मेजरिटी फंक्शन की सर्किट जटिलता

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चलो बहुमत समारोह, यानी होना यदि और केवल यदि । मैं सोच रहा था कि क्या निम्न तथ्य का एक सरल प्रमाण था ("सरल" से मेरा मतलब है कि संभावनाशील विधि पर निर्भर नहीं है जैसे कि Valiant 84 ने किया या छँटाई नेटवर्क पर; अधिमानतः सर्किट का एक स्पष्ट, सीधा निर्माण प्रदान करना): $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

को सर्किट, पॉली (n) आकारके सर्किटों के एक परिवार द्वारा गणना की जा सकती है, जहां गेट्स में गेट्स नहीं, 2-इनपुट या गेट्स, और 2-इनपुट और गेट्स होते हैं। $f$ $O(\log(n))$

— matthon
स्रोत

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यह रुचि का हो सकता है: इगोर सर्गेव, बहुमत समारोह के सूत्र आकार के लिए ऊपरी सीमा ; यहाँ भी उन्होंने कुछ बेहतर ऊपरी सीमा की घोषणा की। हालाँकि, यदि आप सिर्फ सर्किट ( सूत्र नहीं ) के बारे में पूछते हैं , तो इगोर ने मुझे याद दिलाया, प्रत्येक सममित बूलियन फ़ंक्शन (केवल बहुमत नहीं) में गहराई

और आकार

सर्किट है : बस आप की राशि की गणना करें

एस, और

चर के एक बूलियन समारोह का एहसास । बहुमत के लिए, यह बाद वाला फ़ंक्शन

साथ तुलना है

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

।

n / 2

$n/2$

— Stasys

@Stasys, और लोगों की संख्या की गणना अनिवार्य रूप से बिट्स को छांट रहा है।

— केव

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$\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

चूंकि बहुसंख्यक एकरसता है इसलिए हम जानते हैं कि इसकी गणना एक मोनोटोन सूत्र द्वारा की जा सकती है। दो ज्ञात निर्माण बहुपद आकार के मोनोटोन फ़ार्मुलों हैं, जिनके नाम आप दो हैं, वेलिएंट के संभावित निर्माण और छँटाई नेटवर्क के माध्यम से निर्माण। जहाँ तक मुझे पता है कि छँटाई नेटवर्क द्वारा प्रदान की तुलना में हमारे पास कोई सरल निर्धारक निर्माण नहीं है।

$\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ कोहेन एट अल द्वारा लॉग-डेथ थ्रेशोल्ड फॉर्मूला के माध्यम से कुशल मल्टीपार्टी प्रोटोकॉल । यहां इस तरह के सूत्र मानक जटिलता-सिद्धांत या क्रिप्टोग्राफिक मान्यताओं के आधार पर निर्माण कर रहे हैं।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन
स्रोत

9

$\sum_i x_i \geq k$

$k$

दूसरी ओर, मान लें कि हमारे पास प्रतिबंधित सीमा की गणना करने के लिए एक सर्किट है। हम इनपुट में लोगों की संख्या का पता लगाने के लिए एक समानांतर खोज कर सकते हैं और क्रमबद्ध सूची का उत्पादन कर सकते हैं।

$\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

ध्यान दें कि बहुमत के गेट पर नए 1 और 0 इनपुट जोड़कर बहुमत का उपयोग करके प्रतिबंधित सीमा को लागू करना आसान है।

$\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

$O(\lg n)$

$a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

$O(1)$

अनुभाग 4 देखें और 4 में व्यायाम करें

डेविड मिक्स बैरिंगटन और एलेक्सिस मैकियल, " कम्प्यूटेशनल जटिलता पर उन्नत पाठ्यक्रम ", व्याख्यान 6, आईएएस / पीसीएमआई, 2000।

— कावेह
स्रोत

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

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$n$

एक वैकल्पिक प्रमाण ब्रोडल एंड हसफेल्ट: ए कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी प्रूफ द्वारा दिया गया है कि सिमिट्रिक फंक्शंस में लॉगरिंथ डेप्थ है । फिर से, प्रमाण प्राथमिक है और एक स्पष्ट निर्माण प्रदान करता है।

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव
स्रोत