क्या कारण हैं कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में शोधकर्ता बीएसएस / रियल-रैम मॉडल पसंद करते हैं?

Question

पृष्ठभूमि

वास्तविक संख्याओं की गणना प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक जटिल है, क्योंकि वास्तविक संख्याएं अनंत वस्तुएं हैं और बेशुमार वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए वास्तविक संख्याओं को एक परिमित वर्णमाला पर परिमित तारों द्वारा ईमानदारी से नहीं दर्शाया जा सकता है।

परिमित तारों पर शास्त्रीय संगणना के विपरीत, जहाँ कम्प्यूटेशन के विभिन्न मॉडल जैसे: लंबो कैलकुलस, ट्यूरिंग मशीन, पुनरावर्ती कार्य, ... समतुल्य हो (कम से कम स्ट्रिंग्स पर कार्यों के लिए कम्प्यूटेबिलिटी के लिए), कम्प्यूटेशन के लिए विभिन्न प्रस्तावित मॉडल हैं। वास्तविक संख्या जो संगत नहीं हैं। उदाहरण के लिए, टीटीई मॉडल (यह भी देखें [वी ०००]) जो कि क्लासिकल ट्यूरिंग मशीन मॉडल के सबसे करीब है, वास्तविक संख्या को अनंत इनपुट टेप (जैसे ट्यूरिंग के ओर्कल्स) का उपयोग करके दर्शाया गया है और तुलना का निर्णय करना संभव नहीं है। दो दिए गए वास्तविक संख्याओं के बीच समानता संबंध (समय की सीमित मात्रा में)। दूसरी ओर बीबीएस / रियल-रैम मॉडल में जो रैम मशीन मॉडल के समान हैं, हमारे पास ऐसे चर हैं जो मनमाने ढंग से वास्तविक संख्या को संग्रहीत कर सकते हैं, और तुलना और समानता मॉडल के परमाणु संचालन में से हैं। इसके लिए और इसी तरह के कारणों से कई विशेषज्ञों का कहना है कि बीएसएस / रियल-रैम मॉडल वास्तविक नहीं हैं (लागू नहीं किया जा सकता है, कम से कम वर्तमान डिजिटल कंप्यूटर पर नहीं), और वे टीटीई या अन्य समकक्ष मॉडल को पसंद करते हैं जैसे प्रभावी डोमेन सिद्धांत मॉडल, को-फ्रीडमैन मॉडल, आदि।

अगर मैं सही ढंग से समझ में आ , जो प्रयोग किया जाता है गणना के डिफ़ॉल्ट मॉडल कम्प्यूटेशनल ज्यामिति है बीएसएस (उर्फ वास्तविक रैम , देखें [BCSS98]) मॉडल।

दूसरी ओर, यह मुझे लगता है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति (जैसे एलईडी ) में एल्गोरिदम के कार्यान्वयन में , हम केवल बीजीय संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं और कोई भी उच्च-प्रकार की अनंत वस्तुएं या संगणनाएं शामिल नहीं हैं (क्या यह सही है?)। तो यह मुझे (शायद भोलेपन से) प्रतीत होता है कि कोई इन नंबरों से निपटने के लिए परिमित तारों के गणना के शास्त्रीय मॉडल का भी उपयोग कर सकता है और शुद्धता और जटिलता पर चर्चा करने के लिए संगणना के सामान्य मॉडल का उपयोग करता है (जिसका उपयोग एल्गोरिदम के कार्यान्वयन के लिए भी किया जाता है)। के एल्गोरिदम।

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प्रशन:

क्या कारण हैं कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में शोधकर्ता बीएसएस / रियल-रैम मॉडल का उपयोग करना पसंद करते हैं? (बीएसएस / रियल-रैम मॉडल का उपयोग करने के लिए विशिष्ट कम्प्यूटेशनल ज्यामिति)

(शायद भोले) विचार के साथ क्या समस्याएं हैं जिनका मैंने पिछले पैराग्राफ में उल्लेख किया है? (कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में बीजगणितीय संख्याओं के लिए अभिकलन के क्लासिक मॉडल का उपयोग करना और इनपुट को प्रतिबंधित करना)

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परिशिष्ट:

एल्गोरिदम मुद्दे की जटिलता भी है, बीएसएस / वास्तविक-रैम मॉडल में निम्नलिखित समस्या का निर्णय करना बहुत आसान है:

$S$$T$
$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

जबकि कोई भी कुशल पूर्णांक-रैम एल्गोरिथ्म इसे हल करने के लिए नहीं जाना जाता है। उदाहरण के लिए जेफ़ई का धन्यवाद।

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संदर्भ:

1. लेनोर ब्लम, फेलिप कूकर, माइकल शुब और स्टीफन स्मेल, "जटिलता और वास्तविक संगणना", 1998
2. क्लाउस वेहराच, " कम्प्यूटेशनल एनालिसिस, एन इंट्रोडक्शन ", 2000

