एक ग्राफ के किनारे कवर की संख्या गिनने की जटिलता

एक किनारे कवर ऐसी है कि ग्राफ के हर शिखर कवर का कम से कम एक किनारे के निकट है एक ग्राफ के किनारों का एक सबसेट है। निम्नलिखित दो पेपर कहते हैं कि बढ़त कवरों की गिनती #P -complete : बढ़त के कवर के लिए एक साधारण FPTAS और पथ रेखांकन के एज कवर को उत्पन्न करना है । हालांकि, जब तक मैं कुछ याद नहीं करता, वे इस दावे के लिए एक संदर्भ, या एक प्रमाण नहीं देते हैं। (पहले पेपर का संदर्भ 3 आशाजनक लग रहा था, लेकिन मुझे वह नहीं मिला जो मैं वहां चाहता था।)

मुझे इस तथ्य का संदर्भ या प्रमाण कहां मिल सकता है कि किसी ग्राफ के किनारे कवर की संख्या # P- पूर्ण है?

— a3nm
स्रोत

जवाबों:

मुझे नहीं पता कि यह पहली बार कहाँ साबित हुआ था, लेकिन चूंकि एजकवर के पास बूलियन डोमेन होलेंट समस्या के रूप में एक अभिव्यक्ति है, इसलिए यह कई होलंट डाइकोटॉमी प्रमेयों में शामिल है।

एजकोवर को (1) में डाइकोटॉमी प्रमेय में शामिल किया गया है। प्रमेय ६.२ (जर्नल संस्करण में या प्रमेय में ६.१ संस्करण) से पता चलता है कि एजकवर ३-नियमित ग्राफ़ पर # पी-हार्ड है। इस देखने के लिए, 3-नियमित रेखांकन पर एक Holant समस्या के रूप में EdgeCover के लिए अभिव्यक्ति है (या की जगह के साथ युक्त के ऊपर एक ही समस्या के लिए 1 के $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $k$ -अनियमित रेखांकन)। यह संकेतन इनपुट हैमिंग वजन के क्रम में एक सममित फलन के उत्पादन को सूचीबद्ध करता है । सेट किनारों के कुछ सबसेट के लिए (जिसे हम 1 सौंपा जाना मानते हैं और पूरक सेट 0 दिया जा रहा है), प्रत्येक शीर्ष पर कसना यह है कि कम से कम एक किनारे को 1 सौंपा गया है, जो कि वास्तव में कार्य । किनारों के एक निश्चित सबसेट के लिए, इसका वजन के आउटपुट का उत्पाद है। $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ प्रत्येक शीर्ष पर। यदि किसी भी शीर्ष को कवर नहीं किया गया है, तो यह कारक का योगदान देता है । यदि सभी कोने कवर किए गए हैं, तो सभी कोने कारक का योगदान करते हैं , इसलिए वजन भी । फिर होलांत को किनारों के हर संभावित उपसमुच्चय पर योग करना और प्रत्येक उपसमूह के अनुरूप भार जोड़ना है। यह समग्र मान बिल्कुल वैसा ही है यदि हम हर किनारे को उपविभाजित करते हैं और बाधा डालते हैं कि दोनों घटना किनारों को इन नए कोणों के बराबर होना चाहिए। सममित फ़ंक्शन संकेतन का उपयोग करते हुए, यह बाइनरी समानता फ़ंक्शन है । यह ग्राफ द्विदलीय है। एक भाग में स्थित आवृत्तियां $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ बाधा जबकि दूसरे भाग में लंबवत बाधा है। एक होलेंट समस्या के रूप में इसके लिए अभिव्यक्ति । फिर आप अपने लिए उस पंक्ति " " और कॉलम " " कीजांच कर सकते हैं $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "ऊपर" उद्धृत प्रमेय के पास की तालिका में "एच" होता है, जिसका अर्थ है कि समस्या # पी-हार्ड है, यहां तक कि इनपुट ग्राफ भी प्लानर होना चाहिए। $[1,0,1]$

