संपादित करें: पहले से ही इस समस्या की कठोरता को साबित करने वाले एक पेपर के संदर्भ के लिए कृपया नीचे उपयोगकर्ता 2020655 देखें। मैं अपना मूल पद छोड़ दूंगा, यदि कोई इस वैकल्पिक प्रमाण को देखना चाहता है।
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MIN-SAT के एक उदाहरण पर विचार करें, जो एक NP-कठिन समस्या है , जिसमें चर और । हम आपकी समस्या को कम कर देंगे।सी = { ग 1 , सी 2 , सी 3 , ⋯ }एक्स= { एक्स1, एक्स2, ⋯एक्सn}सी= { स1, सी2, सी3, ⋯ }
हमारे पास प्रत्येक लिए दो कोने होंगे (एक नकारात्मक रूप के लिए और एक unnegated के लिए) और प्रत्येक लिए एक शीर्ष । आगे चलकर,, हम होगा कोने गद्दी के लिए।c i m = 2 n + | सी | एम पी 1 , पी 2 , ⋯ , पी एमएक्समैंसीमैंएम = 2 एन + | सी|मपी1, पी2, ⋯ , पीम
मोटे तौर पर, हम एक ग्राफ जहां इष्टतम समाधान से एक पथ का निर्माण करने के लिए किया जाएगा का निर्माण करेगी को का उपयोग कर और मध्यवर्ती नोड्स के रूप में है। इस पथ की लागत बिल्कुल होगी कि हमने जो रास्ता चुना है अगर हम उसे असाइनमेंट में बदलना चाहते हैं तो वह संतुष्ट होगा। रों सिर्फ वहाँ से किसी के माध्यम से कम काटने से धोखा करने में सक्षम होने से इष्टतम समाधान को रोकने के लिए कर रहे हैं रों।टी एक्स मैं ¯ एक्स मैं सी जे पी मैं सी जेरोंटीएक्समैंएक्समैं¯सीजेपीमैंसीजे
कनेक्ट किसी भी खंड के जिसमें प्रकट होता है और किसी भी खंड के जिसमें दिखाई देता है। चरों के असाइनमेंट को बाध्य करने के लिए, हम एक हीरे की सीढ़ी जैसी संरचना बनाते हैं, जहां और दोनों और । दोनों और से जुड़ा है और दोनों और से जुड़ा है । अंत में, प्रत्येकसी जे एक्स मैं ¯ एक्स मैं सी जे ¯ एक्स मैं एक्स मैं ¯ एक्स मैं एक्स मैं + 1 ¯ एक्स मैं + 1 रों एक्स 1 ¯ एक्स 1 टी एक्स एन ¯ एक्स एन सी मैं पी जेएक्समैंसीजेएक्समैंएक्समैं¯¯¯¯¯सीजेएक्समैं¯¯¯¯¯एक्समैंएक्समैं¯¯¯¯¯एक्समैं + 1एक्समैं + 1¯¯¯¯¯¯¯¯¯रोंएक्स1एक्स1¯¯¯¯¯टीएक्सnएक्सn¯¯¯¯¯सीमैंसभी पैडिंग चर से जुड़ा है । मेरे पास रेखांकन ड्राइंग के लिए मेरा सॉफ्टवेयर नहीं है, इसलिए यहाँ इस निर्माण का एक (अत्यंत) अति सूक्ष्म चित्रण है:पीजे
(ध्यान दें कि यहां बादल बस कोने का एक बड़ा सेट है, और प्रत्येक मोटी किनारे से है इस बादल का प्रतिनिधित्व करता है इस सेट में प्रत्येक शिखर कनेक्ट नहीं रहेंगे।)c j c c j{ पीमैं}सीजेसीजे
दावा है कि न्यूनतम-स्पर्श पथ समस्या के लिए इष्टतम समाधान में, पथ को स्पर्श करने वाले वर्टिस की संख्या , जहां MIN-SAT उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान है। यह है क्योंकिक्यूक्यू + २ एन + २क्यू
