जटिलता वर्ग ऑपरेटरों के लिए एक अच्छा संदर्भ?

Question

मुझे दिलचस्पी है कि अगर कोई अच्छा एक्सपोज़ररी लेख या सर्वेक्षण मौजूद है, जिसका मैं उल्लेख कर सकता हूं जब मैं जटिलता वर्ग के ऑपरेटरों के बारे में लिखता हूं : ऑपरेटर जो कि जटिलता मात्राओं को बदलकर करते हैं जैसे कि उन्हें मात्रात्मक जोड़ना।

ऑपरेटरों के उदाहरण

निम्नलिखित को ऑपरेटरों की एक नंगे न्यूनतम सूची के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो एक उत्तर का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए। यहाँ, भाषाओं का एक मनमाना सेट है, एक मनमाने ढंग से परिमित वर्णमाला ।$\mathbf C$$\Sigma$

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• The ऑपरेटर जाहिरा तौर पर Wagner [1] द्वारा पेश किया गया था, जो संकेतन बजाय । इस तरह से निर्मित वर्ग का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण । यह ऑपरेटर एक पूरक क्वांटिफायर साथ आता है , जिसमें परिभाषा में को से बदल दिया जाता है , जो किसी को आसानी से संपूर्ण बहुपद पदानुक्रम को परिभाषित करने की अनुमति देता है: उदाहरण के लिए, । यह संभवतः पहला ऑपरेटर हो सकता है जिसे परिभाषित किया गया था।$\exists$$\bigvee\! \mathbf C$$\exists \mathbf C$$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$$\forall$$\exists c$$\forall c$$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• $\oplus$ ऑपरेटर के समान है $\exists$ में ऑपरेटर कि $\oplus\mathbf C$ प्रमाण पत्र जो मौजूद है कि कक्षा में निरीक्षण कर रहे हैं की संख्या से संबंधित है $\mathbf C$ , लेकिन इसके बजाय certficiates की संख्या modulo में गिना जाता है $2$ । इसका उपयोग कक्षाएं $\mathsf{\oplus P}$ और \ mathsf {\ oplus L} को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है $\mathsf{\oplus L}$। इसी प्रकार के ऑपरेटरों " $\mathsf{Mod_k \cdot}$ " अन्य moduli के लिए अस्तित्व $k$ ।

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• यह पूरक ऑपरेटर है, और tacitly का उपयोग , , को परिभाषित करने के लिए किया जाता है , और उन लोगों के लिए अन्य वर्गों की मेजबानी की जाती है जिन्हें पूरक के तहत बंद होने की जानकारी नहीं है।सी ओ एन पी सी ओ सी = पी सी ओ एम ओ घ कश्मीर$\mathsf{ coNP}$$\mathsf{coC_=P}$$\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

- रिक्ति के लिए माफी के साथ

• The ऑपरेटर को जाहिरा तौर पर [2] द्वारा शुरू किया गया था, भाषाओं को परिभाषित करने के लिए (अर्थात उसने संभावना अंतराल की अनुमति नहीं दी थी) और स्पष्ट स्थिरांक या का उपयोग किए बिना। । यहाँ परिभाषा इसके बजाय वादा-समस्याओं की पैदावार करती है, YES-instances और NO-instances in । ध्यान दें कि , और ; इस ऑपरेटर का उपयोग Toda और Ogiwara [3] द्वारा उस को दिखाने के लिए किया गया था ।$\mathsf{BP}$$\tfrac{1}{3}$$\frac{2}{3}$$\Pi_1$$\Pi_0$$\mathsf{BPP = BP\cdot P}$$\mathsf{AM = BP\cdot NP}$$\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

टिप्पणियों

अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेटर जो मानक कक्षाओं की परिभाषा से सार कर सकते हैं, वे हैं (कक्षाओं से और और (कक्षाओं और ) से। यह भी अधिकांश साहित्य में निहित है कि (निर्णय कक्षाओं से समारोह की समस्याएँ) और (निर्णय कक्षाओं से गिनती की कक्षाएं लेना) भी जटिलता ऑपरेटर हैं।$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

