इस पथ की समस्या की जटिलता क्या है?

Question

उदाहरण: एक अप्रत्यक्ष ग्राफ जिसमें दो प्रतिष्ठित कोने और एक पूर्णांक ।एस ≠ टी के ≥ $G$$s\neq t$$k\geq 2$

प्रश्न: वहाँ एक मौजूद है में पथ , इस तरह के ज्यादा से ज्यादा पथ छूता है कि कोने? (यदि मार्ग या तो मार्ग पर है, या पथ पर पड़ोसी है, तो मार्ग द्वारा एक शीर्ष को स्पर्श किया जाता है।)G $s-t$$G$$k$

Comments

यह एक विवश submodular न्यूनतम की तरह लगता है। दुर्भाग्य से, यह स्पष्ट नहीं है कि बाधाओं का सेट एक कुशल समाधान मानता है।

— सुरेश वेंकट

का मेरा उत्तर शायद गलत था! अधिक ध्यान से जांच करने के बाद, हेयूरिस्टिक एकरस प्रतीत नहीं होता है। $A^*$

— usul

सुरेश की टिप्पणी के बाद, यह "मल्टी एजेंट सबमॉड्यूलर कॉस्ट फंक्शंस के साथ कंबाइनटेरियल प्रॉब्लम्स की अनुमानितता" की जांच करने के लिए लायक है, जो दर्शाता है कि सबमॉडुलर कॉस्ट सबसे छोटा रास्ता कठिन है। हो सकता है कि वहाँ ऐसे विचार हों जो कठोरता दिखाते हों। computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— चंद्रा चकुरी

इस समस्या को कैटरपिलर उप-ग्राफ को खोजने के रूप में पुनःप्रकाशित किया जा सकता है, जिसमें सबसे अधिक कोने में और शामिल हैं, जो सबसे लंबे पथ पर है। एस $k$$s$$t$

— ओबिन्ना ओक्चुकुव

@ ओबिना कैटरपिलर उप-ग्राफ को एक अर्थ में अधिकतम होना आवश्यक है, क्योंकि हमें सबसे लंबे रास्ते के सभी पड़ोसियों को शामिल करना होगा

— सैम

Answer 1

इस समस्या का अध्ययन किया गया था:

शिरी चेचिक, मैथ्यू पी। जॉनसन, मेरव पार्टर, डेविड पेलेग: एकांत कनेक्टिविटी समस्याएं। ईएसए 2013: 301-312।

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

उन्होंने इसे एकांत समस्या कहा। यह वास्तव में एनपी-हार्ड है, और अनुकूलन संस्करण में कोई निरंतर-कारक सन्निकटन नहीं है।

लेखकों द्वारा प्रदान की जाने वाली प्रेरणा एक सेटिंग है जहां जानकारी को पथ पर भेजा जाता है, और पथ में केवल पड़ोसी और नोड इसे देख सकते हैं। लक्ष्य जोखिम को कम करना है।

Answer 2

संपादित करें: पहले से ही इस समस्या की कठोरता को साबित करने वाले एक पेपर के संदर्भ के लिए कृपया नीचे उपयोगकर्ता 2020655 देखें। मैं अपना मूल पद छोड़ दूंगा, यदि कोई इस वैकल्पिक प्रमाण को देखना चाहता है।

===============

MIN-SAT के एक उदाहरण पर विचार करें, जो एक NP-कठिन समस्या है , जिसमें चर और । हम आपकी समस्या को कम कर देंगे।सी = { ग 1 , सी 2 , सी 3 , ⋯ $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$$C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

हमारे पास प्रत्येक लिए दो कोने होंगे (एक नकारात्मक रूप के लिए और एक unnegated के लिए) और प्रत्येक लिए एक शीर्ष । आगे चलकर,, हम होगा कोने गद्दी के लिए।c i m = 2 n + | सी | एम पी 1 , पी 2 , ⋯ , पी $x_i$$c_i$$m = 2n+|C|$$m$$p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

मोटे तौर पर, हम एक ग्राफ जहां इष्टतम समाधान से एक पथ का निर्माण करने के लिए किया जाएगा का निर्माण करेगी को का उपयोग कर और मध्यवर्ती नोड्स के रूप में है। इस पथ की लागत बिल्कुल होगी कि हमने जो रास्ता चुना है अगर हम उसे असाइनमेंट में बदलना चाहते हैं तो वह संतुष्ट होगा। रों सिर्फ वहाँ से किसी के माध्यम से कम काटने से धोखा करने में सक्षम होने से इष्टतम समाधान को रोकने के लिए कर रहे हैं रों।टी एक्स मैं ¯ एक्स मैं सी जे पी मैं सी $s$$t$$x_i$$\bar{x_i}$$c_j$$p_i$$c_j$