साइड नोट: ध्यान दें कि पिनान लू इस पेपर का एक लेखक है और पहला पेपर जो आप उद्धृत करते हैं। मैं यह अनुमान लगा रहा हूं कि जब उनका पेपर कहता है "गिनती कवर एक # पी-पूर्ण समस्या है, तब भी जब हम इनपुट को 3 नियमित रेखांकन तक सीमित करते हैं", वे स्पष्ट रूप से उद्धृत कर रहे थे (1)। उन्होंने शायद यह उल्लेख नहीं किया कि कठोरता तब भी होती है जब प्लानर ग्राफ़ के लिए प्रतिबंधित होता है क्योंकि उनके FPTAS को इस प्रतिबंध की आवश्यकता नहीं होती है।

बाद में होलेंट डाइकोटॉमी प्रमेय, जैसे कि (2,3) --- एक ही काम के सम्मेलन और जर्नल संस्करण --- अधिक साबित हुए। प्रमेय 1 (दोनों संस्करणों में) का कहना है कि EdgeCover # पी मुश्किल से अधिक समतल है -नियमित रेखांकन । इसे देखने के लिए, हमें एक होलोग्राफिक परिवर्तन लागू करने की आवश्यकता है। जैसा कि ऊपर वर्णित है, एज-ओवर के लिए अभिव्यक्ति के रूप में अनियमित रेखांकन पर एक Holant समस्या है , जहां में $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1 के। और इसके अलावा, यह बराबर है । अब हम से एक होलोग्राफिक परिवर्तन लागू $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (या इसके विपरीत, आपके दृष्टिकोण के आधार पर)। Valiant's Holant Theorem (4,5) द्वारा, यह समस्या की जटिलता को नहीं बदलता है (वास्तव में, दोनों समस्याएं वास्तव में एक ही समस्या हैं क्योंकि वे हर इनपुट के आउटपुट पर सहमत हैं ... केवल समस्या की अभिव्यक्ति बदल गई है )। इस समस्या के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति है

जहाँ पर समानता कार्य है

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$

इनपुट्स प्रमेय 1 लागू करने के लिए, हम सामान्य करने के लिए है

के लिए

द्वारा मूल कार्य विभाजित करके

, जो समस्या की जटिलता को नहीं बदलता है क्योंकि यह मान nonzero है। तब मान

और

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$ प्रमेय के कथन में

और

। के लिए

, एक जाँच कर सकते हैं कि इस समस्या है, तो इस प्रकार EdgeCover रूप में अच्छी तरह, # पी मुश्किल खत्म हो गया है प्लानर

-नियमित रेखांकन

।

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

साइड नोट: कोई माइकल प्राल्स्की की थीसिस में इस प्रमेय और प्रमाण को भी देख सकता है ।

मैं अपनी साहित्य खोज जारी रखूंगा देखने के लिए एजकोवर को (1) से पहले # पी-हार्ड दिखाया गया था।

(1) होलोग्राफिक कमी, अंतर्वेशन और कठोरता जिन-यी कै, Pinyan लू, और Mingji ज़िया (द्वारा पत्रिका , प्रीप्रिंट )।

(2) के लिए एक विरोधाभास के साथ नियमित रेखांकन -Vertex कार्य और रियल एज कार्य $k$ $\{0,1\}$ जिन-यी कै और माइकल Kowalczyk द्वारा।

(3) पर विभाजन कार्यों के साथ नियमित रेखांकन -Vertex कार्य और रियल एज कार्य $k$ $\{0,1\}$ जिन-यी कै और माइकल Kowalczyk द्वारा।

(४) लेस्ली जी वैलेन्ट द्वारा होलोग्राफिक एल्गोरिदम

(5) जिन-यी कै और विनय चौधरी द्वारा वैलेंटाइन के होलेंट प्रमेय और मैचगेट टेंसर्स

— टायसन विलियम्स
स्रोत

वाह, मुझे इस ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद और किनारे कवर करने के लिए शब्दावली और कनेक्शन की व्याख्या करने के लिए समय निकालने के लिए! मैं आपके साथ सहमत हूं कि (1) स्पष्ट रूप से साबित होता है कि एजकवर कठिन है (और 3-नियमित प्लानर ग्राफ के लिए भी कठिन है)। मुझे यह जानने में भी दिलचस्पी है कि अगर किसी ने (1) से पहले EdgeCover की # पी-कठोरता साबित कर दी, हालांकि मैं पहले से ही काफी खुश हूं कि अगर मुझे इस परिणाम का उपयोग करने की आवश्यकता है तो मुझे कुछ उद्धृत करना होगा (जो पूछने पर मेरी मुख्य चिंता थी) )। आपके उत्तर के लिए फिर से धन्यवाद!

