क्या पदानुक्रम और / या पदानुक्रम प्रमेय आप जानते हैं?

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मैं वर्तमान में टीसीएस पर पदानुक्रम प्रमेयों पर एक सर्वेक्षण लिख रहा हूं। संबंधित कागजात की खोज में मैंने देखा कि पदानुक्रम केवल टीसीएस और गणित में ही नहीं, बल्कि कई विज्ञानों में, धर्मशास्त्र और समाजशास्त्र से जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान तक एक मौलिक अवधारणा है। यह देखते हुए कि जानकारी की मात्रा बहुत अधिक है, मुझे आशा है कि मैं इस समुदाय द्वारा कुछ मदद मांग सकता हूं। बेशक, मैं नहीं चाहता कि आप मेरे लिए ग्रंथ सूची खोज करें, बल्कि मैं दो तरह की जानकारी माँग रहा हूँ:

पदानुक्रम और पदानुक्रम प्रमेय जो आपके काम या आपके सहकर्मियों या अन्य ऐसे लोगों के काम का परिणाम हैं जिनसे आप परिचित हैं और आपको लगता है कि यह अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं। यह एक अस्पष्ट गणना मॉडल के लिए एक पदानुक्रम प्रमेय उदाहरण के लिए हो सकता है जो आप रुचि रखते हैं या विशिष्ट वर्गों के पदानुक्रम, जैसे खेल सिद्धांत से संबंधित हैं।
पदानुक्रम और पदानुक्रम प्रमेय जो आप इस तरह के एक सर्वेक्षण में शामिल करने के लिए पूरी तरह से आवश्यक हैं। यह शायद मुझे पहले से ही पता होगा, लेकिन यह देखना उपयोगी होगा कि आप किन पदानुक्रमों को अधिक महत्वपूर्ण मानते हैं और क्यों। यह उस प्रकार का हो सकता है "I deem $PH$ बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसके बिना हम इस तरह का शोध नहीं कर पाएंगे" या "हालांकि इतना अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है, तर्क-आधारित TCS में हम लगातार इस पदानुक्रम का उपयोग करते हैं और मैं यह एक महत्वपूर्ण उपकरण है। " । और हाँ मेरा मानना है कि तर्क के लोगों के पास उल्लेख करने के लिए बहुत सी पदानुक्रम हैं, लेकिन ध्यान रखें कि हम समस्याओं के पदानुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं।

मैं यहां एक अद्यतन सूची रखूंगा:

$DTIME$ पदानुक्रम
$NTIME$ पदानुक्रम
$SPACE$ पदानुक्रम
अंकगणित (क्लेने के रूप में भी जाना जाता है) पदानुक्रम
हाइपररिथैमिकल पदानुक्रम
विश्लेषणात्मक पदानुक्रम
चोमस्की पदानुक्रम
ग्रेज़गोरस्की पदानुक्रम और संबंधित: वेनर पदानुक्रम (तेजी से बढ़ते), हार्डी पदानुक्रम
(धीमी गति से बढ़ते) और वेबल पदानुक्रम
रिची की पदानुक्रम
Axt की पदानुक्रम ( Axt63 में परिभाषित )
लूप पदानुक्रम ( MR67 में परिभाषित )
$NC$ ( , ) पदानुक्रम $AC$ $ACC$
गहराई पदानुक्रम, Sipser83 में परिभाषित के रूप में
बहुपद पदानुक्रम ( ) और कम परिष्कृत मेयर-स्टॉकमेयर पदानुक्रम (क्वांटिफायर के बीच कोई अंतर नहीं) $PH$
घातीय पदानुक्रम ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ -इंटरमीडिएट पदानुक्रम (लडनेर प्रमेय)
नहीं तो मजबूत (आर्थर-मर्लिन) $AM$
(nondeterministic निश्चित-पैरामीटर) पदानुक्रम और संबंधित को अदल-डब्ल्यू पदानुक्रम ( -hierarchy) और -hierarchy (डब्ल्यू के साथ पैरामीटर पर निर्भर गहराई) $W$ $AW$ $W^{*}$
मतगणना पदानुक्रम
फूरियर हियरार्की
बूलियन पदानुक्रम ( से अधिक ), क्वेरी पदानुक्रम ( से अधिक ) के बराबर $NP$ $NP$
संपत्ति परीक्षण के लिए पदानुक्रम, जैसा कि गोदरेजक्एनआर 09 में देखा गया है
सितारा-मुक्त नियमित भाषाओं की बिंदु-गहराई पदानुक्रम
$BP_{d}(P)$ : कक्षाएं बहुपद आकार शाखाओं में कार्यक्रमों से व्याख्या करने योग्य, अतिरिक्त शर्त यह है कि इनपुट के प्रत्येक बिट सबसे घ समय पर परीक्षण किया जाता है के साथ, के विभिन्न मूल्यों के लिए एक पदानुक्रम के रूप में $d$
सर्किट जटिलता के लिए समय पदानुक्रम
संचार जटिलता में बहुपद पदानुक्रम

