एक सैट उदाहरण के समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करना

Question

एंड्रोस सलामोन और कॉलिन मैकक्लिअन के मेरे पिछले प्रश्न मोनोटोन -2 सीएनएफ फॉर्मूला के समाधानों को गिनने के योगदान को पढ़ने के बाद मेरे दिमाग में यह सवाल उठ गया है ।

EDIT 30 ^वें मार्च 2011
जोड़ा गया प्रश्न n ° 2.

EDIT 29 ^वें अक्टूबर 2010
प्रश्न एक समाधान सेट के अच्छे प्रतिनिधित्व की धारणा के माध्यम से इसे औपचारिक रूप देने के प्रस्ताव के बाद पुनःप्रकाशित हुआ (मैंने उनकी धारणा को थोड़ा संशोधित किया है)।

बता दें कि एक जेनेरिक CNF फॉर्मूला है जिसमें वैरिएबल है। चलो इसके समाधान के सेट हो। स्पष्ट रूप से में घातांक हो सकता है । चलोएन एस | एस | एन $F$$n$$S$$|S|$$n$$R$ प्रतिनिधित्व करें । को अच्छा कहा जाता है अगर और केवल अगर निम्नलिखित तथ्य सभी सच हैं:$S$$R$

1. $R$ में बहुपद आकार की है ।$n$
2. $R$ में बहुपद देरी के साथ समाधान की गणना करने की अनुमति देता है ।$S$
3. $R$ निर्धारित करने की अनुमति देता हैबहुपद समय में (यानी सभी समाधानों की गणना के बिना)। $|S|$

यह बहुत अच्छा होगा यदि यह संभव है, बहुपद में, हर सूत्र के लिए इस तरह के का निर्माण करने के लिए ।$R$

प्रशन:

1. क्या किसी ने कभी यह साबित किया कि ऐसे सूत्रों का परिवार मौजूद है जिनके लिए इतना अच्छा प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है?
2. क्या किसी ने द्वारा प्रदर्शित और समरूपता के प्रतिनिधित्व के बीच संबंध का अध्ययन किया ? सहज रूप से, समरूपता को को कॉम्पैक्ट रूप से दर्शाने में मदद करनी चाहिए क्योंकि वे एक समाधान के उपसमुच्चय के स्पष्ट प्रतिनिधित्व से बचते हैं जब वास्तव में सिर्फ एक समाधान के लिए उबलता है (यानी प्रत्येक आप हर दूसरे को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं) एक उचित समरूपता लागू करने से, इस प्रकार हर खुद पूरे का प्रतिनिधि है )एफ एस एस ' ⊂ एस एस ' रों मैं ∈ एस ' एस जे ∈ एस ' रों मैं ∈ एस ' एस $S$$F$$S$$S' \subset S$$S'$$s_i \in S'$$s_j \in S'$$s_i \in S'$$S'$

Comments

मुझे लगता है कि आपको अपने प्रश्न को थोड़ा सीमित करने की आवश्यकता है। कहा गया है, सूत्र के ही एक बहुपद आकार प्रतिनिधित्व है एस । लेकिन यह स्पष्ट रूप से पिछली समस्या से आने वाली प्रेरणा के लिए मदद नहीं करता है। हो सकता है कि आप चाहते हैं कुछ के लिए बाध्य (बहुपद?) से उत्पन्न होने की जटिलता पर एस (या शायद की एक एकल तत्व एस , या कंप्यूटिंग | एस | ) बहुपद आकार प्रतिनिधित्व से ...$F$$S$$S$$S$$|S|$

— यहोशू Grochow

@ जोशुआ: आप सही कह रहे हैं, धन्यवाद। मैंने प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए समृद्ध किया है। कृपया मुझे बताएं कि क्या यह अब ठीक है।

— जियोर्जियो कैमरानी

BTW, समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका एक "और / या खोज पेड़" है। प्रत्येक उदाहरण पेड़ का एक पत्ता है, और सभी समाधानों की गणना किए बिना गिनती की जा सकती है।

— यारोस्लाव बुलटोव

@ यारोस्लाव: दिलचस्प ... क्या आप कृपया आगे विस्तृत कर सकते हैं?

— 13-09 को जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

जैसा कि कहा गया है (संशोधन 3), प्रश्न का एक सरल उत्तर है: नहीं।

इसका कारण यह है कि बुलियन सर्किट द्वारा AND, OR, और NOT गेट्स के साथ दिए गए निरूपण के अत्यधिक प्रतिबंधित वर्ग के लिए, कोई भी निम्नतर निम्न सीमा ज्ञात नहीं है। (स्पष्ट रूप से एक सर्किट जो का प्रतिनिधित्व करता है, एस भी स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करेगा , और सर्किट में इनपुट को बदलकर समाधानों की गणना करना आसान है।)$F$$S$

