नियतात्मक संचार जटिलता बनाम विभाजन संख्या

पृष्ठभूमि:

संचार जटिलता के सामान्य दो-पक्ष मॉडल पर विचार करें जहां एलिस और बॉब को स्ट्रिंग्स और दिए गए हैं और कुछ बूलियन फ़ंक्शन गणना करनी है , जहां । $n$ $x$ $y$ $f(x,y)$ $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

हम निम्नलिखित मात्राओं को परिभाषित करते हैं:

$D(f)$ (के नियतात्मक संचार जटिलता ): बिट्स कि ऐलिस और बॉब की जरूरत गणना करने के लिए बातचीत करने के लिए की न्यूनतम संख्या निर्धारणात्मक। $f$ $f(x,y)$

$Pn(f)$ (के विभाजन संख्या ): लघुगणक एक विभाजन में एक रंग आयतों की सबसे छोटी संख्या के (आधार 2) (या एक संबंध तोड़ना कवर) की । $f$ $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

में एक एक रंग आयत एक सबसेट है ऐसी है कि एक ही मूल्य लेता है (यानी, एक रंग है) के सभी तत्वों पर । $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ $R \times C$ $f$ $R \times C$

यह भी ध्यान दें कि विभाजन संख्या "प्रोटोकॉल विभाजन संख्या" से अलग है, जो इस प्रश्न का विषय था ।

अधिक जानकारी के लिए कुशिलेवित्ज और निसान का पाठ देखें। उनके अंकन में, मैंने रूप में जो परिभाषित किया है, वह । $Pn(f)$ $\log_2 C^D(f)$

नोट : इन परिभाषाओं को आसानी से गैर-बूलियन कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है , जहां का उत्पादन कुछ बड़ा सेट है। $f$ $f$

ज्ञात परिणाम:

यह ज्ञात है कि पर एक कम बाउंड है , अर्थात, सभी (बुलियन या गैर-बूलियन) , । वास्तव में, लिए सबसे कम बाध्य तकनीक (या शायद सभी? वास्तव में कम बाध्य । (क्या कोई पुष्टि कर सकता है कि यह सभी निचली बाध्य तकनीकों का सच है?) $Pn(f)$ $D(f)$ $f$ $Pn(f) \leq D(f)$ $D(f)$ $Pn(f)$

यह भी ज्ञात है कि यह बाउंड अधिकांश द्विघात (बूलियन या गैर-बूलियन कार्यों के लिए) है, अर्थात, । संक्षेप में, हम निम्नलिखित जानते हैं: $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

यह अनुमान है कि । (यह कुशीलेविट्ज़ और निसान द्वारा पाठ द्वारा पाठ में 2.10 की खुली समस्या है।) हालांकि, मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा करने के लिए, बूलियन कार्यों के लिए इन दोनों के बीच सबसे अच्छा ज्ञात अलगाव केवल 2 के गुणक कारक द्वारा है, जैसा कि "द में दिखाया गया है।" इनल कुशिल्वित्ज़, नाथन लिनिअल और राफेल ओस्ट्रोव्स्की द्वारा संचार-जटिलता में रैखिक-एरे अनुमान। $Pn(f) = \Theta(D(f))$

दरअसल, वे बूलियन कार्यों की एक अनंत परिवार प्रदर्शन , ऐसी है कि । $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

सवाल:

गैर-बूलियन कार्यों के लिए और के बीच सबसे अच्छा ज्ञात अलगाव क्या है ? क्या यह अभी भी उपर्युक्त कारक -2 पृथक्करण है? $Pn(f)$ $D(f)$

V2 में जोड़ा गया : चूंकि मुझे एक हफ्ते में जवाब नहीं मिला है, इसलिए मुझे आंशिक उत्तर, अनुमान, हर्षे, उपाख्यानात्मक साक्ष्य आदि सुनने की भी खुशी है।

lower-bounds communication-complexity

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

क्या आप ? जुकना की पुस्तक में लेम्मा 3.8 केवल , और KN केवल राज्य सिद्ध करता है ।

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— आंद्रेस सलामन

@ AndrásSalamon: मैं ऊपरी बाउंड को बताते हुए बहुत सावधान नहीं था क्योंकि मैं निचले बाउंड के करीब फंक्शन्स की तलाश में हूं, लेकिन मुझे लगता है कि प्राप्त करने योग्य है। ट्रॉय ली और आदि श्राइबमैन द्वारा "लोअर बाउंड्स इन कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी" में प्रमेय 2.2 देखें।

