जी (एन, पी), अलग पी

Question

लगाए गए गुच्छों की समस्या में, एक को एर्दोस-रेनी के यादृच्छिक ग्राफ में लगाए गए -clique को पुनर्प्राप्त करना होगा । यह ज्यादातर लिए देखा गया है , जिस स्थिति में इसे बहुपद-काल संक्रांति के रूप में जाना जाता है यदि और लिए कड़ा अनुमान लगाया जाए ।$k$$G(n,p)$$p=\frac{1}{2}$$k > \sqrt{n}$$k< \sqrt{n}$

मेरा प्रश्न है: अन्य मूल्यों के बारे में क्या जाना जाता है / माना जाता है ? विशेष रूप से, जब एक स्थिर ? क्या ऐसे प्रमाण हैं कि, ऐसे प्रत्येक मान के लिए , कुछ है जिसके लिए समस्या कम्प्यूटेशनल है?$p$$p$$[0,1]$$p$$k=n^{\alpha}$

संदर्भ विशेष रूप से सहायक होंगे, क्योंकि मैं किसी भी साहित्य को खोजने में सफल नहीं हुआ जो अलावा अन्य मूल्यों के लिए समस्या को देखता है ।$p=\frac{1}{2}$

Comments

हाँ, यह एनपी पूर्ण संक्रमण बिंदु घटना पर आधारित कुछ मापदंडों के लिए कठिन है जो सैट के लिए अधिक अध्ययन किया गया है, लेकिन क्लिक समस्या के लिए भी पकड़ रखता है और वहां कुछ / कम अध्ययन किया गया है। यह क्लिक समस्या और स्लाइस फ़ंक्शंस के लिए मोनोटोन सर्किट पर कम सीमा खोजने के लिए निकटता से संबंधित है। साइट पर कुछ संबंधित प्रश्न हैं, उन्हें खोद सकते हैं। रॉसमैन द्वारा हाल ही में क्लिक फंक्शन कठोरता पर दिया गया पेपर प्रासंगिक है। आदि ... बाद में जवाब देने के लिए काम कर सकते हैं कि क्या दूसरों को दिखाते हैं ...

— vzn

यह प्रश्न / पैरामीटर किए गए क्लिक्स tcs.se की कठोरता को सीधे आपके प्रश्न का उत्तर देना चाहिए। अधिक चर्चा के लिए सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान चैट में जवाब

— vzn

धन्यवाद। मैं ज्यादातर लगाए गए संस्करण के साथ चिंतित था, और सबसे खराब स्थिति वाला संस्करण नहीं था (जो, जैसा कि आप कहते हैं, निरंतर पी के लिए एनपी पूरा है)।

— एस आर डी

ठीक है, ऐसा प्रतीत होता है कि "प्लांटेड क्लिक" आम तौर पर G (n, plant) तक सीमित होता है, जैसा कि आप इस हालिया पेपर स्टैटिस्टिकल अल्गोरिद्म में बताते हैं और फेल्डमैन वगैरह द्वारा प्लॉट किए गए क्लिक का पता लगाने के लिए एक लोअर बाउंड जो इसे मानता है और संबंधित रीफ्स पर फिर से विचार नहीं करता है। पी ≠ ½ पर विचार करें। समग्र समस्या कुछ विकल्पों के मापदंडों के लिए एक जी (n, p) ग्राफ में कुछ आकार के समूहों को खोजने के लिए "करीब" लगती है (बाद में स्पष्ट रूप से लिंक किए गए tcs.se pg के रूप में बहुत अधिक अध्ययन किया गया) लेकिन havent ने देखा कि कनेक्शन कहीं और विस्तृत / विस्तृत बताया गया है।

— vzn

Answer 1

अगर $p$ स्थिर है, तो अधिकतम कुल का आकार $G(n,p)$ मॉडल लगभग हर जगह एक स्थिर मल्टीपल है $\log n$निरंतर आनुपातिक के साथ $\log (1/p)$। (बोलोबेस्, पी .283 और कोरोलरी 11.2 देखें।) बदलना$p$ इसलिए इसके साथ एक गुच्छे को लगाने की कठोरता को प्रभावित नहीं करना चाहिए $\omega(\log n)$जब तक मौजूदा एल्गोरिथम काम करने के लिए क्लिक्क बहुत छोटा होता है इसलिए मैं निरंतरता के साथ उम्मीद करता हूं$p \ne 1/2$ लगाए गए की कठोरता की तरह व्यवहार करना चाहिए $p=1/2$ मामला, हालांकि यह संभव है कि का मामला $p$ बहुत करीब 0 या 1 अलग व्यवहार कर सकता है।

विशेष रूप से, के लिए $p\ne 1/2$ की एक ही सीमा $\Omega(n^{\alpha})$ के लिये $\alpha = 1/2$लगाए गए गुच्छे के आकार के लिए, जिसके ऊपर समस्या बहुपद-काल बन जाती है। का मूल्य$\alpha$ यहाँ है $1/2$ (और कुछ अन्य मूल्य नहीं) क्योंकि Lovász थीटा फ़ंक्शन $G(n,p)$ के बीच लगभग निश्चित रूप से है $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ तथा $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$, जुहेसज़ के परिणाम से। Feige और Krauthgamer का एल्गोरिथ्म एक सबसे बड़े क्लिक को खोजने और प्रमाणित करने के लिए Lovász थीटा फ़ंक्शन का उपयोग करता है, इसलिए यह लगाए गए क्लिक के लिए इस थ्रेशोल्ड आकार पर निर्भर करता है।