और भी अधिक सीमित अभ्यावेदन के लिए, जैसे मोनोटोन या निरंतर गहराई सर्किट, घातीय निचले सीमा ज्ञात हैं। सीएनएफ या डीएनएफ फॉर्म में सूत्रों का प्रतिनिधित्व करने के लिए घातीय निचले सीमाएं भी हैं, हालांकि इन्हें निरंतर गहराई सर्किट के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है। अंत में, BDD अभ्यावेदन को DNF के कॉम्पैक्ट रूपों के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन ऐसे सूत्र मौजूद हैं जिनके लिए BDD को किसी भी चर क्रम के लिए घातीय आकार की आवश्यकता होती है।

अपने प्रश्न को अधिक सटीक बनाने के लिए, कृपया कुछ विस्तार से @ यहोशू के उत्तर पर विचार करें, और कृपया स्पष्ट करें कि "हर एक समाधान को समझने के लिए तुच्छ" से आपका क्या मतलब है।

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संशोधन 4 के लिए, बीडीडी आकार के बारे में विवरण पर ध्यान दें। जो कुछ आप पूछ रहे हैं, उसका एक हिस्सा है: क्या BDD की तुलना में DNF सूत्रों का अधिक कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व है? "BDD का सुपरपोलिनोमियल आकार" है, जिसका अर्थ है "हर BDD एक ही प्रकार्य को B के रूप में प्रस्तुत करता है , चर आदेश की परवाह किए बिना, सुपरपोलोमेनियल आकार है" और "अच्छा प्रतिनिधित्व" का अर्थ है "एक प्रतिनिधित्व" जो समाधान को बहुपद देरी के साथ गणना करने की अनुमति देता है। यह अधिक विशिष्ट प्रश्न तब बनता है:$B$$B$

क्या सूत्रों का एक परिवार है और एक अच्छा प्रतिनिधित्व है जिसमें बहुपद का आकार है, जबकि इसके बीडीडी में सुपरपोलिनोमियल आकार है?

क्या यह जो आप पूछ रहे हैं उसका सार कैप्चर करता है?

Comments

@ András: मैंने एक स्पष्टीकरण अनुभाग जोड़ा है।

— जियोर्जियो कैमरानी

@ एंड्रस: अगर मेरे सवाल में सटीकता की कमी है तो मैं माफी चाहता हूं। आपका वाक्य "BDD की तुलना में DNF फ़ार्मुलों का अधिक कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व है?" मैं जो पूछ रहा हूं उसका सार पकड़ लेता है। इस तरह के और अधिक कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व को हर फॉर्मूले के लिए संभव होना चाहिए (यहां तक ​​कि समाधान के सुपरपोलिनोमियल नंबर वाले)।

— जियोर्जियो कैमरानी

@ एंड्रस: हाय, मैंने इसके बारे में थोड़ा और सोचा है। जो मैं पूछ रहा हूं उसके सार का एक बेहतर कैप्चरिंग प्रश्न है "क्या एक अच्छा प्रतिनिधित्व है जो हर सूत्र के लिए बहुपद का आकार है?" । इस तरह के प्रतिनिधित्व को "अब तक का सबसे अच्छा" होना चाहिए, भले ही इसकी तुलना में बीडीडी कैसे व्यवहार करें। बहुपद देरी का आपका सुझाव मेरे विचार से पूरी तरह फिट बैठता है।

— जियोर्जियो कैमरानी

@Walter: उस सुधार के अनुरूप प्रश्न को संपादित करने या एक नया प्रश्न पोस्ट करने के लायक हो सकता है।

— आंद्रे सलामन

@ András: मैं सवाल rephrased है। अच्छे प्रतिनिधित्व की परिभाषा को थोड़ा बदल दिया गया है (मैंने मान लिया है कि यह आपके आविष्कार का एक शब्द था बजाय साहित्य में स्थापित एक शब्द, यह नहीं है?)।

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 2

[यह उत्तर 29 अक्टूबर 2010 के संशोधन 6 से पहले के संस्करण के जवाब में था।]

मुझे लगता है कि प्रश्न अधिक-या-कम अब काम करता है, लेकिन एक तकनीकी समस्या बाकी है। अर्थात्, कैसे औपचारिक रूप से "यह केवल इस तरह की संरचना को देखकर हर एक समाधान की गणना करने के लिए तुच्छ है।" एक शायद अनुभवहीन औपचारिक (केवल एक मैं इस समय के साथ आ सकता है) इस प्रकार है: चलो समाधान सेट का प्रतिनिधित्व निरूपित एस ( φ ) की φ । फिलहाल मैंने इसके अलावा R पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया है | आर ( φ ) | ≤ पी ओ एल y ( एन ) जहां $R(\varphi)$$S(\varphi)$$\varphi$$R$$|R(\varphi)| \leq poly(n)$$\varphi$ चरों पर एक CNF है । फिर हम एक एल्गोरिथ्म वहाँ रहना चाहता हूँ एक ऐसी है कि एक ( आर ( φ ) ) = एस ( φ ) और एक इनपुट पर आर ( φ ) ) समय में चलाता पी ओ एल y ( n , | एस | ) ।$n$$A$$A(R(\varphi)) = S(\varphi)$$A$$R(\varphi))$$poly(n, |S|)$

