अनुकूलन अच्छा लक्षण वर्णन के साथ समस्याओं, लेकिन कोई बहुपद समय एल्गोरिथ्म

Question

निम्नलिखित फ़ॉर्म की अनुकूलन समस्याओं पर विचार करें। आज्ञा देना एक बहुपद-समय कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन है जो एक स्ट्रिंग को तर्कसंगत संख्या में मैप करता है । अनुकूलन समस्या यह है: -bit स्ट्रिंग्स पर का अधिकतम मान क्या है ?$f(x)$f ( x ) n $x$$f(x)$$n$$x$

हम कहते हैं कि इस तरह की समस्या का एक मिनिमैक्स लक्षण वर्णन है , यदि कोई अन्य बहुपद-काल कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन , जैसे कि धारण करता है। यहाँ x सभी n -bit स्ट्रिंग्स पर चलता है , और y सभी m -bit स्ट्रिंग्स पर चलता है ; n और m भिन्न हो सकते हैं, लेकिन वे बहुपद से संबंधित हैं।max x f ( x ) = min y g ( y ) $g$

$$\max_x f(x) = \min_y g(y)$$ $x$$n$$y$$m$$n$$m$

कई प्राकृतिक और महत्वपूर्ण अनुकूलन समस्याओं में ऐसे न्यूनतम लक्षण वर्णन होते हैं। कुछ उदाहरण (प्रमेय जिस पर लक्षण वर्णन कोष्ठक में दिखाए गए हैं):

रेखीय प्रोग्रामिंग (एलपी ड्युअलिटी थीम), अधिकतम प्रवाह (मैक्स फ्लो मिन कट थीम), मैक्स बिपर्टाइट मैचिंग (कोनिग-हॉल थम), मैक्स गैर-द्विपदीय मिलान ( टुटे के थम , टुट्टे -बर्ज सूत्र), निर्देशित ग्राफ में मैक्स डिस्जॉइंट आर्बोरेसेंस ( एडमंड्स डिस्जॉइंट ब्रांचिंग थीम), मैक्स स्पैनिंग ट्री पैकिंग इनडायरेक्टेड ग्राफ (टुट्टे ट्री ट्री पैकिंग थम), मिन कवरिंग फॉर फॉरेस्ट (नैश-विलियम्स थम), मैक्स डायरेक्टेड कट पैकिंग (लुचेसी-यंगर थम ), मैक्स 2-मैट्रॉइड इंटेरसेशन (मैट्रो इन्टरसेक्शन) थम), मैक्स डिस्जॉइंट पाथ्स (मेन्जर्स थम), आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट ( दिलवर्थ थम ), और कई अन्य में मैक्स एंटीचैन ।

इन सभी उदाहरणों में, बहुपद-समय एल्गोरिथ्म भी इष्टतम खोजने के लिए उपलब्ध है। मेरा प्रश्न:

क्या न्यूनतम अनुकूलन के साथ कोई अनुकूलन समस्या है, जिसके लिए अब तक कोई बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म नहीं मिला है?

नोट: रैखिक प्रोग्रामिंग इस स्थिति में लगभग 30 वर्षों के लिए था!

Answer 1

कुछ तकनीकी अर्थों में आप पूछ रहे हैं कि क्या । मान लीजिए कि , इस प्रकार वहाँ पाली समय से मौजूद है और ताकि iff और iff । इसे द्वारा एक माइनमैक्स लक्षण वर्णन के रूप में पुनः प्राप्त किया जा सकता है यदि और अन्यथा; यदि और अन्यथा। अब वास्तव में हमारे पास ।एल ∈ एन पी ∩ सी ओ एन पी एफ जी एक्स ∈ एल ∃ y : एफ ( एक्स , वाई ) एक्स ∉ एल ∃ y : जी ( एक्स , वाई ) च एक्स ( y ) = 1 एफ ( एक्स , वाई ) एफ एक्स ( $P = NP \cap coNP$$L \in NP \cap coNP$$F$$G$$x \in L$$\exists y: F(x,y)$$x \not\in L$$\exists y: G(x,y)$$f_x(y) = 1$$F(x,y)$g x ( y ) = 0 G ( x , y ) g x ( y ) = 1 m a x y f x ( y ) = m i n y g x ( y $f_x(y) = 0$$g_x(y) = 0$$G(x,y)$$g_x(y) = 1$$max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

