समस्याएँ जो अनवीटेड ग्राफ़ पर आसान हैं, लेकिन वेटेड ग्राफ़ के लिए कठिन हैं

Question

कई एल्गोरिदमिक ग्राफ़ समस्याओं को बहुपत्नी समय में अनलोड और वेटेड ग्राफ़ दोनों पर हल किया जा सकता है। कुछ उदाहरण सबसे छोटे पथ, न्यूनतम फैले हुए वृक्ष, सबसे लंबे पथ (निर्देशित चक्रीय रेखाचित्रों में), अधिकतम प्रवाह, न्यूनतम कट, अधिकतम मिलान, इष्टतम arborescence, कुछ घनीभूत सबग्राफ समस्याएं, अधिकतम असंतुष्ट निर्देशित कटौती, कुछ ग्राफ़ कक्षाओं में अधिकतम क्लिक्स, अधिकतम स्वतंत्र हैं। कुछ ग्राफ कक्षाओं में सेट, विभिन्न अधिकतम पथ पथ समस्याएं, आदि।

हालांकि, कुछ (हालांकि संभवतः बहुत कम हैं) समस्याएं जो अनलॉक्ड मामले में बहुपद समय में हल करने योग्य हैं , लेकिन भारित मामले में कठोर (या खुली स्थिति) हैं । यहाँ दो उदाहरण हैं:

1. यह देखते हुए -vertex पूरा ग्राफ, और एक पूर्णांक कश्मीर ≥ 1 , एक स्पैनिंग लगता है कश्मीर किनारों की न्यूनतम संभव संख्या के साथ -connected subgraph। यह बहुपदीय समय में हल करने योग्य है, एफ। हारीरी के एक प्रमेय का उपयोग करते हुए, जो इष्टतम रेखांकन की संरचना को बताता है। दूसरी ओर, यदि किनारों को भारित किया जाता है, तो न्यूनतम वजन k -connected फैले हुए सबग्राफ का पता लगाना N P -hard है।$n$$k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. एस। चेचिक, एमपी जॉनसन, एम। पार्टर, और डी। पेलेग (देखें http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) का एक हालिया (दिसंबर 2012) पेपर अन्य बातों के अलावा, एक पथ समस्या है। न्यूनतम एक्सपोजर पथ को बुलाओ । यहां दो निर्दिष्ट नोड्स के बीच एक मार्ग की तलाश की जाती है, जैसे कि मार्ग पर नोड्स की संख्या , साथ ही पथ पर पड़ोसी वाले नोड्स की संख्या न्यूनतम है। वे साबित होता है कि घिरे डिग्री रेखांकन में इस अनिर्धारित मामले के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन हो जाता है भारित मामले में हार्ड, डिग्री भी साथ बाध्य 4. (नोट: संदर्भ प्रश्न का उत्तर के रूप में मिला था क्या इस पथ समस्या की जटिलता है? )$NP$

इस प्रकृति की कुछ अन्य दिलचस्प समस्याएं क्या हैं, जब भारित संस्करण पर स्विच करने से "जटिलता कूद" होती है?

Comments

Bipartite Graphs में परफेक्ट मैचिंग की समस्या जबकि Bipartite Graph की सटीक वजन परफेक्ट मैचिंग NP- पूरी होती है$P$

— Mohammad Al-Turkistany

धन्यवाद, यह एक दिलचस्प उदाहरण है। आप इसे टिप्पणी के बजाय उत्तर के रूप में जोड़ सकते हैं।

— एंड्रास फरगाओ

नैकस्पैक एक सरल उदाहरण है। यदि सभी लाभ 1 हैं, तो समस्या आसान है (आकार द्वारा लालच डालने से इष्टतम होगा) जबकि एनपी-हार्ड तब होता है जब मुनाफा अलग और बड़ा हो सकता है। एक ग्राफ समस्या नहीं है, लेकिन सिर्फ घटनाओं को समझाने के लिए।