नोट: यदि आप विशेष रूप से उल्लेख नहीं करना चाहते हैं, तो कृपया कहें। अंगूठे के एक नियम के रूप में, मैं दोनों समुदाय और विशिष्ट व्यक्ति का उल्लेख करूंगा जो नई जानकारी को प्रकाश में लाता है।

— चेज़िसॉप
स्रोत

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यह एक समुदाय विकी प्रश्न की तरह दिखता है। क्या मैं इसे बदलूंगा?

— डेव क्लार्क

अन्य वर्गों (जैसे वे अलग हैं) के बीच अनंत पदानुक्रमों को प्राप्त करने के लिए लेडर्स प्रमेय को सामान्यीकृत किया जा सकता है जैसे कि P और P ^ # P के बीच ।

— टायसन विलियम्स

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आप "एंटी-पदानुक्रम" प्रमेयों का भी उल्लेख कर सकते हैं, अर्थात्, डाइकोटॉमी प्रमेय। Dichotomy प्रमेयों को शायद खुद के लिए एक संपूर्ण सर्वेक्षण मिल सकता है, लेकिन शायद उन्हें कम से कम लादेनर के प्रमेय जैसे कुछ के साथ उल्लेख किया जाना चाहिए।

— जोशुआ ग्रोको

1

क्या आप समस्याओं के वर्गों के पदानुक्रम के बारे में पूछ रहे हैं? उदाहरण के लिए "परीक्षणों के पदानुक्रम" की अवधारणा भी है, देखें arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 ।

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

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हां, केवल जटिलता वर्ग पदानुक्रम पर विचार किया जाता है। यहां तक कि उन तक सीमित, जानकारी इकट्ठा करने के लिए बहुत सारे हैं।

— चेज़िसोप

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द फूरियर हायरार्की के रूप में परिभाषित किया गया है " यॉयुन शि, क्वांटम और शास्त्रीय व्यापार ।"

से जटिलता चिड़ियाघर :

$\mathsf{FH}_k$ बहुपद आकार क्वांटम सर्किट का एक समान परिवार द्वारा व्याख्या करने योग्य समस्याओं का वर्ग, के साथ है $k$ Hadamard फाटक के स्तर और अन्य सभी फाटकों कम्प्यूटेशनल आधार संरक्षण।

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ मेंकितेव के चरण अनुमान एल्गोरिदम केकारण फैक्टरिंगहै।

यह दिखाने के लिए एक खुली समस्या है कि फूरियर पदानुक्रम एक तांडव के सापेक्ष अनंत है (अर्थात, $\mathsf{FH}_k$ कड़ाई से $\mathsf{FH}_{k+1}$ में निहित है )।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

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- "एंटी-पदानुक्रमों" की तर्ज पर, बोरोडिन की खाई प्रमेय ध्यान देने योग्य हो सकती है।

प्रमेय। हर कुल गणनीय समारोह के लिए ऐसी है कि , वहाँ एक कुल गणना कर सका है ऐसी है कि । $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

यह समय के पदानुक्रम प्रमेय का खंडन करेगा सिवाय इसके कि समय निर्माण योग्य नहीं है (वास्तव में यही कारण है कि हमारे पास अधिकांश जटिलता पदानुक्रमों के बयानों में निर्माणीय धारणाएं होनी चाहिए)। $g$

- सामान्य समय पदानुक्रमों के दिलचस्प सुदृढ़ीकरण भी हैं, जैसे:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(समय में समस्याएँ हैं किसी भी समय समय मशीन द्वारा सफलतापूर्वक हल नहीं किया जा सकता है , सलाह के बिट्स का उपयोग करके , यहां तक कि सिर्फ असीम रूप से कई इनपुट लंबाई के लिए भी। सबूत आसान है: सूची टाइम मशीनें हैं जो दूसरे इनपुट के रूप में सलाह के लेती हैं । परिभाषित करें जो को में विभाजित करता है जहाँ, चलाता है , और विपरीत उत्तर आउटपुट करता है। फिर । $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- कुछ स्थितियों में ज्ञात समय पदानुक्रम की कमी पर विचार किया जाना चाहिए (खुली समस्याओं के रूप में)। उदाहरण के लिए, ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— रिवील किया
स्रोत