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— रॉबिन कोठारी

चूँकि , जहाँ लिए संचार प्रोटोकॉल ट्री में पत्तियों की सबसे छोटी संख्या है , हो सकता है कि यह कम बाउंड के साथ आए। के लिए है कि के लिए बाध्य एक कम तकनीकी रूप से नहीं है । हालाँकि, , ऐसी निचली सीमा अनिवार्य रूप से के सटीक मान के लिए एक निकट सन्निकटन स्थापित करेगी ।

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— एंड्रस सलामोन

संबंधित उत्तर cstheory.stackexchange.com/a/3352/109

— András Salamon

जवाबों:

यह सवाल अभी हल किया गया है! जैसा कि मैंने उल्लेख किया है, यह ज्ञात था कि

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$ ,

लेकिन यह दिखाने के लिए एक बड़ी खुली समस्या थी कि या जिसमें लिए एक फ़ंक्शन मौजूद है । $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$

कुछ दिनों पहले इसका समाधान मीका गोज, टोनियन पित्तासी, थॉमस वाटसन ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ) ने किया था। वे बताते हैं कि एक फ़ंक्शन मौजूद है जो संतुष्ट करता है $f$

$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$ ।

वे के एक तरफा संस्करण के लिए एक इष्टतम परिणाम भी दिखाते हैं , जिसे मैं द्वारा निरूपित , जहां आपको केवल आयतों के साथ 1-इनपुट को कवर करने की आवश्यकता है। भी संतुष्ट करता है $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$ ,

और वे बताते हैं कि यह दो उपायों के बीच सबसे अच्छा संभव संबंध है, क्योंकि वे एक फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं जो संतुष्ट करता है $f$

$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$ ।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

इस सवाल को अच्छी तरह से लपेटता है!

— एंड्रे सलामॉन

आप टिप्पणी करते हैं कि पर निचली सीमाएं सभी मौजूदा निचली बाध्य तकनीकों से निकटता से संबंधित हैं। बूलियन फ़ंक्शंस के लिए यह सच लगता है, जब तक कि लॉग-रैंक अनुमान सही है। हालांकि, बाउंड सेट की तुलना में तेजी से बड़ा हो सकता है। $Pn(f)$ $Pn(f)$

यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि गैर-बूलियन मामले में और कितना भिन्न हो सकते हैं। $Pn(f)$ $D(f)$

शेष में मैं इन टिप्पणियों को अधिक सटीक बनाता हूं।

KN (कुशिल्वित्ज़ और निसान अपनी 1997 की पाठ्यपुस्तक में) बूलियन कार्यों के लिए तीन बुनियादी तकनीकों को रेखांकित करते हैं: एक बेवकूफ सेट का आकार, एक मोनोक्रोमैटिक आयत का आकार और संचार मैट्रिक्स का रैंक।

पहला, मूर्ख बनाना। एक मूर्खतापूर्ण सेट मोनोक्रोमैटिक है: कुछ जैसे कि हर । कुछ अंतिम पैचिंग को दूसरे रंग को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है। इस अतिरिक्त कदम से बचा जा सकता है। बता दें कि एक फ़ंक्शन है। अलग-अलग तत्वों की एक जोड़ी में लिए कमजोर रूप से यदि का तात्पर्य है कि या तो या । एक सेट एक है $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ लिए कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट यदि के तत्वों के प्रत्येक विशिष्ट युग्म को कमजोर रूप से बेवकूफ बना रहा है। केएन 1.20 के प्रमाण के बाद स्पष्ट रूप से बताता है कि एक कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट का लॉग-आकार संचार जटिलता के लिए कम बाध्य है। $f$ $S$