बोरचर्ट और सिल्वेस्ट्री का एक लेख है [4] जिसमें प्रत्येक वर्ग के लिए एक ऑपरेटर को परिभाषित करने का प्रस्ताव है, लेकिन जिसे साहित्य में बहुत अधिक संदर्भित नहीं किया गया है; मुझे यह भी चिंता है कि इस तरह के एक सामान्य दृष्टिकोण में सूक्ष्म निश्चित मुद्दे हो सकते हैं। वे बदले में कोब्लर, शॉनिंग और टोरान [5] द्वारा एक अच्छी प्रस्तुति का उल्लेख करते हैं, जो अब 20 साल से अधिक पुराना है, और यह भी बाहर बाहर याद आती है ।$\oplus$

सवाल

जटिलता वर्ग के संचालकों के लिए कौन सी पुस्तक या लेख एक अच्छा संदर्भ है?

संदर्भ

[१]: के। वैगनर, सक्सेस इनपुट रिप्रेजेंटेशन के साथ कॉम्बीनेटरियल समस्याओं की जटिलता , एक्टा इंफो। 23 (1986) 325-356।

[२]: यू शोगिंग, प्रोबैबिलिस्टिक जटिलता वर्ग और नीचता , प्रोक में। कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी में संरचना पर 2 IEEE सम्मेलन, 1987, पीपी 2-8; जे.कंप्यूट में भी। सिस्टम साइंस।, 39 (1989), पीपी 84-100।

[३]: एस। टोडा और एम। ओगिवारा, काउंटिंग क्लासेस कम से कम उतनी ही कठिन हैं जितनी कि बहुपद-कालिक पदानुक्रम , सियाम जे। कॉम्पुट। 21 (1992) 316–328।

[४]: बी। और बोरचर्ट, आर। सिल्वेस्ट्री, डॉट ऑपरेटर्स , सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान खंड २६२ (२००१), ५०१-५२३।

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Comments

एक जटिलता ऑपरेटर की धारणा के लिए एक उल्लेखनीय पूर्वसूचक उपचार है [6]: एस ज़ाचोस, प्रोबेबिलिस्टिक क्वांटिफ़ायर, एडवर्सरीज़, और कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस: एन ओवरव्यू, प्रोक। कॉन्फ्रेंस ऑन स्ट्रक्चर इन कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी (pp.383--400), बर्कले, कैलिफोर्निया, 1986, जिसे Schöning द्वारा उद्धृत किया गया है [2] ऊपर । $\mathsf{BP\cdot NP}$

— निएल डे ब्यूड्रैप

ज़ाचोस द्वारा फिर से, यह भी मदद कर सकता है: संयोजन जटिलता: ऑपरेटर्स ऑन कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

@NieldeBeaudrap Zachos वह है जो पहली बार जटिलता वर्ग के ऑपरेटरों की धारणा के साथ आया था। मुझे उनके व्याख्यानों से याद आता है कि उन्होंने यह स्पष्ट रूप से कहा था। भारी बहुमत के लिए भी एक है, । ${\exists^+}$

— तैफून पे

@TayfunPay: वास्तव में, क्वांटिफायर द्वारा वर्णित तरीके के बजाय [ (ऊपर मेरी टिप्पणी में) में वर्णित दो तरफा औपचारिकता का उपयोग करने के लिए, का वर्णन करने के लिए उपयोगी है । $\exists^+$$\mathsf{BP\cdot}$

— नील डी बेउड्राप

@NieldeBeaudrap एक और भी है जिसका इस्तेमाल अनबाउंड टू-साइड एरर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है । ${\exists _{1/2}}$

— तैफून पे

Answer 1

यहां ऑपरेटरों की कई परिभाषाओं (हालांकि कई विवरण नहीं) के साथ एक संदर्भ है:

एस ज़ाचोस और ए। पैगॉर्त्ज़िस, कॉम्बिनेटर कॉम्प्लेक्सिटी: ऑपरेटर्स ऑन कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस , प्रोसीडिंग्स ऑफ़ 4 वा पैंहेलेंनिक लॉजिक सिम्पोजियम (पीएलएस 2003), थेसालोनिकी, जुलाई 7-10 2003।