2

क्या यह ? अन्यथा कथन रोचक नहीं है: बस ।

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— साशो निकोलेव

@ साशो, ऐसा प्रतीत होता है। बोरोडिन के गैप प्रमेय (लिंक के माध्यम से) का कथन उतना ही कहता है।

— डैनियल एपन

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कॉम्प्लेक्सिटी ज़ू आपको कुछ पदानुक्रम देता है । उनमें से, काउंटिंग पदानुक्रम और बूलियन पदानुक्रम पहले से ही उद्धृत नहीं थे।

[संपादित करें] मेरे जवाब को अधिक जानकारीपूर्ण बनाने के लिए, काउंटिंग पदानुक्रम की एक त्वरित परिभाषा।

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

फिर, बहुपद पदानुक्रम के लिए, को रूप में परिभाषित किया गया है । $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

गिनती पदानुक्रम को वैगनर [वाग86] द्वारा परिभाषित किया गया था। ऑलेंडर एंड वैगनर [AW93] द्वारा थ्रेशोल्ड सर्किट के सिद्धांत के लिंक की खोज की गई थी। अभी हाल ही में, Bürgisser [Bür09] ने भी Shiant और Smale के -conjecture से Valiant के मॉडल को संबंधित करने के लिए गणना पदानुक्रम का उपयोग किया । विशेष रूप से, उन्होंने साबित कर दिया कि -conjecture का तात्पर्य स्थायी के लिए एक सुपरपोलीनोमियल लोअर बाउंड है। $\tau$ $\tau$

[Wag86] किलोवाट वैगनर। सक्सेस इनपुट प्रतिनिधित्व के साथ कॉम्बीनेटरियल समस्याओं की जटिलता । एक्टा मैथमेटिका 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] ई। ऑलेंडर और किलोवाट वैगनर। गिनती पदानुक्रम: बहुपद समय और निरंतर गहराई सर्किट । कंप्यूटर विज्ञान में वर्तमान रुझान , 469-483, 1993.
[Bür09] पी। बर्गिसर। पूर्णांक को परिभाषित करने और अंकगणित सर्किट को कम बाध्य करने पर । कम्प्यूटेशनल जटिलता 18 (1), 81-103, 2009।

— ब्रूनो
स्रोत

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गोल्डीच एट। अल। संपत्ति परीक्षण के लिए पदानुक्रम प्रमेय है:

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg: Hierarchy Theorems for Property। कंप्यूटर विज्ञान, खंड में संपत्ति परीक्षण , व्याख्यान नोट्स। 6390, पीपी। 289-294, स्प्रिंगर, 2010।

ईसीसीसी पर भी ।

— Yonatan
स्रोत

यहाँ यह दिखाया गया है कि अधिकांश गुणों को क्वांटम मॉडल में प्रश्नों की आवश्यकता होती है । यह उत्तर के पदानुक्रम प्रमेय के प्रमाण में दिखाया जा सकता है कि यह क्वांटम संपत्ति परीक्षण के लिए भी है। (वास्तव में कम से कम एक संपत्ति के साथ किसी भी प्राकृतिक कम्प्यूटेशनल मॉडल के लिए जिसे परीक्षण करने के लिए प्रश्नों की आवश्यकता होती है , और किसी भी कम्प्यूटेशनल _ के गुण होते हैं जो कि परीक्षण करने योग्य है क्वेरीज़)।

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— आर्टेम काज़नाचेव

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Sipser ने भीतर एक गहराई पदानुक्रम दिखाया , अर्थात, पॉली आकार के डेप्थ सर्किट पॉली साइज़ के डेप्थ सर्किट की तुलना में अधिक शक्तिशाली होते हैं : $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, M. Borel सेट और सर्किट जटिलता । STOC 1983।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

11

डायटर वैन मेलकेबेक और coauthors यादृच्छिकता सहित सलाह के साथ अर्थ मॉडल के लिए समय और स्थान पदानुक्रम है।

डायटर वैन मेलकेबेक, कोन्स्टेंटिन पेरविशेव: एक सामान्य समय पदानुक्रम एक बिट की सलाह के साथ । कम्प्यूटेशनल जटिलता 16 (2): 139-179 (2007)
जेफ किन्ने, डाइटर वैन मेलकेबेक: अंतरिक्ष पदानुक्रम परिणाम यादृच्छिक और अन्य अर्थ मॉडल के लिए । कम्प्यूटेशनल जटिलता 19 (3): 423-475 (2010)