इस औपचारिकता के तहत, एकमात्र मुश्किल मामले वही हैं जहां सुपर-बहुपद है, लेकिन उप-घातीय है। शेष मामलों को निम्नलिखित प्रतिनिधित्व आर और एल्गोरिथ्म ए द्वारा नियंत्रित किया जाता है : यदि | एस | ≤ पी ओ एल y ( एन ) , तो चलो आर ( φ ) = ( 0 , एस ) । अगर | एस | ≥ 2 Ω ( एन ) तो चलो आर ( φ ) = $S$$R$$A$$|S| \leq poly(n)$$R(\varphi) = (0, S)$$|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ । एक ( 0 , एस ) बस आउटपुट एस , और एक ( 1 , φ ) बस की गणना एस से जानवर बल द्वारा φ । चूंकि | एस | = 2 Ω ( एन ) उत्तरार्द्ध मामले में, यह अभी भी समय में चलाता है हे ( | एस | ) ।$R(\varphi) = (1, \varphi)$$A(0, S)$$S$$A(1, \varphi)$$S$$\varphi$$|S| = 2^{\Omega(n)}$$O(|S|)$

हालांकि, इस औपचारिकता के तहत कठिन मामले सामान्य रूप से असंभव हैं। यदि ऐसा और A अस्तित्व में है, तो इसका मतलब होगा कि हर S की p- टाइम-बाउंड कोलमोगोरोव जटिलता p o l y ( n ) द्वारा बाउंड की गई थी , जो कि बेतुका है (लगभग सभी सेटों में S की अधिकतम पी -टाइम-बाउंड है Kolmogorov जटिलता, अर्थात् | एस | )। (यहाँ p , A | S | के कार्य के रूप में चल रहा है ।)$R$$A$$p$$S$$poly(n)$$S$$p$$|S|$$p$$A$$|S|$

(नोट अगर हम अतिरिक्त है कि आवश्यकता है कि समय में रन पी ओ एल y ( n , | φ | ) , तो सवाल का जवाब नहीं सामान्य रूप में है, यह मानते हुए पी ≠ पी आर ओ मीटर मैं रों ई यू पी : अगर φ एक अनूठा समाधान है, तो एक ( आर ( φ ) ) को हल किया जा φ और समय में किये पी ओ एल y ( एन ) ।$R$$poly(n, |\varphi|)$$P \neq PromiseUP$$\varphi$$A(R(\varphi))$$\varphi$$poly(n)$

Comments

@ जोशुआ: इस सवाल का जवाब देने के लिए अपना कुछ समय समर्पित करने के लिए धन्यवाद। शायद तीसरी आखिरी पंक्ति में हमें को ए के साथ बदलना चाहिए ? $R$$A$

— जियोर्जियो कैमरानी

@Joshua: मुझे लगता है के साथ "समस्या" है कि यह जानवर बल की आवश्यकता है। यह एक इंसान के लिए तुच्छ नहीं है (न ही एक एल्गोरिथ्म के लिए) तुरंत "देख" संतोषजनक कार्य केवल इसे देखकर। $R(\varphi) = (1,\varphi)$

— जियोर्जियो कैमरानी

@Walter: मैं वास्तव में तीसरी-टू-लास्ट लाइन में का मतलब था। $R$

— जोशुआ ग्रूचो

@Walter: मैं पूरी तरह से समझते हैं कि अपने प्रश्न की भावना का उल्लंघन, आंशिक रूप से कम से कम (के बाद से मैं सिर्फ कुछ के लिए ऐसा करते हैं, बिल्कुल नहीं, सूत्र)। यह तकनीकी मुद्दे का हिस्सा है: जिस तरह से मैं आपके सवाल को औपचारिक रूप देने के बारे में सोच सकता था, वह इस तरह की मूर्खतापूर्ण चीजों की अनुमति देता है, जो आंशिक रूप से प्रश्न की भावना का उल्लंघन करता है। एक औपचारिकता खोजना जो इसे अनुमति नहीं देता है, यह काफी दिलचस्प होगा। $R(\varphi) = (1, \varphi)$

— जोशुआ ग्रोचो

@Walter, @ András Salamon: शायद एंड्रास का सुझाव के तत्वों को बहुपद ( n ) देरी (बजाय समय O ( | S | ) ) के साथ आउटपुट करने का एक बेहतर औपचारिकरण होगा। यह निश्चित रूप से तरह बातें बाहर नियम आर ( φ ) = ( 1 , φ ) , तब भी जब φ तेजी से कई समाधान है। $S$$n$$O(|S|)$$R(\varphi) = (1, \varphi)$$\varphi$

— जोशुआ ग्रोको