सबसे बड़ा कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट एक छोटे से असंबद्ध सेट कवर में प्रत्येक मोनोक्रोमैटिक आयत से एक प्रतिनिधि तत्व चुनता है। इसलिए सबसे बड़ा कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट का आकार विभाजन संख्या के रूप में अधिक से अधिक (घातांक) है। दुर्भाग्य से सेटों को मूर्ख बनाने के द्वारा प्रदान की जाने वाली सीमा अक्सर कमजोर होती है। केएन 1.20 शो का सबूत है कि किसी भी समारोह मानचित्रण प्रत्येक तत्व एक कमजोर धोखा सेट के एक रंग आयत को कि तत्व से युक्त injective है। हालांकि, एक छोटे से विच्छेदन कवर में कई मोनोक्रोमैटिक आयताकार हो सकते हैं जो की छवि में दिखाई नहीं देते हैं , प्रत्येक तत्व के साथ कमजोर रूप से कुछ के साथ बेवकूफ बनाते हैं लेकिन सभी तत्व नहीं। $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ $S$ , और इसलिए बस नहीं जोड़ा जा सकता है । वास्तव में डाइटज़फेलबिंगर, हर्मोकोवीक और श्नीटेजर ने दिखाया (doi: 10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X ) कि सभी बड़े पर्याप्त , वेरिएबल्स पर सभी बूलियन फ़ंक्शन के कम से कम में अभी तक नहीं है लॉग-आकार सेट को कमजोर (कमजोर । तो एक सबसे बड़े (कमजोर) मूर्ख सेट के आकार का लॉग संचार जटिलता से तेजी से छोटा हो सकता है। $S$ $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

रैंक के लिए, फ़ंक्शन के मैट्रिक्स के रैंक और उसके विभाजन संख्या के बीच एक करीबी पत्राचार स्थापित करना लॉग-रैंक अनुमान (पत्राचार की कठोरता के आधार पर) के एक रूप को स्थापित करेगा। उदाहरण के लिए, यदि कोई निरंतर ऐसा है कि प्रत्येक बूलियन फ़ंक्शन , तो , और एक प्रकार का लॉग-रैंक अनुमान तब फ़ंक्शंस के परिवारों के लिए होता है जिसके लिए अंततः बढ़ता है, घातांक लिए किसी भी पर्याप्त रूप से प्राप्त करने के लिए $a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ । (याद रखें कि लवज़-सक्स लॉग-रैंक अनुमान कहता है कि एक निरंतर ऐसा है कि हर बुलियन फ़ंक्शन ; यहाँ है; reals पर की संचार मैट्रिक्स की रैंक ।) $c>0$ $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

इसी तरह, यदि कई छोटे लोगों के साथ एक ही एक बहुत बड़ी मोनोक्रोमैटिक आयत है, तो विभाजन संख्या एक सबसे बड़ी मोनोक्रोमैटिक आयत के लॉग-आकार की तुलना में अधिक मजबूत होती है। हालांकि, लॉग-रैंक अनुमान भी एक सबसे बड़ा एक मोनोक्रोमैटिक आयत (निसान और विगडरसन 1995, डू: 10.1007 / BF01192527 , प्रमेय 2) के आकार के बारे में एक अनुमान के बराबर है । इसलिए मोनोक्रोमैटिक आयतों का उपयोग करते हुए वर्तमान में विभाजन संख्या का उपयोग करते हुए "समान" के रूप में नहीं जाना जाता है, लेकिन लॉग-रैंक अनुमान रखने पर वे निकट से संबंधित हैं।

सारांश में, सबसे बड़े कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट का लॉग-आकार विभाजन संख्या की तुलना में बहुत कम हो सकता है। अन्य निचली बाध्य तकनीकों और विभाजन संख्या के बीच अंतराल हो सकते हैं, लेकिन अगर लॉग-रैंक अनुमान है तो ये अंतराल छोटे हैं।

आकार की धारणाओं का उपयोग करके जो सामान्य एक (कार्डिनलिटी) का विस्तार करते हैं, किसी भी मोनोक्रोमैटिक आयत के आकार का उपयोग मूर्खतापूर्ण सेटों को सामान्य बनाने के लिए, और संचार जटिलता को कम करने के लिए किया जा सकता है (केएन 1.24 देखें)। मुझे यकीन नहीं है कि किसी भी मोनोक्रोमैटिक आयत के सामान्यीकृत सबसे बड़े "आकार" के करीब कैसे संचार जटिलता होना चाहिए।

