पदानुक्रम प्रमेयों के बिना जटिलता वर्ग पृथक्करण

पदानुक्रम प्रमेय मूलभूत उपकरण हैं। उनमें से एक अच्छी संख्या पहले के प्रश्न में एकत्र की गई थी (देखें कि पदानुक्रम और / या पदानुक्रम प्रमेय क्या आप जानते हैं? )। कुछ जटिलता वर्ग अलगाव सीधे पदानुक्रम प्रमेयों से आते हैं। ऐसे प्रसिद्ध अलगाव के उदाहरण: , $L\neq PSPACE$ $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ ।

हालांकि, हर अलगाव एक पदानुक्रम प्रमेय से नहीं होता है। एक बहुत ही सरल उदाहरण है $NP\neq E$ । भले ही हम यह नहीं जानते कि उनमें से किसी में भी दूसरे शामिल हैं, फिर भी वे अलग हैं, क्योंकि $NP$ बहुपद परिवर्तनों के संबंध में बंद है, जबकि $E$ नहीं है।

समान वर्गों के लिए कुछ गहरे, बिना शर्त, गैर-संबंधित जटिलता वर्ग अलगाव हैं जो सीधे कुछ पदानुक्रम प्रमेय का पालन नहीं करते हैं ?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— एंड्रास फरगो
स्रोत

मुझे लगता है कि यह एक कॉल करने के लिए असामान्य सा है

N P \neq E

$NP\neq E$ एक जुदाई। साथ ही उनकी असमानता तुच्छ कारणों से है और हमें कुछ भी दिलचस्प नहीं बताती है। AFAIK बड़ी जटिलता वर्गों के लिए सभी दिलचस्प जटिलता वर्ग अलगाव कुछ बिंदु पर पदानुक्रम प्रमेयों (और बदले में विकर्ण) पर भरोसा करते हैं।

— केवह

यह सच है, यह वास्तव में असामान्य कॉल करने के लिए है

एक जुदाई, के रूप में यह मामूली कारणों से आयोजित करता है। मैंने केवल इसे एक सरल उदाहरण दिखाने के लिए लाया था, जहां कोई पदानुक्रम प्रमेय की आवश्यकता नहीं है।

N P \neq E

$NP\neq E$

— एंड्रास फरगाओ

एर, एनपी का प्रमाण! = ई एक पदानुक्रम प्रमेय पर निर्भर करता है! जिस तरह से यह काम करता है वह यह है कि आप पहले एनपी = ई को मानते हैं, फिर एनपी के क्लोजर गुणों का उपयोग करते हुए उस ई = एफए को घटाते हैं, जिससे टाइम हायरार्की प्रमेय का उल्लंघन होता है।

— स्कॉट आरोनसन 20

धन्यवाद, स्कॉट, आप पूरी तरह से सही हैं।

सही उदाहरण नहीं था। मैंने उत्तरों के बीच एक बेहतर पोस्ट किया।

N P \neq E

$NP\neq E$

— एंड्रास फरगाओ

तो भी इस तरह के असमानताओं विकर्णन पर भरोसा करते हैं:

, लेकिन

। अच्छा और इतना तुच्छ नहीं।

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— केव

जवाबों:

मुझे गलत दिखाया जाना पसंद है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि वर्तमान में कोई समान निचली सीमाएं हैं जो अंततः एक पदानुक्रम प्रमेय पर आधारित नहीं हैं। एकरूपता का लाभ कैसे उठाया जाए इसकी हमारी वर्तमान समझ वास्तव में उस अर्थ में काफी सीमित है।

दूसरी ओर, कई समान निचले सीमाएं हैं जो सीधे पदानुक्रम प्रमेयों से पालन नहीं करते हैं , लेकिन उदाहरण के लिए, अन्य चतुर चाल, तकनीकों और परिणामों के संयोजन में एक पदानुक्रम प्रमेय का उपयोग करें:

[Hopcroft पॉल-बहादुर]। वे साबित होता है कि (उनके सबूत के गैर विकर्णन हिस्सा), और फिर इस तथ्य का उपयोग करें कि $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ अंतरिक्ष पदानुक्रम के साथ संयोजन में। उनके परिणाम + अंतरिक्ष पदानुक्रम भी मतलब है । $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
संतुष्टि के लिए समय-स्थान व्यापार-नापसंद (देखें, उदाहरण के लिए बुश -विलियम्स के परिचय और उसमें संदर्भ)
[पॉल-Pippinger-Szemeredi-ट्रोटर]। नियतात्मक समय पदानुक्रम के साथ संयोजन में तेजी से चार-वैकल्पिक मशीन द्वारा किसी भी निर्धारक सुपर-रैखिक-टाइम मशीन के एक nontrivial सिमुलेशन का उपयोग करता है। $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
स्थायी पर वर्दी कम सीमा [ Allender , Allender-गोर , Koiran-Perifel ]
[विलियम्स] (हालांकि तकनीकी रूप से यह एक असमान बाध्य कम है, यह चालाक विचारों का एक गुच्छा संयोजन में गैर नियतात्मक समय पदानुक्रम के साथ उपयोग करता है) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

क्या स्मोलेंस्की द्वारा जुदाई कुछ है जिसे आप ढूंढ रहे हैं? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— आर्नी
स्रोत

धन्यवाद, यह एक अच्छा परिणाम है, लेकिन मैं सर्किट वर्ग नहीं,

वर्गों के अलगाव की तलाश कर रहा हूं ।

u n i f o r m

$uniform$

— एंड्रास फरगो

@AndresFarago: यूनिफॉर्म AC ^ 0 को भी ठीक से यूनिफॉर्म TC ^ 0 में शामिल किया गया है।

— एमिल जेकाबेक मोनिका

@ EmilJe Emábek: क्या एक सबूत है कि वर्दी

ठीक से वर्दी

में समाहित है जो पहले से ही गैर- वर्दी बयान साबित नहीं करता है? (यदि नहीं, तो ऐसा लगता है कि आपका उदाहरण सामान्य सिद्धांत के तहत आता है कि गैर-वर्दी कम सीमाएं समान कम सीमा से अधिक मजबूत हैं, और मुझे लगता है कि ओक्यू ऐसे उत्तरों से बचने की कोशिश कर रहा था ...)

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— जोशुआ ग्रोचो

मुझे लगता है कि साक्ष्यों में गैर-बराबरी इस तथ्य से अधिक माध्यमिक है कि ये छोटे वर्ग हैं जहां हमें इनकी कुछ अच्छी दहनशील / बीजगणितीय समझ है। यानी हम उन्हें अच्छी तरह से समझते हैं कि सीधे एक ऐसी वस्तु का निर्माण करें जो उनमें नहीं है। जहाँ बड़ी कक्षाओं के लिए ऐसी कोई समझ नहीं है और इसलिए हमें पता है कि इस तरह की वस्तुओं के निर्माण के लिए पूरी कक्षा के खिलाफ विकर्ण करना है।

— केवह

एक और nontrivial उदाहरण औसत केस जटिलता के क्षेत्र से आता है। रेनर शुलर ने जिस वर्ग को , उसके दिलचस्प गुणों को साबित करते हैं , देखें [1]। $P_{P-comp}$

भाषाओं के वर्ग पर बहुपद समय में स्वीकार कर रहे हैं है के लिए -averageहरबहुपद समय गणना कर सका (पी गणनीय) वितरण । स्वाभाविक रूप से, रखती है, के बाद से एक नियतात्मक polytime एल्गोरिथ्म के अस्तित्व का तात्पर्य है कि यह औसतन कुशल रहता है, कोई क्या इनपुट वितरण है कोई फर्क। हालांकि, के लिए औसत बहुपद समय में चल रहा की हालतहरपी गणनीय इनपुट वितरण संदिग्ध को मजबूत करने के लिए पर्याप्त प्रतीत होता है $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ । $P_{P-comp}=P$

हैरानी की बात है, Schuler सिद्ध करती है कि एक भाषा , जो ट्यूरिंग-पूर्ण के लिए है , यह है कि, $L\in P_{P-comp}$ $E$ यह बिना शर्त जुदाई का तात्पर्य । जबकि बाद भी इस तथ्य का उपयोग करता है है, जो समय पदानुक्रम प्रमेय से इस प्रकार है, उपन्यास हिस्सा (*) विभिन्न उपकरणों पर बनाता है: विकर्णन परे, यह संसाधन घिरा उपाय और Kolmogorov जटिलता कार्यरत हैं।

इ \subseteq {पी}^{{पी}_{पी - सी ओ म पी}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

संदर्भ:

[१] आर। शुलर, "ट्रुथ-टेबल क्लोजर एंड ट्यूरिंग क्लोजर ऑफ एवरेज पॉलीनोमियल टाइम में अलग-अलग उपाय हैं EXP," सीसीसी १ ९९ ६, पीडीएफ

— एंड्रास फरगो
स्रोत