— a3nm

@ टायसन विलियम्स: यदि आप 2-3-नियमित ग्राफ से शुरू करते हैं और डिग्री 2 के विभाजन के नोड्स को अनुबंधित करते हैं तो आप समानांतर किनारों के साथ 3-नियमित मल्टीग्राफ के साथ समाप्त हो सकते हैं । क्या 3-नियमित सरल रेखांकन पर कठोरता दिखाने के लिए इसे ठीक किया जा सकता है ? अधिक आम तौर पर, इस प्रश्न को होलेंट समस्याओं के सभी परिणामों के लिए कहा जा सकता है, इसलिए मैंने यहां एक नया प्रश्न बनाया cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111 , क्योंकि मुझे लगता है कि यह समस्या इस विशेष समस्या (गिनती गिनती) तक सीमित नहीं है कवर)। मुझे खुशी होगी अगर आप एक नज़र

— डाल सकें

आह येस। अच्छा अवलोकन। मैं अभी याद नहीं कर पा रहा हूं कि सरल रेखांकन के क्या परिणाम हैं।

— टायसन विलियम्स

@ टायसनविल्स: पुष्टि करने के लिए धन्यवाद, और कोई चिंता नहीं! मेरे समुदाय में "ग्राफ" का अर्थ हमेशा "सरल ग्राफ" होता है जब तक कि अन्यथा न कहा जाए, इसलिए मैंने इसे स्पष्ट रूप से प्रश्न में नहीं कहा था।

— a3nm

@ टायसनविल्स: आखिरकार, हमने पाया है कि कैसे होलोग्राफिक साधनों के माध्यम से सरल रेखांकन (जो कि 2-3 नियमित द्विदलीय और प्लानेर हैं) के लिए बढ़त कवर पर एक कठोरता परिणाम प्राप्त करना है। विवरण नीचे मेरे उत्तर के नवीनतम संस्करण में हैं, और arxiv.org/abs/1703.03201 के परिशिष्ट डी में । हम xia2006 अनियमित से 3-नियमित द्विदलीय प्लानर ग्राफ़ पर वर्टेक्स कवर की गिनती की कठोरता का उपयोग करते हैं: इन ग्राफ़ में कोई आत्म-लूप नहीं होता है, हम प्रत्येक किनारे को उपविभाजित करते हैं जो समानांतर किनारों को हटाता है, और cai2006holographic समस्याएं पैदा नहीं करता है। (3-नियमित ग्राफ़ के रूप में, आपके उत्तर में, हमें नहीं पता।)

— a3nm

कुछ और साहित्य खोज के बाद, ऐसा प्रतीत होता है कि एक ग्राफ में बढ़त कवरों की गणना की जटिलता को बोर्डेविच2008पथ, # परिशिष्ट A 1 में # P- पूर्ण दिखाया गया था । (यह इनपुट के रूप में मनमाने ढंग से रेखांकन मानता है, अर्थात, वे इनपुट ग्राफ पर किसी भी धारणा को लागू नहीं कर सकते हैं, सिवाय इसके कि वे मानते हैं कि न्यूनतम डिग्री को मनमाने ढंग से बड़ा बनाया जा सकता है)। (bordewich2008path आगे इंगित करता है कि परिणाम bubley1997graph में प्रमाण के बिना दावा किया गया है।) यह परिणाम टायसन विलियम्स के उत्तर में काई, लू और ज़ी (1) के रूप में संदर्भित किया गया है, और यह होलोग्राफिक सिद्धांत पर भरोसा नहीं करता है।

विशेष रूप से, परिणाम 3-नियमित ग्राफ में ग्रीनहेल्क्सेन २२६०xxity (vadhan199xcomplexity में दिखाए गए अधिकतम ४ पर डिग्री के ग्राफ के लिए अनुरूप परिणाम में सुधार) में दिखाए गए स्वतंत्र सेटों की # पी-कठोरता पर निर्भर करता है, और bubley1997graph की तकनीक का उपयोग करके परिणाम साबित करता है ।