बूलियन फ़ंक्शंस के लिए उपरोक्त चर्चा के विपरीत, गैर-बूलियन फ़ंक्शंस के लिए और बीच का अंतर घातीय हो सकता है। केएन २.२३ एक उदाहरण देता है: फ़ंक्शन होने दें जो दो इनपुट विशेषता वैक्टर द्वारा दर्शाए गए सेट के चौराहों के आकार को लौटाता है। इस फ़ंक्शन के लिए, लॉग-रैंक । अब गैर-अन्तर्विभाजक सेट के सभी जोड़े के सेट में तत्व हैं। जहां तक मैं बता सकता हूं, इस सेट से बड़ा कोई मोनोक्रोमैटिक आयत नहीं हो सकता है। यदि यह सही है, तो , इसलिए इस फ़ंक्शन के लिए, , $D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ , और एक सबसे बड़ी मोनोक्रोमैटिक आयत का लॉग-आकार सभी एक दूसरे के के एक कारक के भीतर हैं , जबकि लॉग रैंक से काफी अधिक दूर है। इसलिए गैर-बुलियन मामले में और बीच छोटे अलगाव संभव हो सकते हैं, लेकिन वे के मैट्रिक्स के लॉग-रैंक के लिए एक स्पष्ट तरीके से संबंधित नहीं हैं । गैर-बूलियन मामले में ये उपाय कैसे संबंधित हैं, इस पर चर्चा करने वाले किसी भी प्रकाशित काम के बारे में मुझे जानकारी नहीं है। $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ $f$

अंत में, Dietzfelbinger एट अल। यह भी एक विस्तारित मूर्खतापूर्ण सेट को परिभाषित करता है, जोड़े से मूर्खतापूर्ण स्थिति को सामान्य करता है ("आदेश 1" सबसेट) मोनोक्रोमैटिक तत्वों के बड़े सबसेट को; विस्तारित मूर्खतापूर्ण स्थिति के लिए आवश्यक है कि मोनोक्रोमैटिक तत्वों द्वारा फैलाया गया सबमेट्रिक्स मोनोक्रोमैटिक न हो। यह स्पष्ट नहीं है कि यह कैसे व्यवहार करता है क्योंकि मोनोक्रोमैटिक सबसेट का क्रम बढ़ता है, क्योंकि किसी को आदेश द्वारा निर्धारित मूर्खता के आकार को विभाजित करना है, और सभी आदेशों पर सबसे बड़ा मूल्य पर विचार करना है। हालाँकि, यह धारणा समाप्त हो जाती है से कम निकटता । $Pn(f)$

— आंद्रस सलामन
स्रोत

अपनी टिप्पणियों को साझा करने के लिए धन्यवाद। पहले कथन के बारे में, मुझे लगता है कि यह तथ्य कि लिए सभी निचली बाध्य तकनीकों से संबंधित है , लॉग रैंक अनुमान से स्वतंत्र है। जहां तक मुझे पता है, लिए हर निचली बाउंड तकनीक वास्तव में लिए एक कम बाउंड तकनीक है , जिसमें लॉग रैंक लोअर बाउंड भी शामिल है।

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

— रॉबिन कोठारी

@ रॉबिन: मेरी स्पष्टता की कमी के लिए माफी; प्रमुख वाक्यांश "बारीकी से संबंधित" और "कितना ... भिन्न हो सकते हैं" हैं। मैं , जहां रूप में ज्ञात असमानताओं को देखते हुए ले जा रहा हूं , मैट्रिक्स में सबसे बड़ी मोनोक्रोमेटिक आयत में प्रविष्टियों की संख्या है , और के डोमेन है । मेरी टिप्पणी इस बात के बारे में है कि ये असमानताएं कितनी करीब हैं, उदाहरण के लिए कि क्या वे घातीय अंतराल से बचते हैं, और सामान्य मूर्खता की तुलना में कमजोर मूर्खतापूर्ण सेट आकार अधिक उपयोगी क्यों है (मोनोक्रोमैटिक संस्करण रैंक सीमा से अधिक घातीय हो सकता है)।

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$

— अंद्रस सलामोन