी परिमित गेट सेट का अनुकरण कर सकती है जो आपको पसंद है, लेकिन केवल परिमित गेट सेटों का अनुकरण कर सकता है, क्योंकि इसमें केवल परिमित संख्याएँ ही होती हैं।) $\mathsf{EQP}$ $\{ C_n \}$ $C_n$
गणना का यह मॉडल में किसी भी समस्या को , क्योंकि एकात्मक में एक एकल गेट हो सकता है जो में किसी भी समस्या का समाधान-कोड करता है (इसके गुणांक सभी एक पाली-टाइम गणना द्वारा निर्धारित किए जाते हैं)। तो ऐसे सर्किट के लिए विशिष्ट समय- या समस्याओं की अंतरिक्ष-जटिलता जरूरी नहीं है। $\mathsf P$ $\mathsf P$

हम इन कैविटीज़ को अवलोकन में जोड़ सकते हैं कि क्वांटम कंप्यूटरों के व्यावहारिक कार्यान्वयन पर वैसे भी शोर होगा। गणना का यह मॉडल मुख्य रूप से सैद्धांतिक कारणों से दिलचस्प है , क्योंकि एक संबंधित व्यवहार्य संगणन के बजाय व्यवहार्य गणना की रचना से संबंधित है, और सटीक संस्करण के रूप में भी । विशेष रूप से, ऊपर चेतावनियां के बावजूद, हम । $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

को मेरे द्वारा परिभाषित करने का कारण यह है कि DISCRETE-LOG को में डाला जा सकता है । [ मोस्का + ज़ाल्का 2003 ] द्वारा, एक एकात्मक सर्किट बनाने के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है जो इनपुट मापांक के आधार पर QFT के सटीक संस्करणों का निर्माण करके DISCRETE-LOG के बिल्कुल उदाहरणों को हल करता है। मुझे विश्वास है कि हम तो में अलहदा लॉग रख सकते हैं , ऊपर परिभाषित, ठीक वैसे ही गेट गुणांक गणना में सर्किट-निर्माण के तत्वों एम्बेड करके। (परिणाम असतत-LOG तो अनिवार्य रूप से फिएट द्वारा आयोजित करता है, लेकिन Mosca + Zalka के निर्माण पर भरोसा करता है।) $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\in \mathsf{EQP}$

संदिग्ध इकाई

चलो कम्प्यूटेशनल वर्ग है कि हम अगर हम प्रतिबंध यह है कि फाटक एकात्मक हो निलंबित प्राप्त हो, और उन्हें उलटी परिवर्तनों से अधिक रेंज कर सकते हैं। क्या हम अन्य पारंपरिक गैर-नियतात्मक वर्गों संदर्भ में इस वर्ग (या इसे भी चिह्नित कर सकते हैं) को जगह दे सकते हैं ? $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$ $\mathbf C$

मेरे पूछने का एक कारण: यदि , समस्याओं की श्रेणी को कुशलता से बंधी हुई त्रुटि के साथ हल करती है , तो वर्दी "गैर-एकात्मक क्वांटम" सर्किट परिवारों द्वारा - जहां YES उदाहरण एक आउटपुट देते हैं $\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$ (राज्य वेक्टर सामान्य के बाद) संभावना अधिक से अधिक 1/3 के साथ संभावना कम से कम 2/3 के साथ, और कोई उदाहरण - तो[Aaronson 2005]से पता चलता है कि । वह है: अनियंत्रित त्रुटि की अनुमति देने के बराबर इस मामले में इकाईकरण निलंबित है। $|1\rangle$ $\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

क्या एक समान परिणाम, या कोई स्पष्ट परिणाम, लिए प्राप्त करता है ? $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

complexity-classes quantum-computing

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

सहज रूप से, मैं अनुमान लगाऊंगा कि

को

माना जाएगा ।

C

${\bf C}$

C o C_{=} P

${\bf CoC_=P}$

— तैफून पे

यह बुरा अनुमान नहीं है, क्योंकि

का अनबाउंडेड (एक तरफा) -रोर वर्जन है, जैसे

अनबाउंड एरर वर्जन है ; और

में

और उसका पूरक दोनों शामिल हैं,

के चौराहे और बस्तियों के नीचे बंद होने के कारण।

c o C_{=} P = N Q P

$\mathsf {coC_=P = NQP}$

E Q P

$\mathsf {EQP}$

P P

$\mathsf {PP}$

B Q P

$\mathsf{BQP}$

P P

$\mathsf{PP}$

C_{=} P

$\mathsf {C_=P}$

P P

$\mathsf {PP}$

— निएल डी ब्यूड्रैप

क्या यह स्पष्ट है कि एनपी इस वर्ग में निहित है? (और क्या यह वर्ग ईसेप के साथ पोस्टक्लेक्शन के समान है?)