बेशक, एक अलग एल्गोरिथ्म हो सकता है जो लोवेज़ थीटा फ़ंक्शन का उपयोग नहीं करता है, और इसके मूल्यों के लिए $p$ से दूर $1/2$ कहने के साथ एक लगाए हुए गुच्छे को पा सकते हैं $n^{1/3}$कोने। जहां तक ​​मैं बता सकता हूं यह अभी भी खुला है।

फीज और क्राउथगैमर भी कब चर्चा करते हैं $p$ स्थिर नहीं है, लेकिन निर्भर करता है $n$, या तो 0 के करीब या 1 के करीब है। इन मामलों में लगाए गए समूहों को खोजने के लिए अन्य दृष्टिकोण मौजूद हैं, और दहलीज का आकार अलग है।

• बेला बोलोबेस्स, रैंडम ग्राफ्स (द्वितीय संस्करण), कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2001।
• फ़ेरेन जुहेज़, लोवेज़ का विषम व्यवहार '$\vartheta$यादृच्छिक ग्राफ के लिए कार्य , कॉम्बिनेटरिका 2 (2) 153-155, 1982. डोई: 10.1007 / BF02579314
• Uriel Feige और रॉबर्ट क्रैथमगैमर, एक अर्ध-रेखीय ग्राफ़ , रैंडम स्ट्रक्चर्स एंड अल्गोरिथम 16 (2) 195–208, 2000 में एक बड़े छिपे हुए क्लिक को खोजना और प्रमाणित करना । doi: 10.1002 / (SII) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: चिकित्सा-RSA5> 3.0.CO, 2-एक

Comments

धन्यवाद। यह कला की स्थिति को संक्षेप में प्रस्तुत करता है, और इस बात की पुष्टि करता है कि कुछ भी निश्चित नहीं है। सबसे अच्छा सबूत है कि समस्या इसी तरह से व्यवहार करती है, जैसा कि आप बताते हैं, लोवाज़ थीटा फ़ंक्शन का मूल्य प्रतीत होता है।

— 1:20

Answer 2

के लिए लगाया गया पौधा $p \neq \frac{1}{2}$इस समस्या का एक विशेष मामला है और नए परिणाम (निचले सीमा) जैसा कि पी 2 आदि पर कहा गया है और इसमें संबंधित रेफरी शामिल हैं। (2015)

हम दिखाते हैं कि, (निर्धारक) घातीय समय परिकल्पना को मानकर, एक प्रेरित के साथ एक ग्राफ के बीच अंतर करना $k$-क्लिक और एक ग्राफ जिसमें सभी $k$-subgraphs में घनत्व सबसे अधिक होता है $1 −\varepsilon$, आवश्यकता है $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$ समय।

• घने के लिए ETH कठोरता-$k$-सुबग्राफ विद परफेक्ट कम्प्लीटनेस / ब्रेवरमैन , को, रुबिनस्टीन, वेनस्टेन

Answer 3

एक नया पेपर है जिसमें एक SVD एल्गोरिथ्म पर आधारित मनमाना p ½ that के लिए एक एल्गोरिथ्म है। छिपे हुए (लगाए) विश्लेषण के लिए p.4 देखें।

एक छिपी SVD ALGORITHM फ़िनडिंग पार्टिशन वैन वान के लिए

सार। एक यादृच्छिक वातावरण में एक छिपे हुए विभाजन को खोजना एक सामान्य और महत्वपूर्ण समस्या है, जिसमें कई प्रसिद्ध प्रश्न होते हैं, जैसे कि एक छिपे हुए गुच्छे को ढूंढना, एक छिपे हुए रंग को ढूंढना, एक छिपी हुई द्विदलीय खोज करना आदि। इस पत्र में, हम एक सरल SVD प्रदान करते हैं। इस उद्देश्य के लिए एल्गोरिथ्म, मैकशरी के एक प्रश्न का उत्तर दे रहा है। यह एल्गोरिथ्म लागू करना बहुत आसान है और इष्टतम घनत्व के साथ विरल रेखांकन के लिए काम करता है।

Comments

इसके लिए काम करता है $p=1/2$ भी, लेकिन मनमानी के लिए नहीं $p$। उस के लिए भी ध्यान दें$p$ स्थिर, छिपे हुए गुच्छे का आकार अभी भी होना चाहिए $\Omega(\sqrt{n})$।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन

इसका सटीक / निश्चित उत्तर नहीं कहना, केवल दूसरे पर कुछ सुधार $p=½$केवल अन्य कागजात की सीमा। यह एक विस्तृत श्रृंखला का विश्लेषण करता है$p$मानों की कमी से अड़चन आती है (incl clique size), विवरण कागज में। यह सवाल इतना सटीक नहीं लगता है कि सटीक / एक साथ क्लिक आकार /$p$संयोजन बाधा है। (कागज वास्तव में इस मामले को कवर नहीं करता है$p≠½, k=n^\alpha$के लिए पूछा? या आप सवाल को कड़ाई से प्रतिबंधित करने के रूप में व्याख्या कर रहे हैं$\alpha$?)

— vzn