हर स्वतंत्र सेट में रंगों की संख्या को कम करते हुए ग्राफ रंग

Question

निम्नलिखित दावा ज्ञात है?

दावा : किसी भी ग्राफ के लिए के साथ n कोने की एक रंग वहां मौजूद जी ऐसा है कि हर स्वतंत्र सेट अधिक से अधिक द्वारा रंग है हे ( $G$$n$$G$रंग।$O(\sqrt{n})$

Answer 1

निम्नलिखित दावा मेरे लिए जाना जाता है, लेकिन गिनती नहीं हो सकता है, क्योंकि यह अप्रकाशित है: पर कोई ग्राफ कोने इतना रंगा जा सकता है कि किसी भी प्रेरित subgraph एच ज्यादा से ज्यादा रंगीन संख्या का कश्मीर ज्यादा से ज्यादा उपयोग करता है χ ( एच ) + बी रंग, जहां बी ( B + 1 ) ≤ 2 k n ।$n$$H$$k$$\chi(H)+B$$B(B+1)\leq 2kn$

यह प्रेरण द्वारा एक प्रमाण है; प्रेरणा उन रंगों पर विचार करना था जो न केवल ग्राफ पर, बल्कि सभी प्रेरित उपसमूहों पर भी कुछ रंगों का उपयोग करते हैं। मैं किसी भी प्रकाशित परिणामों से अवगत नहीं हूँ, हालाँकि।

Answer 2

नहीं काफी आप के लिए क्या पूछना है, लेकिन यहां एक कम बाध्य है - एक ग्राफ है जिसके लिए किसी भी रंग एक स्वतंत्र द्वारा रंग सेट में परिणाम होगा रंग:$\sqrt{n}$

ले की प्रतियांकश्मीर$\sqrt{n}$ , और सभी शीर्षों को एक ही शीर्षsसे जोड़ते हैं।$K_{\sqrt{n}}$$s$

जाहिर है, के प्रत्येक सेट अलग से कोनेकश्मीरके स्वतंत्र है, और के हर कॉपी मेंकश्मीर$\sqrt{n}$$K$ आप कम से कम एक "नया" रंग पा सकते हैं।$K_{\sqrt{n}}$

यह कम बाध्य आसानी से करने के लिए सुधार किया जा सकता या तो यदि हमK1,K2, कोजोड़ते हैं। । एक भी शिखर को, लेकिन यह केवल बनी हुई हैΩ($\sqrt{2n}$$K_1,K_2,..$रंग।$\Omega(\sqrt{n})$

Comments

दूसरा उदाहरण बाउंड को बेहतर बनाने के लिए नहीं लगता है। मुझे लगता है कि किसी भी का उपयोग रंगा जा सकता है । उदाहरण के लिए, n = 9 के लिए,K1नीले रंग से,K2हरे और लाल रंग से, औरK3नीले, हरे और लालरंग से रंगा जाता है। कोई भी अधिकतम आईएस 2 रंगों से रंगा है, न कि 3.$2\sqrt{2n}/3$$K_1$$K_2$$K_3$

— user15669

मुझे नहीं पता तुम्हारा क्या मतलब है। दूसरा उदाहरण बाउंड को बेहतर बनाता है, लेकिन एसिम्पोटिक रूप से नहीं। आप एक ~ निर्माण कर सकते हैं आकार का रंगीन IS,K1से कर्टेक्स का उपयोग कर रहा है,K2 काएक अलग रंग के साथशीर्ष, और इसी तरह (Ki सेहम एक ऐसे रंग से रंगने वाला एक शीर्ष लेंगे जो अभी तक हमारे IS में मौजूद नहीं है)। और यहG केहर रंग के लिए है। $2\sqrt n$$K_1$$K_2$$K_i$$G$

— आरबी

इसके अलावा, आपके उदाहरण में, IS जिसमें से नीला शीर्ष , K 2 से हरा और K 3 से लाल रंग को 3 रंगों से रंगा गया है। $K_1$$K_2$$K_3$

— RB

@RB उदाहरण के लिए धन्यवाद। अपने दूसरे ग्राफ एक कम बाध्य मोटे तौर पर देता है , यह संख्या ऐसी है कि है1+2+⋯+टी=n। $t \approx \sqrt{2n}$$1+2+\dots + t = n$

— इगोर शंकर

Answer 3

निम्नलिखित प्रमाण के बारे में क्या? यदि , तो दावा स्पष्ट रूप से रखती है। इसके विपरीत मान लीजिए, औरमैंअधिकतम कार्डिनैलिटीα केसाथजीका एक स्वतंत्र सेट होनेदूंगा। रंगमैंरंग 1, और रिकर्सिवली रंग ग्राफ के साथजी-मैंरंग के साथ2,। । । ,सी। अब, अगरकश्मीरके एक स्वतंत्र सेट हैजी, पर विचारकश्मीर'=कश्मीर-मैं। प्रेरण परिकल्पना करके,कश्मीर'ज्यादा से ज्यादा से रंगा जाता है$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$$I$$G$$\alpha$$I$$G - I$$2,...,c$$K$$G$$K' = K - I$$K'$ रंग, और इस तरहकश्मीरसे रंगा जाता है ज्यादा से ज्यादा1+$\sqrt{n-\alpha}$$K$ रंग; असमानता धारणा है कि द्वारा धारणअल्फा≥$1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ ।$\alpha \geq \sqrt{n}$

Comments

, लेकिन यह सबूत शायद पता चलता है कि किसी के लिए संशोधित किया जा सकताε>0किसी भी है द्वारा अधिक से अधिक रंग का है(1+ε)$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$$\epsilon>0$रंग। किसी भी मामले में, यह एक संदर्भ अनुरोध है, सबूत के लिए अनुरोध नहीं है। $(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669

वास्तव में, प्रमाण को √ के स्थान पर कार्य करना चाहिए 2 √ के साथ$\sqrt{n}$ । मैं "संदर्भ अनुरोध" भाग को याद करने के लिए माफी माँगता हूँ, लेकिन क्या इस परिणाम को लोकगीत नहीं माना जाना चाहिए? BTW, मैं ऊपर के रूप में एक ही व्यक्ति हूं, लेकिन मुझे अपने अलग-अलग प्रोफाइल को मजबूत करने के लिए एक रास्ता खोजने की जरूरत है, मुझे शायद meta.cstheory.stackexchange पर इसके लिए पूछना चाहिए। $2 \sqrt{n}$

— सुपर 0

(प्रोफ़ाइल मर्ज अनुरोध पर) मेटा इस तरह के अनुरोध को पोस्ट करने के लिए एक अच्छी जगह है।

— सुरेश वेंकट