— रॉबिन कोठारी

@RobinKothari: शून्य त्रुटि स्थिति के कारण, मैं इनमें से किसी पर भी विचार नहीं करूंगा। दूसरा प्रश्न पहले की तुलना में अधिक संभावित लगता है। तैफुन के साथ मेरा समझौता है कि

(... और इसलिए

) भी एक उचित अनुमान है कि अगर यह किसी भी पहले से परिभाषित वर्ग होने जा रहा है, तो यह एक प्रमुख है संदेह है, लेकिन जाहिर है अगर यह सच है एक तुच्छ अवलोकन नहीं होगा।

E Q P_{G L} = c o C_{=} P

$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} = coC_=P}$

C_{=} P

$\mathsf{C_=P}$

— निल डे ब्यूड्रैप

क्या आप इस श्रेणी की कोई समस्या जानते हैं जो P में नहीं है?

— रॉबिन कोठारी

संक्षिप्त जवाब। यह पता चला है कि एकात्मक परिवर्तनों की आवश्यकता को निलंबित करना, और प्रत्येक ऑपरेशन को उलटा होने की आवश्यकता है, सटीक अंतर-निश्चित वर्गों को जन्म देता है। विचाराधीन विशिष्ट कक्षाएं और एक 'नई' उपवर्ग , जो दोनों और बीच में बैठती हैं । इन वर्गों की काफी तकनीकी परिभाषाएँ हैं, जिन्हें संक्षेप में नीचे वर्णित किया गया है; हालांकि, इन परिभाषाओं को गैर-एकात्मक "क्वांटम-जैसे" एल्गोरिदम के संदर्भ में सिद्धांत रूप में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। $\mathsf{LWPP}$ $\mathsf{LPWPP}$ $\mathsf{SPP}$ $\mathsf{C_=P}$

गिनती वर्ग में GRAPH ISOMORPHISM है। इसमें पूरी कक्षा भी शामिल है , इसलिए हम सटीक एकात्मक क्वांटम एल्गोरिदम की अपेक्षा नहीं करेंगे कि यह गैर-एकात्मक कक्षाओं के समान शक्तिशाली हो (जैसा कि हम अन्यथा दिखा सकते हैं। $\mathsf{SPP}$ $\mathsf{UP}$ )। $\mathsf{NP \subseteq BQP}$

लंबा जवाब।

मेरे प्रश्न में, मैंने उन समस्याओं को हल करने के लिए को फिर से परिभाषित करने का प्रस्ताव दिया, जो समान सर्किट परिवारों द्वारा हल करने योग्य हैं, जो फाटकों का उपयोग करते हैं जो कुशलता से कम्प्यूटेशनल हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे एक परिमित गेट-सेट से तैयार किए गए हों। मैं अब इतना निश्चित नहीं हूं कि इस तरह से को फिर से परिभाषित करना एक अच्छा विचार है , हालांकि मेरा मानना है कि ऐसे सर्किट परिवार अध्ययन करने के लिए सार्थक हैं। हम इस वर्ग को जैसे कुछ कह सकते हैं । $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

यह दिखाने के लिए कि संभव है , जो अभी हाल तक सबसे अच्छा के लिए बाध्य में जाना जाता था । कक्षा अधिक-या-कम उन समस्याओं से मेल खाती है जिनके लिए एक यादृच्छिक एल्गोरिदम है, जहां NO उदाहरण 1 संभावना के साथ 0.5 का परिणाम ठीक 0.5 का उत्पादन करते हैं, और YES उदाहरण कुछ संभावना के साथ 1 का परिणाम उत्पन्न करते हैं जो कुशलता से हो सकता है और बिल्कुल तर्कसंगत रूप में गणना की जाती है, जो 0.5 (लेकिन संभवतः घातीय रूप से करीब) 0.5 से अधिक है। की तकनीकी परिभाषा $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{LWPP}$ को nondeterministic Turing Machines के रूप में प्रस्तुत किया गया है, लेकिन यह अधिक रोशन नहीं है। $\mathsf{LWPP}$