तो इस अर्थ में, कोई समस्या जिसे जाना जाता है, लेकिन में होना ज्ञात नहीं है, को आपके प्रश्न के उत्तर में बदल दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए फैक्टरिंग (कहते हैं, सबसे बड़ा कारक 1 का बिट) का निर्णय संस्करण है)।पी $NP \cap coNP$$P$$i$

Comments

मैं इस धारणा के तहत था कि कुछ लोग " " के लिए एक अच्छी परिभाषा के रूप में लेने के लिए इतनी दूर जाते हैं । $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— जोशुआ ग्रूचो

और इस तरह की समस्याओं की सूची के लिए, mathoverflow.net/questions/31821/…

— राहुल सवानी

Answer 2

सीमोर और थॉमस ने ट्रेविदथ का न्यूनतम-अधिकतम लक्षण वर्णन किया। फिर भी, पेड़ की चौड़ाई एनपी-हार्ड है। हालाँकि यह काफी तरह का लक्षण वर्णन नहीं है जो आप पूछ रहे हैं, क्योंकि दोहरे फ़ंक्शन एक लघु प्रमाण पत्र का बहुपदीय समय गणना योग्य कार्य नहीं है। यह पूरी तरह से एनपी पूरी समस्याओं के लिए अपरिहार्य है, क्योंकि अन्यथा हमें एनपी-कोप में पूरी तरह से समस्या होगी, एक एनपी = सीओएनपी को ध्वस्त करते हुए, और मैं इस पर विचार करूंगा कि काफी झटका लगा।$g$

Treewidth एक ग्राफ के का एक पेड़ अपघटन की सबसे छोटी छोटी से छोटी चौड़ाई के बराबर होता है । एक ग्राफ का एक पेड़ अपघटन एक पेड़ है ऐसी है कि प्रत्येक शिखर की एक सेट द्वारा चिह्नित किया गया है के कोने की संपत्ति के साथ:$G$$G$$G$$T$$x$$T$$S(x)$$G$

1. सभी ; ।$x \in V(T)$$|S(x)| \leq k+1$
2. सभी का मिलन का शीर्ष सेट है ।$S(x)$$G$
3. हर _ के लिए, सभी प्रेरित का उपसमूह जिसके लिए _ जुड़ा हुआ है।$u \in V(G)$$T$$x$$u \in S(x)$
4. हर बढ़त कुछ का एक सबसेट है के लिए एक्स ∈ वी ( टी ) ।$(u, v) \in E(G)$$S(x)$$x \in V(T)$

सीमोर और थॉमस ने दिखाया कि ट्रेविथ जी की ब्रैमबल संख्या के बराबर है : अधिकतम कश्मीर ऐसा है कि जी के जुड़े उपसमूह का एक संग्रह है:$G$$k$$G$

1. प्रत्येक दो उपसमूह एक किनारे से प्रतिच्छेद या जुड़े होते हैं।
2. का कोई सेट के कोने जी सब subgraphs पूरी करता है।$k$$G$