Comments

वैसे, यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो वर्गमूल समस्या का योग एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या है: यदि आप पूर्णांक-समन्वित कोने के साथ दो बहुभुज पथों की लंबाई की तुलना करना चाहते हैं तो आपको इसे हल करने की आवश्यकता है।

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 1

सबसे पहले, कम्प्यूटेशनल जियोमीटर बीएसएस मॉडल के रूप में इसके बारे में नहीं सोचते हैं। माइकल शमोस द्वारा वास्तविक रैम मॉडल को 1978 के पीएचडी थीसिस ( कम्प्यूटेशनल ज्यामिति ) में परिभाषित किया गया था , जिसने यकीनन क्षेत्र को लॉन्च किया था। फ्रेंको प्रिपटाटा ने 1985 में प्रकाशित पहली कम्प्यूटेशनल ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में शामोस की थीसिस को संशोधित और विस्तारित किया। वास्तविक रैम भी समकक्ष है ( एकरूपता को छोड़कर; पास्कल का जवाब देखें! ) 1983 में बेन-ऑर द्वारा परिभाषित बीजगणितीय कम्प्यूटेशनल ट्री मॉडल के लिए। ब्लम , शुब, और स्मेल के प्रयासों को 1989 में प्रकाशित किया गया था, अच्छी तरह से वास्तविक-रैम स्थापित होने के बाद, और कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समुदाय द्वारा लगभग पूरी तरह से अनदेखा कर दिया गया था।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में अधिकांश (शास्त्रीय) परिणाम कॉम्बीनेटरियल ज्यामिति में मुद्दों से बहुत अधिक बंधे होते हैं , जिसके लिए निर्देशांक के अभिन्न या बीजगणितीय होने के बारे में धारणाएं (सबसे अच्छा) अप्रासंगिक विक्षेप हैं। मूल निवासी के रूप में बोलते हुए, मनमाने ढंग से बिंदुओं, रेखाओं, मंडलियों, और प्रथम श्रेणी की वस्तुओं के बारे में विचार करना पूरी तरह से स्वाभाविक लगता है जब उनके बारे में बातें साबित होती हैं, और इसलिए एल्गोरिदम को उनके साथ गणना करने के लिए डिजाइन और विश्लेषण करते समय समान रूप से प्राकृतिक।

$p$$q$$q$$r$$q,r,s$$qr$$st$? इन निर्देशांक में से प्रत्येक इनपुट निर्देशांक में एक कम-डिग्री बहुपद के संकेत का मूल्यांकन करके कार्यान्वित किया जाता है। (इसलिए इन एल्गोरिदम को कमजोर बीजीय निर्णय वृक्ष मॉडल में वर्णित किया जा सकता है ।) यदि इनपुट निर्देशांक पूर्णांक होते हैं, तो इन प्राथमिकताओं का सटीक रूप से केवल निरंतर-कारक वृद्धि के साथ मूल्यांकन किया जा सकता है, और इसलिए वास्तविक रैम पर समय चल रहा है और पूर्णांक RAM समान हैं।

इसी तरह के कारणों के लिए, जब अधिकांश लोग एल्गोरिदम को सॉर्ट करने के बारे में सोचते हैं, तो वे परवाह नहीं करते हैं कि वे क्या छांट रहे हैं, जब तक कि डेटा पूरी तरह से आदेशित ब्रह्मांड से आता है और किसी भी दो मूल्यों की निरंतर समय में तुलना की जा सकती है।

इसलिए समुदाय ने "वास्तविक" ज्यामितीय एल्गोरिदम के डिजाइन और उनके व्यावहारिक कार्यान्वयन के बीच चिंताओं का एक अलगाव विकसित किया; इसलिए LEDA और CGAL जैसे पैकेजों का विकास। यहां तक ​​कि सटीक गणना पर काम करने वाले लोगों के लिए, वास्तविक एल्गोरिथ्म के बीच एक अंतर है, जो अंतर्निहित मॉडल के हिस्से के रूप में सटीक वास्तविक अंकगणित का उपयोग करता है, और कार्यान्वयन , जो असतत गणना का उपयोग करने के लिए भौतिक कंप्यूटिंग उपकरणों की अन्यथा अप्रासंगिक सीमाओं से मजबूर है।

