मोनोटोन -2 सीएनएफ फॉर्मूले के समाधान की गिनती

Question

एक मोनोटोन -2 सीएनएफ फॉर्मूला एक सीएनएफ फॉर्मूला है जहां प्रत्येक क्लॉज को वास्तव में 2 पॉजिटिव शाब्दिक रूप से बनाया जाता है।

अब, मेरे पास एक मोनोटोन -2 सीएनएफ फॉर्मूला । बता दें कि एस एफ के संतोषजनक काम का सेट है । मेरे पास एक ओरेकल ओ है जो निम्नलिखित जानकारी देने में सक्षम है:$F$$S$$F$$O$

1. सेट की कार्डिनैलिटी ( एफ के समाधानों की संख्या )।$S$$F$
2. एक चर को देखते हुए : $x$
   • सकारात्मक शाब्दिक एक्स युक्त में समाधान की संख्या ।$S$$x$
   • में समाधान की संख्या नकारात्मक शाब्दिक युक्त ¬ एक्स ।$S$$\lnot x$
3. दिए गए 2 चर और x 2 : $x_1$$x_2$
   • में समाधान की संख्या युक्त एक्स 1 ∧ एक्स 2 ।$S$$x_1 \land x_2$
   • में समाधान की संख्या युक्त एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 2 ।$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • में समाधान की संख्या युक्त ¬ एक्स 1 ∧ एक्स 2 ।$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • में समाधान की संख्या युक्त ¬ एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 2 ।$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

ध्यान दें कि ओरेकल "सीमित" है: यह केवल पर काम करता है एफ , यह एक सूत्र पर नहीं किया जा सकता एफ ' ≠ एफ ।$O$$F$$F' \neq F$

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सवाल:

यह देखते हुए 3 चर , x 2 , x 3 उस में समाधान की संख्या निर्धारित करने के लिए संभव है एस युक्त ¬ एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 2 ∧ ¬ एक्स 3 में बहुपद समय का उपयोग करते हुए एफ और द्वारा दी गई जानकारी हे ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

ध्यान दें:

आप की जगह ले सकता के 8 संभव संयोजनों में से जो कुछ भी किसी और के साथ सवाल में एक्स 1 , x 2 , x 3 । समस्या जस की तस बनी रहेगी।$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

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अनुभवजन्य तथ्य:

मैं एक सप्ताह पहले निम्नलिखित अनुभवजन्य तथ्य पर आया था। चलो उन युक्त समाधान के सेट हो ¬ एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 2 , और एस ¬ एक्स 1 ∧ ¬ एक्स 2 ∧ एक्स 3 ⊂ एस उन समाधानों का समूह होता है जा ¬ एक्स 1 ¬ ∧ x 2 ∧ x 3 । अब, यह मामला लगता है कि, अगर हालत $S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$धारण, यह संबंध भी रखता है:

जहांφ=1.618033 ...सुनहरा अनुपात है। स्थितिCनिम्नलिखित प्रतीत होती है:"x1,x2,x3का उल्लेखएफ मेंलगभग समान संख्या में होता है"।$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$$x_3$$F$

Comments

जब आप कहते हैं "नकारात्मक शाब्दिक -x युक्त समाधान" - क्या आपका मतलब है "x = 0 के साथ समाधान"?

— नोआम

@ नोम: हाँ, बिल्कुल।

— जियोर्जियो कैमरानी

आसान अवलोकन: चूंकि ओरेकल ओ के संभावित प्रश्नों की संख्या बहुपद रूप से बंधी हुई है, सामान्यता के नुकसान के बिना आप एक एल्गोरिथ्म की शुरुआत में सभी प्रश्नों को क्वेरी कर सकते हैं। इसलिए, हम अतिरिक्त इनपुट द्वारा ओरेकल को बदल सकते हैं, इस वादे के साथ कि वे नंबर सही हैं। मुझे लगता है कि यह वादा सूत्रीकरण इसे एक अलंकार के रूप में मानने से थोड़ा सरल है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: हां, मैं आपसे सहमत हूं।

— जियोर्जियो कैमरानी

@vzn: 2CNF का निर्णय संस्करण । यह मोनोटोन केस का काउंटिंग संस्करण है (एक मोनोटोन 2CNF फॉर्मूला एफ दिया गया है , आपको यह गणना करना होगा कि इसमें कितने संतोषजनक असाइनमेंट हैं)। $P$$F$