— टायसन विलियम्स
स्रोत

10

यहाँ सलाह के साथ शब्दार्थ वर्गों के लिए अधिक पदानुक्रम हैं। विशेष रूप से, ZPTIME और RTIME के लिए।

लांस फोर्टन, राहुल संथानम, लुका ट्रेविसन। सिमेंटिक गैसों के लिए पदानुक्रम । STOC'05 में।

— मार्कोस विलगरा
स्रोत

10

वास्तविक संख्या के लिए झेंग-वीरहुच पदानुक्रम है

एक्स। झेंग और के। वेहराच। वास्तविक संख्याओं का अंकगणितीय पदानुक्रम । गणितीय तर्क त्रैमासिक।वोल। 47 (2001), नंबर 1 51 - 65।

— कोई व्यक्ति
स्रोत

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एक वर्ग , जिसे एल। एडेलमैन और के। द्वारा 1975 के एक पेपर में परिभाषित किया गया है, जो कि class का एक डायोफैंटाइन एनालॉग है । एक भाषा में सम्‍मिलित है, यदि कोई बहुपद मौजूद है , तो क्या बराबर है, एक खुली समस्या है। यह समानता संख्या सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान के बीच संबंध दिखाती है। $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

बहुपद पदानुक्रम का एक डायोफैंटाइन एनालॉग है, जिसे "डायोफैंटाइन पदानुक्रम" कहा जाता है। बहुपद और पदानुक्रम आपस में जुड़े हुए हैं:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— अलेक्जेंडर नोप
स्रोत

क्या आपका मतलब है doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 या doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— एंड्रे सलामोन

D

$D$ को दूसरे में परिभाषित किया गया है ("डायोफैंटीन कॉम्प्लेक्सिटी")।

— GMB

@ AndrásSalamon लिंक न काम करने लगते हैं।

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एक और सख्त पदानुक्रम: ब्रांचिंग प्रोग्राम जो केवल प्रत्येक बिट को सीमित संख्या में परीक्षण करते हैं। अधिक परीक्षणों की अनुमति है, ब्रांचिंग कार्यक्रमों का बड़ा वर्ग। आमतौर पर ब्रांचिंग कार्यक्रम भी बहुपद आकार तक ही सीमित होते हैं। बीपी _डी (पी) बहुपद आकार के ब्रांचिंग कार्यक्रमों की श्रेणी है जो प्रत्येक बिट को समय तक परख सकता है। $d$

L / poly सभी d पर BP _d (P) का मिलन है , जबकि BP _d-1 (P) BP _d (P) हर d के लिए । $\subsetneq$

— सलामोन को दिखाया
स्रोत

8

में पैरामिट्रीकृत जटिलता सिद्धांत कई पदानुक्रम हालांकि केवल पहले ही उल्लेख किया देखते हैं -hierarchy प्रकट होता है अक्सर प्रकाशनों में। अन्य हैं: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -hierarchy
$\mathsf{AW}$ -hierarchy
$\mathsf{EW}$ -hierarchy
$\mathsf{LOG}$ -hierarchy
$\mathsf{M}$ -hierarchy
$\mathsf{S}$ -hierarchy
$\mathsf{W^∗}$ -hierarchy
$\mathsf{W^{func}}$ -hierarchy

इन सभी का वर्णन पैरामीकृत जटिलता सिद्धांत, फ्लम और ग्रोह, बिरखुसर, 2006 में किया गया है ।

— मार्टिन लैकनर
स्रोत

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यकीन नहीं होता कि यह आपके मानदंड में फिट बैठता है, लेकिन स्टार-मुक्त नियमित भाषाओं की डॉट-डेप पदानुक्रम है।

— mhum
स्रोत

6

सर्किट आकार के लिए पदानुक्रम, पिछला प्रश्न देखें ।

— इमानुएल वायोला को दर्शाता है
स्रोत

5

अनंत पेड़ों की नियमित भाषाओं के सिद्धांत ने कई पदानुक्रमों को जन्म दिया, जो वर्तमान में अध्ययन किए गए हैं, कई प्रश्न हैं जो अभी भी खुले हैं।

अनंत पेड़ों पर ऑटोमेटा का उपयोग करते समय, समता की स्थिति (या मोस्टोव्स्की स्थिति) विशेष रुचि है, क्योंकि गैर-निर्धारक समता ऑटोमेटा सभी नियमित पेड़ों की भाषाओं को व्यक्त कर सकता है, और स्वीकृति की स्थिति राबिन या मुलर जैसे अन्य लोगों के लिए सरल है। ।