• यह एक पहचान संचालक , साथ ही संचालक -, ( ऊपर है), , (बद्ध एक से संबंधित पक्षीय त्रुटि), , (एक अद्वितीय को स्वीकार करने के लिए संक्रमण के साथ गैर नियतिवाद), करने के लिए इसी (असीम दो तरफा त्रुटि के लिए इसी), और (जो एक वर्ग के लिए रूपों )।$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• यह दिखाता है कि:

  1. $\mathcal E$ रचना के संबंध में एक पहचान तत्व है [परिभाषा 1];
  2. $\mathsf{co}$ - स्व-उलटा है [परिभाषा 2];
  3. $\mathsf{N}$ idempotent है [परिभाषा 3] - निहित है कि , , , , और भी idempotent है;$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf{P}$
  4. $\mathsf{BP}$ और के साथ लघुकरण - [परिभाषाएँ 4 और 8], जबकि राइट रचना के तहत अपरिवर्तनीय साथ है - [परिभाषा 6];$\mathsf{P}$$\mathsf{co}$$\oplus$$\mathsf{co}$
  5. उपरोक्त ऑपरेटर सभी मोनोटोन हैं (अर्थात, सभी ऑपरेटरों के लिए उपरोक्त। :${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$$\mathcal O$

कुल मिलाकर, यह उन मुट्ठी भर तरीकों का भी वर्णन करता है, जो ये ऑपरेटर पारंपरिक जटिलता वर्गों से संबंधित हैं, जैसे कि , , , , आदि।$\mathsf{\Sigma^p_2 P}$$\mathsf{ZPP}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{MA}$

Answer 2

एक जटिलता ऑपरेटर (और विचार के कुछ अनुप्रयोगों का प्रदर्शन) की धारणा के लिए एक परिचयात्मक संदर्भ के रूप में, मैंने अब तक जो सबसे अच्छा पाया है वह है

डी। कोजेन, संगणना का सिद्धांत (स्प्रिंगर 2006)

जो कम्प्यूटेशनल जटिलता और संबंधित विषयों पर व्याख्यान नोट्स से लिया गया है। पृष्ठ 187 ("पूरक व्याख्यान जी: टोडा के प्रमेय") पर, वह ऑपरेटरों को परिभाषित करता है

• $\mathsf R$ (एक वर्गीय त्रुटि के साथ यादृच्छिक प्रमाणपत्र के लिए, जैसा कि class )$\mathsf{RP}$
• $\mathsf{BP}$ ( दो-तरफा त्रुटि के साथ यादृच्छिक प्रमाणपत्र के लिए, ऊपर देखें)
• $\mathsf P$ (बिना किसी त्रुटि के यादृच्छिक प्रमाण के लिए, ऊपर टिप्पणी में cf )$\mathsf C$
• $\oplus$ (प्रमाण पत्र की एक विषम संख्या के लिए, ऊपर देखें)
• $\Sigma^{\mathrm{p}}$ (बहुपद-लंबाई प्रमाण पत्र के अस्तित्व के लिए, cf ऊपर ऊपर है)$\exists$
• $\Sigma^{\mathrm{log}}$ ( अस्तित्व के लिए -लगाव प्रमाण पत्र, cf ऊपर है)$O(\log n)$$\exists$
• $\Pi^{\mathrm{p}}$ और (पूरक ऑपरेटर to और टिप्पणी देखें ऊपर)$\Pi^{\mathrm{log}}$$\Sigma^{\mathrm{p}}$$\Sigma^{\mathrm{log}}$$\forall$
• $\#$ (एक गिनती वर्ग को परिभाषित करते हुए, उपरोक्त टिप्पणी)

और सामान्य रूप से पृष्ठ 12 पर को परिभाषित करता है ।$\mathsf{co\text-}$

इन ऑपरेटरों के कोजेन का उपचार यह इंगित करने के लिए पर्याप्त है कि वे "सामान्य" जटिलता वर्गों के साथ कैसे जुड़े हैं, और टोडा के प्रमेय का वर्णन करने के लिए, लेकिन उनके रिश्तों पर अधिक चर्चा नहीं करते हैं और केवल कुल 6 पृष्ठों के लिए उनका उल्लेख करते हैं (आखिर क्या है) एक पुस्तक जो बहुत व्यापक विषय को कवर करती है)। उम्मीद है कि कोई इससे बेहतर संदर्भ प्रदान कर सकता है।