यदि हम परिभाषित की उलटी-गेट बराबर होने का , इतना है कि यह समस्या है जो वास्तव में से व्याख्या करने योग्य हैं का सेट है उलटी कुशलता से गणना कर सका गेट गुणांक है, तो साथ सर्किट परिवारों । $\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$ $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$ $\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$
हम परिमित गेट-सेट करने के लिए प्रतिबंधित करते हैं, यह दिखाने के लिए कि एकात्मक सर्किट परिवारों के एक सबसेट में नकली हो सकता है संभव है है, जो हम कह सकते हैं । ( ऊपर के विवरण का उपयोग करते हुए , यह यादृच्छिक एल्गोरिदम से मेल खाती है जहां यस इंस्टेंसेस के लिए 1 का आउटपुट प्राप्त करने की संभावना बिल्कुल , कुछ बहुपद , पूर्णांक $\mathsf{LWPP}$ $\mathsf{LPWPP}$ $\mathsf{LWPP}$ $m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$ $p$ $m$ , और कुछ कुशलता से कम्प्यूटेशनल बहुपद ।) $t$

यदि हम परिभाषित की उलटी-गेट बराबर होने का के रूप में यह सामान्य रूप से परिभाषित किया गया है, हम दिखा सकते हैं कि $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$ ।

DISCRETE LOG के संबंध में एक सुधार।

उपरोक्त परिणाम बीजगणितीय गुणांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए मानक तकनीकों पर निर्भर करते हैं, एक तरह से जो इनपुट से स्वतंत्र है (लेकिन जो इनपुट आकार पर निर्भर हो सकता है)। मूल प्रश्न के वर्णन में, मैंने दावा किया कि [ मोस्का + ज़ाल्का 2003 ] यह दर्शाता है कि कुशलतापूर्वक गुणांक वाले गेट-सेट द्वारा DISCRETE लॉग बिल्कुल सॉल्व है । सत्य अधिक जटिल प्रतीत होता है। यदि कोई सटीक शोधन क्षमता के बारे में परवाह करता है, तो मैं गुणांक के सटीक प्रतिनिधित्व को महत्वपूर्ण मानता हूं: लेकिन मोस्का और ज़ल्का इनपुट-निर्भर तरीके से ऐसा करने का एक तरीका प्रदान नहीं करते हैं। तो यह स्पष्ट नहीं है कि असतत लॉग में वास्तव में या नए वर्ग में $\mathsf{EQP}$ । $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

संदर्भ।

डे बीउड्रैप, सटीक गिनती और अर्ध-क्वांटम जटिलता पर , [ arXiv: 1509.07789 ]।

— निएल डी ब्यूड्रैप
स्रोत

बहुत अच्छा!!! एक भोली सवाल: जब आप नमूना जटिलता पर विचार करते हैं, तो आपके द्वारा वर्णित सर्किट की शक्ति क्या है (मनमाना उल्टा; सटीक या अनुमानित)। (संभवतया संभाव्यता वितरण का वह वर्ग जो वे दे सकते हैं।)

— गिल कालई

@ गिलकी: यदि आप वितरण पर कोई अशुभ प्रभाव नहीं डालते हैं, जो इन सर्किटों की गणना करते हैं (अर्थात 1-मानदंड या 2-मानक को संरक्षित करके), तो किसी को यह ठीक से परिभाषित करना होगा कि कोई दसियों को कैसे मैप करना चाहता है? इस तरह के सर्किट संभाव्यता वितरण का वर्णन करते हैं। यदि कोई कल्पना करता है कि ये वितरण किसी भी तरह से छद्म संभावना वितरण के बजाय गुप्त रूप से क्वांटम राज्य हैं, तो कोई सामान्य तरीके से त्याग कर सकता है जो एक भौतिक विज्ञानी चुनने के लिए चुन सकता है, लेकिन यह विकल्प हमारे लिए मजबूर नहीं है।

— निएल डी ब्यूड्रैप

Having said that: whatever constraint one imposes, I don't immediately know how I would go about answering the question. But from Aaronson's work on PostBQP, we know the approximate sampling class is at least PP-hard.

— Niel de Beaudrap