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

उस अनुभवजन्य तथ्य का उपयोग करने के लिए आप वास्तव में जानना चाहते हैं कि क्या अनुमानित संख्या दूसरों को अनुमानित संख्या दे सकती है। लेकिन सटीक मामले के लिए, मुझे लगता है कि यह दिखाने का एक सीधा तरीका हो सकता है कि यह कठिन है। यहाँ एक स्केच है।

$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

प्रमाण की रूपरेखा:

1. यदि 2-अनुमान 3-अनुमान देते हैं, तो वे प्रत्येक k के लिए polytime में k-अनुमान भी देते हैं।
2. यदि 2-अनुमान 4-अनुमान देते हैं, तो एक ग्राफ के स्वतंत्र सेट की संख्या FP में है, इसलिए FP = # P।

$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Comments

मैं उस अनुभवजन्य तथ्य का उपयोग नहीं करना पसंद करूंगा! मैं पाठ्यक्रम की सटीक गिनती पसंद करता हूं। लेकिन संयोग से मैंने सटीक गिनती निर्धारित करने की कोशिश करते हुए उस तथ्य पर ध्यान दिया।

— जियोर्जियो कैमरानी

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। हां, यह कठिन है: जैसा कि आप कहते हैं, इस प्रश्न का एक सकारात्मक उत्तर # पी = एफपी होगा।

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 2

कुछ टिप्पणियों, एक जवाब नहीं।

नोट के आगे प्रश्न के लिए, 3 लीटर के किसी भी संयोजन को एक ही चर पर शाब्दिक के किसी भी अन्य संयोजन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, साथ ही साथ थोड़ी सी शर्तें जो कि ओरेकल प्रदान कर सकती हैं। यह 3 अन्तर्विभाजक सेटों के वेन आरेख को देखने और 8 क्षेत्रों में से प्रत्येक को अन्य क्षेत्रों के संदर्भ में व्यक्त करने से है। ध्यान दें कि इसके लिए सूत्र को मोनोटोन या 2CNF होने की आवश्यकता नहीं है।

$2^{n-3}$

इसलिए यह सवाल वास्तव में है कि क्या बहुपद आकार की अभिव्यक्ति को बहुपदीय आकार में संपीड़ित करने के लिए मोनोटोन 2CNF होने का उपयोग करना संभव है।

मैंने एक सरल प्रश्न को देखने की कोशिश की, ओरेकल को केवल एक सलाह स्ट्रिंग तक सीमित कर दिया समाधान की संख्या के साथ, जब एकल या युग्मक शाब्दिक संयोजन के लिए गणना उपलब्ध नहीं हैं। मैं किसी भी एकल शाब्दिक के संबंध में समाधान की संख्या की त्वरित गणना प्राप्त करने के लिए समाधानों की संख्या के ज्ञान का दोहन करने का कोई तरीका नहीं देख सकता।

$S$$x_1$$|S|$

Comments

वास्तव में, दी गई जानकारी को अंतर्निहित कठोरता को हराने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली होना चाहिए। यह ज्ञात है कि जब तक एनपी = आरपी नहीं होता है, तब तक मोनोटोन 2-सैट के समाधान के लिए कोई फ़्रीस नहीं होता है।

— mhum

$D$$D$$F$$D$

@Walter: हां, मैं समझता हूं कि। मेरा कहना है कि बहुत सरल मामला भी स्पष्ट नहीं है: कुल समाधानों की संख्या से लेकर एकल समाधान तक की संख्या।

— आंद्र सलामॉन

यह हो सकता है कि आपका सूत्र अनिवार्य रूप से रैखिक हो: एक पथ में स्वतंत्र सेट फाइबोनैचि अनुक्रम का अनुसरण करते हैं। इसे देखने का एक तरीका यह है कि विभाजन कार्य (1 1; 1 0) में एक प्रतिध्वनि के रूप में phi है।

— कॉलिन मैकक्लिअन

मैं कुछ स्लाइडों में पाया गया कि अधिक कठोर परिणाम पर चर्चा करने के लिए: isid.ac.in/~antar/Talks/Counting-Hard-Core_KBS_slides.pdf (पृष्ठ 11 देखें)

— कॉलिन