— चंद्रा चकुरी

Answer 1

सन्निकटन एल्गोरिदम की दुनिया में कैपेसिटेड वर्टेक्स कवर समस्या है। यह देखते हुए और पूर्णांक क्षमता ग ( v ) प्रत्येक के लिए वी ∈ वी लक्ष्य के लिए एक न्यूनतम आकार शीर्ष कवर मिल रहा है जी जहां किनारों की संख्या से कवर v अधिक से अधिक है ग ( v ) । यह समस्या अनिर्धारित मामले में एक निरंतर कारक सन्निकटन है, जबकि यह है (यह है कि, हम शीर्ष कवर के आकार को कम करना चाहते हैं) Ω ( लॉग एन ) -हार्ड (जब तक$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$भारित मामले में पी = एन पी ) (प्रत्येक शीर्ष का वजन डब्ल्यू ( वी ) है और हम कवर के वजन को कम करना चाहते हैं)।$P = NP$$w(v)$

Answer 2

मेरा पसंदीदा उदाहरण स्वतंत्र वर्चस्व की समस्या है (ग्राफ और पूर्णांक k दिया गया है , G में अधिकांश k कोने पर एक समावेशन-अधिकतम स्वतंत्र सेट है ?)। मार्टिन फार्बर ( यहाँ देखें ) के कारण एक अच्छे परिणाम के द्वारा , अनवैल्टेड संस्करण पॉलीओमोनियल रूप से कॉर्डल ग्राफ़ में हल किया जा सकता है। जेरार्ड चांग साबित करता है कि भारित संस्करण कोरल ग्राफ़ के लिए एनपी-पूर्ण है ( यहां देखें )।$G$$k$$G$$k$

Answer 3

Bipartite Graphs में परफेक्ट मैचिंग की समस्या जबकि Bipartite Graph की Exact Weight परफेक्ट मिलान N P -Complete है ।$P$$NP$

Comments

मैं उन्हें एक ही समस्या नहीं मानता। ऐसा लगता है कि सबसे छोटे सेंट पथ की जटिलता की तुलना तुच्छ रूप से P और आकार की एक पथ , जो तुच्छ रूप से np-complete है। $\alpha$

— सईद

Answer 4

मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी के जवाब के बाद, ऐसा लगता है कि बहुपत्नी-समय की कई सॉल्विंग अनवीटेड समस्याओं को भारित मामले में -complete में बदल दिया जा सकता है , अगर हम पूछें कि क्या कोई समाधान है जो बिल्कुल एक दिया हुआ वजन है। कारण यह है कि यह माना जाता कार्य में सबसेट सम समस्या को एन्कोड कर सकता है।$NP$

उदाहरण के लिए, सटीक वजन परफेक्ट मिलान के मामले में, हम इनपुट के रूप में एक संपूर्ण द्विदलीय ग्राफ ले सकते हैं, एक विशेष मिलान के किनारों को दिए गए भार और अन्य सभी किनारों को 0 वजन प्रदान करते हैं। यह देखना आसान है कि इस भारित ग्राफ का वजन बिल्कुल सही मिलान है यदि और केवल तभी वजन का एक सबसेट है जो कि वास्तव में डब्ल्यू के लिए गाया जाता है । (यदि इस तरह का एक उपसमूह है, तो हम निश्चित मिलान से संबंधित किनारों को ले सकते हैं, और इसे 0-वजन के किनारों के साथ एक परिपूर्ण मिलान तक विस्तारित कर सकते हैं, इसका उपयोग करते हुए यह एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ है।) मुझे लगता है, एक समान सरल चाल। कई अन्य समस्याओं के लिए भी काम कर सकते हैं।$W$$W$