कनेक्ट किसी भी खंड के जिसमें प्रकट होता है और किसी भी खंड के जिसमें दिखाई देता है। चरों के असाइनमेंट को बाध्य करने के लिए, हम एक हीरे की सीढ़ी जैसी संरचना बनाते हैं, जहां और दोनों और । दोनों और से जुड़ा है और दोनों और से जुड़ा है । अंत में, प्रत्येकसी जे एक्स मैं ¯ एक्स मैं सी जे ¯ एक्स मैं एक्स मैं ¯ एक्स मैं एक्स मैं + 1 ¯ एक्स मैं + 1 रों एक्स 1 ¯ एक्स 1 टी एक्स एन ¯ एक्स एन सी मैं पी $x_i$$c_j$$x_i$$\overline{x_i}$$c_j$$\overline{x_i}$$x_i$$\overline{x_i}$$x_{i+1}$$\overline{x_{i+1}}$$s$$x_1$$\overline{x_1}$$t$$x_n$$\overline{x_n}$$c_i$सभी पैडिंग चर से जुड़ा है । मेरे पास रेखांकन ड्राइंग के लिए मेरा सॉफ्टवेयर नहीं है, इसलिए यहाँ इस निर्माण का एक (अत्यंत) अति सूक्ष्म चित्रण है:$p_j$

(ध्यान दें कि यहां बादल बस कोने का एक बड़ा सेट है, और प्रत्येक मोटी किनारे से है इस बादल का प्रतिनिधित्व करता है इस सेट में प्रत्येक शिखर कनेक्ट नहीं रहेंगे।)c j c c $\{P_i\}$$c_j$$c_j$

दावा है कि न्यूनतम-स्पर्श पथ समस्या के लिए इष्टतम समाधान में, पथ को स्पर्श करने वाले वर्टिस की संख्या , जहां MIN-SAT उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान है। यह है क्योंकि$Q + 2n + 2$$Q$

1. पथ की जरूरत है पर शुरू करने के लिए पर और अंत , और सबसे अच्छा तरीका है सब गद्दी कोने का संग्रह के बिना यह करने के लिए से जारी रखने के लिए है को दोनों को एकत्रित किए बिना कभी भी और को किसी भी लिए (यह सहज नहीं है) किसी भी चर से चुने गए दो विकल्पों में से एक को हटाने के रूप में दो बार वैध तरीके से पैदावार मिलती है, जिसमें कोई बड़ी लागत नहीं होती है जितना कि हम दोनों में रखा था।टी y मैं ∈ { x मैं , ¯ एक्स मैं } y मैं + 1 ∈ { x मैं + 1 , ¯ एक्स मैं + 1 } एक्स मैं ¯ एक्स मैं मैं ∈ 1 , ⋯ , $s$$t$$y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$$y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$$x_i$$\overline{x_i}$$i \in 1, \cdots, n$
2. अधिकांश पर लागत का एक समाधान है जो , , , , , के बाहर कुछ भी एकत्र नहीं करता है , और । चूँकि किसी भी पथ को कोई भी गद्दी मिलती है , जिसमें कम से कम , , कुछ , कुछ और और सभी , इसमें की लागत होती है , इसलिए यह है। इस प्रकार, इष्टतम समाधान पैडिंग के किसी भी कोने को नहीं छूता है, इसलिए पथ को भाग (1) में उल्लिखित किया जाना चाहिए।रों , x 1 , x 2 , ⋯ , x n , टी एस टी { x मैं } { ¯ एक्स मैं } { ग मैं } रों - टी एस टी सी मैं एक्स मैं एक्स जे { पी } ≥ मीटर + $m+2$$s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$$s$$t$$\{x_i\}$$\{\overline{x_i}\}$$\{c_i\}$ $s-t$$s$$t$$c_i$$x_i$$x_j$$\{p\}$$\geq m+5$
3. पथ के प्रेरित असाइनमेंट के माध्यम से पथ ( और अलावा अन्य ) के माध्यम से जाने वाले चर के अनुरूप चर असाइनमेंट को कॉल करें । एक शीर्ष को स्पर्श किया जाता है यदि पथ का प्रेरित असाइनमेंट क्लाज को संतुष्ट । इसके विपरीत, क्लॉज को संतुष्ट करने वाले चर का एक असाइनमेंट एक पथ में तब्दील हो सकता है जो s के बिल्कुल को छूता है जो उस पथ को देखते हुए प्रेरित करता है जो प्रेरित असाइनमेंट को प्रेरित करता है।टी सी जे सी जे क्यू क्यू सी $s$$t$$c_j$$c_j$$Q$$Q$$c_j$
4. प्रत्येक और इस पथ को स्पर्श करता है, साथ ही साथ और दोनों को । कुल मिलाकर, ये कुल लागत में का योगदान करते हैं। शेष से आता है जिसे छुआ जाता है, इष्टतम समाधान में लागत पर ।¯ x i s t 2 n + 2 c i$x_i$$\overline{x_i}$$s$$t$$2n + 2$$c_i$$Q$

इस प्रकार, हम जांच कर सकते हैं कि अगर MIN-SAT उदाहरण में कॉस्ट का समाधान है, तो हमारे द्वारा बनाए गए ग्राफ़ में आपकी पथ समस्या के एक उदाहरण में लागत है। विशेष रूप से, हम यह कर-कटौती के माध्यम से कर सकते हैं। इस प्रकार, कहा गया समस्या एनपी-हार्ड है।≤ k + 2 n + $\leq k$$\leq k + 2n + 2$