सबग्राफ के इस तरह के संग्रह को ऑर्डर k का एक bramble कहा जाता है$k$

सूचना "कम से कम ब्रेंबल संख्या है कैसे " एक है ∃ ∀ बयान से अधिक तेजी से दोनों परिमाणकों बड़े सेट के साथ। इसलिए यह प्रमाण पत्र को सत्यापित करने के लिए एक आसान सुझाव नहीं देता है (और अगर कोई ऐसा था जो वास्तव में बड़ी खबर होगी, जैसा कि मैंने ऊपर कहा है)। चीजों को और भी बदतर बनाने के लिए, Grohe और मार्क्स से पता चला कि हर के लिए कश्मीर का ग्राफ है treewidth कश्मीर ऐसी है कि आदेश के किसी भी ब्रेंबल कम से कम कश्मीर 1 / 2 + ε तेजी से कई subgraphs से मिलकर चाहिए। उन्होंने यह भी दिखाने के आदेश के brambles वहाँ मौजूद है कि कश्मीर 1 / 2 / हे ( लॉग ऑन $k$$\exists\forall$$k$$k$$k^{1/2 + \epsilon}$ बहुपद का आकार।$k^{1/2}/O(\log^2 k)$

Comments

धन्यवाद, यह एक बहुत अच्छा उदाहरण है, भले ही यह उस श्रेणी में न आता हो जिसकी मुझे तलाश है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि treewidth के बारे में यह न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय 1993 में प्रकाशित हुआ था, और उस समय treewidth की एनपी-पूर्णता पहले से ही ज्ञात थी। इसलिए, परिणाम एनपी = सीओएनपी को खारिज करने के कारण के रूप में कार्य कर सकता था। जबकि ब्रम्बल आकार पर घातीय निचली सीमा को उस भूमिका के लिए अयोग्य करार दिया गया था, लेकिन यह निचली सीमा केवल 16 साल बाद प्रकाशित हुई थी।

— एंड्रास फरगो

एंड्रास, उस समय यह भी जानते थे कि हिटिंग सेट सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है (यह कार्प की 21 समस्याओं में से एक था)। तो बहुपद आकार के ब्रैंबल्स के साथ भी, ऑर्डर की गणना करना आसान नहीं है, जब तक कि आप किसी तरह ब्रंबल्स की संरचना का उपयोग नहीं कर सकते। फिर भी, यह दिलचस्प है कि ब्रंबल्स के आकार की पहले जांच नहीं की गई थी।

— साशो निकोलेव

Answer 3

पैरिटी गेम्स, मीन-पेऑफ गेम्स, डिस्काउंटेड गेम्स और सिंपल स्टोचस्टिक गेम्स इस श्रेणी में आते हैं।

ये सभी ग्राफ़ पर खेले जाने वाले दो-खिलाड़ी शून्य-शून्य गेम हैं, जहां खिलाड़ी वर्टिकल को नियंत्रित करते हैं और चुनते हैं कि टोकन को आगे कहां जाना चाहिए। सभी के पास स्मृतिहीन स्थितिगत रणनीतियों में संतुलन होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खिलाड़ी खेल के इतिहास के लिए निर्धारित और गैर-जिम्मेदार होने के बावजूद प्रत्येक पसंद में एक किनारे चुनता है। एक खिलाड़ी की रणनीति को देखते हुए, दूसरे खिलाड़ी की सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया को बहुपद समय में गणना की जा सकती है, और न्यूनतम-अधिकतम संबंध के लिए आपको खेल के "मूल्य" की आवश्यकता होती है।

इन समस्याओं के प्राकृतिक निर्णय संस्करण एनपी और सह-एनपी (वास्तव में यूपी और सह-यूपी) और फ़ंक्शन की समस्याएं हैं, जो एक संतुलन खोजने के लिए, पीएलएस और पीपीएडी में निहित हैं।

सबसे प्रसिद्ध चल समय के साथ एल्गोरिदम उप घातीय, लेकिन सुपर बहुपद (हैं जैसे , जहांnखेल ग्राफ में कोने की संख्या है)।$O(n^\sqrt{n})$$n$

देखें, जैसे,

डेविड एस। जॉनसन। 2007. एनपी-पूर्णता स्तंभ: हाइस्टैक्स में सुइयों का पता लगाना। एसीएम ट्रांस। एल्गोरिदम 3, 2, अनुच्छेद 24 (मई 2007)। DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1224247