Comments

$k$$G$

Answer 5

ग्राफ संतुलन (मिन आउट-डिग्री ओरिएंटेशन के रूप में भी जाना जाता है) इस घटना का एक और उदाहरण है। इस समस्या में हमें एक अप्रत्यक्ष रूप से धारित ग्राफ दिया जाता है। लक्ष्य किनारों को उन्मुख करना है ताकि परिणामी डिग्राफ (भारित) अधिकतम आउट-डिग्री कम से कम हो।

समस्या अक्सर एक शेड्यूलिंग परिदृश्य से प्रेरित होती है। कल्पना करें कि प्रत्येक शीर्ष एक प्रोसेसर है और प्रत्येक किनारे एक नौकरी है जिसे केवल इसके दो समापन बिंदुओं में से एक पर चलने की अनुमति है। एक किनारे का वजन संबंधित कार्य की लंबाई है और लक्ष्य को न्यूनतम करना है।

समस्या एनपी-हार्ड और एपीएक्स-हार्ड है, भले ही सभी वजन 1 या 2 हैं (देखें एबेंलेंड्र एट अल। "ग्राफ बैलेंसिंग: असंबंधित समानांतर मशीनों को शेड्यूल करने का एक विशेष मामला" सोडा 2008 में)। हालांकि यह अनवीटेड ग्राफ्स के लिए P में है (असाहिरो एट अल देखें। "CATS 2008 में ग्राफ वर्गों और अधिकतम भारित रूपरेखा को कम करने वाले ग्राफ ओरिएंटेशन की जटिलता)।

Answer 6

हो सकता है कि यह सिर्फ एक तुच्छ उदाहरण है और आप इसे पतित मामला मान सकते हैं, लेकिन मेरे दिमाग में आया पहला उदाहरण ट्रैवलिंग सेल्समैन प्रॉब्लम है (जहां आमतौर पर यह माना जाता है कि ग्राफ पूरा हो चुका है)। ध्यान दें कि अनवेटेड संस्करण हैमिल्टनियन साइकिल है, जो पूर्ण रेखांकन के लिए तुच्छ है।

Answer 7

देरी की कमी के तहत न्यूनतम लागत पथ ढूँढना (उर्फ द कंस्ट्रिंड शॉर्टेस्ट पाथ समस्या) यहाँ फिट करने के लिए लगता है।

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

यदि समस्या का भार होता है, तो यह विवश लघु पथ बन जाता है , जिसे डीएजी पर भी एनपी-पूर्ण माना जाता है।

Answer 8

समस्या स्थानीय अधिकतम कट FLIP पड़ोस के साथ सामान्य पूर्णांक भारित रेखांकन में PLS- पूर्ण है।

एए शेफ़ेफ़र और एम। यानाकिस। (1991)। सरल स्थानीय खोज समस्याएं जिन्हें हल करना कठिन है। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल, 20 (1): 56-87।

हालांकि, यदि ग्राफ़ के आकार में सबसे बड़ा वजन बहुपद है, तो संभावित (कट का वजन) में स्थानीय सुधार बहुपद समय में परिवर्तित हो जाएगा, क्योंकि प्रत्येक सुधार संभावित फ़ंक्शन को कम से कम एक और संभावित फ़ंक्शन को बढ़ाएगा। बहुपद है। (सामान्य भार के साथ, एक विशिष्ट शुरुआती कट से स्थानीय सुधारों द्वारा उपलब्ध समाधान का पता लगाना PSPACE-complete है।)

इसी तरह की बात अन्य "संभावित खेलों" में भी होती है।

Answer 9

ट्रैवलिंग सेल्समैन बेचे गए ग्रिड ग्राफ पर खुला है, लेकिन हैमिल्टन चक्र (अनवीटेड वेरिएंट) को बहुपद माना जाता है।

खुली समस्याओं की परियोजना पर दोनों की चर्चा:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Answer 10

पर 2K_1 मुक्त अधिकतम कटौती बहुपद और भारित अधिकतम कटौती है एनपी पूरा हो गया है।