$\times$

कुछ ज्यामितीय एल्गोरिदम हैं जो वास्तव में बीजगणितीय संगणना वृक्ष मॉडल पर बहुत अधिक भरोसा करते हैं , और इसलिए इसे भौतिक कंप्यूटरों पर बिल्कुल और कुशलता से लागू नहीं किया जा सकता है। एक अच्छा उदाहरण सरल बहुभुजों में न्यूनतम-लिंक पथ है, जो एक वास्तविक रैम पर रैखिक समय में गणना की जा सकती है, लेकिन वास्तव में प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे खराब स्थिति में द्विघात संख्या में बिट्स की आवश्यकता होती है। एक और अच्छा उदाहरण चेज़ेल की श्रेणीबद्ध कटिंग है , जो सिंपल रेंज खोज के लिए ज्ञात सबसे कुशल एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है।। ये कटिंग त्रिकोण के सेटों के एक पदानुक्रम का उपयोग करते हैं, जहां प्रत्येक स्तर पर त्रिकोण के कोने पिछले स्तरों पर त्रिकोण के किनारों के माध्यम से लाइनों के चौराहे बिंदु होते हैं। इस प्रकार, भले ही इनपुट निर्देशांक पूर्णांक हैं, इन त्रिकोणों के लिए शीर्ष निर्देशांक अनबाउंड डिग्री के बीजगणितीय संख्या हैं; फिर भी, कटिंग के निर्माण और उपयोग के लिए एल्गोरिदम मानते हैं कि निर्देशांक को निरंतर समय में बिल्कुल हेरफेर किया जा सकता है।

तो, मेरा छोटा, व्यक्तिगत रूप से पक्षपाती उत्तर यह है: टीटीई, डोमेन सिद्धांत, को-फ्रीडमैन, और "यथार्थवादी" वास्तविक-संख्या गणना के अन्य मॉडल सभी पते मुद्दों कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समुदाय, पूरे पर, बस के बारे में परवाह नहीं करता है ।

Comments

शायद इसे जोड़ा जाना चाहिए, जबकि पूरी तरह से सफल होने पर, इस दृष्टिकोण ने कुछ अजीब विकृतियों को जन्म दिया है जिसमें उदाहरण के लिए मल्टीपल-पॉलीग्लॉग (एन) पैरामीट्रिक खोज एल्गोरिदम को बहुत सरल लॉग (संख्यात्मक परिशुद्धता) बाइनरी सर्चिंग स्मारकों के लिए पसंद किया जाता है।

— डेविड एप्पस्टीन

$\Omega(n \log n)$

यहोशू: हाँ, उदाहरण के लिए देखें arxiv.org/abs/1010.1948

— डेविड एप्पस्टीन

@ डेविड इपस्टीन: बहुत दिलचस्प! क्या आप इसे मेरे अन्य प्रश्न के उत्तर के रूप में पोस्ट करना चाहेंगे: cstheory.stackexchange.com/questions/608/…

— जोशुआ ग्रोचो

Answer 2

यह बिल्कुल सच नहीं है कि वास्तविक रैम / बीएसएस मॉडल बीजीय कम्प्यूटेशन ट्री मॉडल के बराबर है। उत्तरार्द्ध अधिक शक्तिशाली है क्योंकि एक बहुपद गहराई का पेड़ घातीय आकार का हो सकता है। यह गैर-समान जानकारी एन्कोडिंग के लिए बहुत जगह देता है। उदाहरण के लिए, मेयर औफ डेर हेयड ने दिखाया है कि बीजीय (यहां तक ​​कि रैखिक) निर्णय पेड़ भी उप-योग जैसी कुशलता से कठिन समस्याओं को हल कर सकते हैं, लेकिन यह वास्तविक (रैम / बीएसएस मॉडल में असंभव है)।

Comments

बहुत बढ़िया बात !!

— जेफ

Answer 3

यहाँ जेफ के उत्कृष्ट जवाब पर एक टिप्पणी है:

रैखिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की जटिलता अंतर (दहनशील बनाम निरंतर) को संबोधित करने के लिए स्थिति, सन्निकटन और राउंड-ऑफ की अधिसूचनाएं प्रस्तावित की गई थीं। एक समस्या उदाहरण की स्थिति आउटपुट की सटीकता पर इनपुट के छोटे गड़बड़ी के प्रभाव का अनुमान लगाती है। हालत की धारणा पहले एलन ट्यूरिंग द्वारा पेश की गई थी। जिम रेनेगर ने एक रैखिक कार्यक्रम की स्थिति की धारणा पेश की।

एल BLUM, reals से अधिक कम्प्यूटिंग: जहां ट्यूरिंग न्यूटन की बैठक, , एम्स, खंड 51, संख्या 9, (2004), 1024-1034 के बारे में सूचनाओं

ए। टर्निंग, मैट्रिक्स प्रक्रियाओं में गोलाई-बंद त्रुटि, क्वार्ट। जे मेच। Appl। गणित। 1 (1948), 287-308

जे। रेनेगर, रैखिक प्रोग्रामिंग की जटिलता सिद्धांत, सियाम जे। ऑप्टिमाइज़ेशन में स्थिति संख्याओं को शामिल करना। 5 (1995), 506-524

F. CUCKER, और जे। PEÑA, एक परिमित-सटीक मशीन, SIAM जर्नल ऑप्टिमाइज़ेशन 12 (2002), 522–554 के साथ पॉलीहेडल कॉनिक सिस्टम को हल करने के लिए एक प्राइमल-डुअल एल्गोरिथ्म।