- पथ की जरूरत है पर शुरू करने के लिए पर और अंत , और सबसे अच्छा तरीका है सब गद्दी कोने का संग्रह के बिना यह करने के लिए से जारी रखने के लिए है को दोनों को एकत्रित किए बिना कभी भी और को किसी भी लिए (यह सहज नहीं है) किसी भी चर से चुने गए दो विकल्पों में से एक को हटाने के रूप में दो बार वैध तरीके से पैदावार मिलती है, जिसमें कोई बड़ी लागत नहीं होती है जितना कि हम दोनों में रखा था।टी y मैं ∈ { x मैं , ¯ एक्स मैं } y मैं + 1 ∈ { x मैं + 1 , ¯ एक्स मैं + 1 } एक्स मैं ¯ एक्स मैं मैं ∈ 1 , ⋯ , nरोंटीyमैं∈ { एक्समैं, एक्समैं¯¯¯¯¯}yमैं + 1∈ { एक्समैं + 1, एक्समैं + 1¯¯¯¯¯¯¯¯¯}एक्समैंएक्समैं¯¯¯¯¯मैं ∈ 1 , ⋯ , n
- अधिकांश पर लागत का एक समाधान है जो , , , , , के बाहर कुछ भी एकत्र नहीं करता है , और । चूँकि किसी भी पथ को कोई भी गद्दी मिलती है , जिसमें कम से कम , , कुछ , कुछ और और सभी , इसमें की लागत होती है , इसलिए यह है। इस प्रकार, इष्टतम समाधान पैडिंग के किसी भी कोने को नहीं छूता है, इसलिए पथ को भाग (1) में उल्लिखित किया जाना चाहिए।रों , x 1 , x 2 , ⋯ , x n , टी एस टी { x मैं } { ¯ एक्स मैं } { ग मैं } रों - टी एस टी सी मैं एक्स मैं एक्स जे { पी } ≥ मीटर + 5एम + २एस , एक्स1, एक्स2, ⋯ , एक्सn, टीरोंटी{ एक्समैं}{ एक्समैं¯¯¯¯¯}{ सीमैं} एस - टीरोंटीसीमैंएक्समैंएक्सजे{ p }≥ मीटर + 5
- पथ के प्रेरित असाइनमेंट के माध्यम से पथ ( और अलावा अन्य ) के माध्यम से जाने वाले चर के अनुरूप चर असाइनमेंट को कॉल करें । एक शीर्ष को स्पर्श किया जाता है यदि पथ का प्रेरित असाइनमेंट क्लाज को संतुष्ट । इसके विपरीत, क्लॉज को संतुष्ट करने वाले चर का एक असाइनमेंट एक पथ में तब्दील हो सकता है जो s के बिल्कुल को छूता है जो उस पथ को देखते हुए प्रेरित करता है जो प्रेरित असाइनमेंट को प्रेरित करता है।टी सी जे सी जे क्यू क्यू सी जेरोंटीसीजेसीजेक्यूक्यूसीजे
- प्रत्येक और इस पथ को स्पर्श करता है, साथ ही साथ और दोनों को । कुल मिलाकर, ये कुल लागत में का योगदान करते हैं। शेष से आता है जिसे छुआ जाता है, इष्टतम समाधान में लागत पर ।¯ x i s t 2 n + 2 c i Qएक्समैंएक्समैं¯¯¯¯¯रोंटी2 एन + 2सीमैंक्यू
इस प्रकार, हम जांच कर सकते हैं कि अगर MIN-SAT उदाहरण में कॉस्ट का समाधान है, तो हमारे द्वारा बनाए गए ग्राफ़ में आपकी पथ समस्या के एक उदाहरण में लागत है। विशेष रूप से, हम यह कर-कटौती के माध्यम से कर सकते हैं। इस प्रकार, कहा गया समस्या एनपी-हार्ड है।≤ k + 2 n + 2≤ के≤ के + २ एन + २