एक मजबूत परिणाम, अर्थात्, गिनती की बढ़त को अधिकतम चार में डिग्री के एक द्विदलीय ग्राफ में कवर किया जाता है (आगे यह निर्धारित करते हुए कि किनारे सेट को चार मिलानों में विभाजित किया जा सकता है) का अध्ययन स्वतंत्र रूप से khanna2011queries, परिशिष्ट B.1 में किया गया था, फिर बिना होलोग्राफिक टूल के । वे 3-नियमित द्विदलीय ग्राफ में स्वतंत्र सेटों की गिनती की कठोरता पर भरोसा करते हैं (vadhan1997complexity के प्रक्षेप विधि के शोधन द्वारा xia2006 अनियमित में दिखाया गया है) और फिर वे bordewich2008path की तकनीक का शोधन करते हैं।

एक और भी मजबूत परिणाम (बढ़त की गिनती की गिनती एक द्विदलीय 2-3 नियमित ग्राफ में कवर की जाती है, अर्थात, द्विदलीय ग्राफ जहां एक तरफ सभी कोने में डिग्री 2 होती है और दूसरी तरफ सभी कोने में डिग्री 3 होती है, जो इसके अतिरिक्त प्लेनर हो सकती है xia2006 अनियमित और cai2008holographic के परिणामों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। इसके लिए स्पष्टीकरण हमारे PODS'17 पेपर के नवीनतम संस्करण के परिशिष्ट डी के रूप में दिखाई देते हैं । इस मामले में, हमने ध्यान से जांच की कि परिणाम सरल रेखांकन के लिए है, अर्थात, ऐसे ग्राफ़ के लिए, जिसमें न तो स्वयं-छोर हैं और न ही बहु-किनारे हैं (टायसन विलियम्स के उत्तर के लिए टिप्पणियां देखें)।

प्लेनर 3-नियमित ग्राफ़ पर कठोरता के लिए, टायसन विलियम्स के उत्तर में एक तर्क दिया जाता है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह ग्राफ़ में बहु-किनारों और स्व-छोरों की अनुमति देता है।

संदर्भ:

बोर्द्यूविच2008पथ: मैग्नस बोर्डेविच, मार्टिन डायर, मारेक करपिंस्की, स्टॉपिंग टाइम्स का उपयोग कर पथ युग्मन और हाइपरग्राफ , 2008 में इंडिपेंडेंट सेट्स एंड कलर्स की गिनती ।
bubley1997graph: Russ Bubley, मार्टिन डायर, बिना सिंक वाला ग्राफ ओरिएंटेशन और #SAT , 1997 का एक कठिन मामला है । कोई भी ओपन-एक्सेस संस्करण ऑनलाइन उपलब्ध नहीं है। :-(
cai2008 होलोग्राफिक: जे। काई, पी। लू, एम। ज़िया, होलोग्राफिक कमी, प्रक्षेप और कठोरता , 2008
ग्रीनहिल्कोन्यूक्लोप्लेक्सिटी: कैथरीन ग्रीनहिल, विरल रेखांकन और हाइपरग्राफ , 2000 में रंगों और स्वतंत्र सेटों की गिनती की जटिलता
khanna2011queries: संजीव खन्ना, सुदीपा रॉय, वैल तन्नन, क्वैरीज़ विद डिफरेंस विद प्रोबेबिलिस्टिक डेटाबेस , 2011।
vadhan1997complexity: सलिल पी। वदन, स्पार्स में गिनती की जटिलता, नियमित और प्लानर ग्राफ़ , 1997। कुछ परिणाम संभवतः मूल रूप से एक थीसिस में दिखाई दिए, लेकिन मैंने जांच नहीं की।
xia2006 अनियमित: मिंगजी ज़िया, वेनबो झाओ, # 3-नियमित बिपर्टाइट प्लानर वर्टेक्स कवर # पी-कम्पलीट , 2006 है। कोई भी ओपन-एक्सेस संस्करण ऑनलाइन उपलब्ध नहीं लगता है। :-( ध्यान दें कि पहला लेखक टायसन विलियम्स के उत्तर में (1) का लेखक भी है।

डिस्क्लेमर: मुझे केवल इन पेपरों पर एक सतही नज़र थी और मैं इस क्षेत्र का विशेषज्ञ नहीं हूं, इसलिए मेरे सारांश में त्रुटियां हो सकती हैं।

एक गुमनाम PODS'17 रेफरी की ओर से मुझे khanna2011queries की ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद, जिसने मुझे यह उत्तर लिखने के लिए प्रेरित किया।

— a3nm
स्रोत