$[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

नियतात्मक Mostowski पदानुक्रम (सभी नियमित भाषा नहीं)
nondeterministic Mostowski पदानुक्रम
अल्टरनेटिव्स मोस्टोव्स्की पदानुक्रम

$\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

कमजोर सूचकांक पदानुक्रम (सभी नियमित भाषा नहीं)

$L$

— रेक्स डकपोर
स्रोत

4

$G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

$\mathsf{S^i_j}$

— कावेह
स्रोत

4

टोमोयुकी यामाकामी द्वारा संदर्भ-मुक्त भाषाओं के लिए यहां एक नया पदानुक्रम है ।

$CFL$ $CFL^{CFL}$

— मार्कोस विलगरा
स्रोत

3

ओपी (GoldreichKNR09) द्वारा उल्लिखित बुलेट बिंदुओं में से एक पर विस्तार: संपत्ति परीक्षण और निकटता के सबूत में कई पदानुक्रम प्रमेय हैं, क्वेरी जटिलता से संबंधित है, अनुकूलनशीलता, या राउंड की संख्या के संबंध में परीक्षण क्षमता (प्रमाण के लिए) निकटता)। देखें, जैसे,

संपत्ति परीक्षण के लिए पदानुक्रम सिद्धांत, ओडेड गोल्डरेइच, माइकल क्रिवलेविच इलमैन, और ईयाल रोज़ेनबर्ग, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [ओपी द्वारा उल्लिखित]
निकटवर्ती, टॉम गुरु और रॉन रोथब्लम के इंटरएक्टिव सबूतों के लिए एक पदानुक्रम प्रमेय , 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
आकार-विचित्र क्वेरी जटिलता , 2018 गोल्डरिच, 2018 में परीक्षण गुणों के लिए पदानुक्रम सिद्धांत। https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
संपत्ति परीक्षण , क्लेमेंट कैनेने और टॉम गुर, 2018 के लिए एक अनुकूलता पदानुक्रम प्रमेय। https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— क्लेमेंट सी।
स्रोत

इस उत्तर की ओर इशारा करते हैं , जो पहले वाले (GoldreichKNR09) पर केंद्रित है।

— क्लेमेंट सी।

3

Cs.stackexchange पर इस प्रश्न से , मुझे नियमित भाषाओं के जीनियस पदानुक्रम के बारे में पता चला । अनिवार्य रूप से, आप न्यूनतम जीनस सतह के आधार पर नियमित भाषाओं को चिह्नित कर सकते हैं जिसमें उनके डीएफए का ग्राफ एम्बेड किया जा सकता है। [१] में दिखाया गया है कि मनमाने ढंग से बड़े जीनस की भाषाएँ मौजूद हैं और यह पदानुक्रम उचित है।

बोनफेंटे, गुइल्यूम और फ्लोरियन डेलूप। " नियमित भाषाओं का जीनस। कंप्यूटर साइंस में गणितीय संरचनाएं 28.1 (2018): 14-44।

— mhum
स्रोत

2

बहुपद पदानुक्रम की गिनती, लघु के लिए #PH। पहला लेवल #P है फिर #NP ... आदि।

— तैफून पे
स्रोत

1

$^{cc}$

— डेनिस पैंक्राटोव
स्रोत

इसके अतिरिक्त के लिए धन्यवाद, मैंने स्पष्ट कॉएनपी बनाने के लिए आपकी टिप्पणी को संपादित किया, संचार जटिलता को संदर्भित करता है (मुझे पता है कि यह आमतौर पर संचार जटिलता समुदाय में नोटेशन अव्यवस्था से बचने के लिए गिरा दिया जाता है)।

— चेज़िसॉप

1

$D_{p}$

$NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

बूलियन संयोजकों के आगे के अध्ययन से संबंधित है, और ग्राफ आइसोमोर्फिज्म निम्न हैं, और उच्च पदानुक्रम भी विकिपीडिया संदर्भ हैं ।

— उपयोगकर्ता 343483902 को दर्शाता है
स्रोत

0

अस्पष्ट पक्ष के बारे में अधिक जानकारी: परिमित मॉडल सिद्धांत में निश्चित बिंदु लॉगिक्स के लिए मेरा दूसरा क्रम उत्तराधिकार प्रमेय। फिर भी एक और पदानुक्रम प्रमेय देखें ।

— मैक्स कुबेरिस्की
स्रोत