मुश्किल से दिखने वाली एल्गोरिदमिक समस्याओं ने प्रमेयों को आसान बना दिया

Question

मैं अच्छे उदाहरणों की तलाश में हूं, जहां निम्नलिखित घटना घटित होती है: (1) एक एल्गोरिथम समस्या कठिन दिखती है, यदि आप इसे परिभाषाओं से काम करना और केवल मानक परिणामों का उपयोग करना चाहते हैं। (२) दूसरी ओर, यह आसान हो जाता है, यदि आप कुछ (इतने मानक नहीं) प्रमेय जानते हैं।

इसका लक्ष्य छात्रों के लिए यह बताना है कि अधिक प्रमेय सीखना उपयोगी हो सकता है, यहां तक ​​कि उन लोगों के लिए भी जो सिद्धांत क्षेत्र से बाहर हैं (जैसे सॉफ्टवेयर इंजीनियर, कंप्यूटर इंजीनियर आदि)। यहाँ एक उदाहरण है:

प्रश्न: पूर्णांक को देखते हुए , n -vertex ग्राफ मौजूद है (और यदि ऐसा है, तो एक खोजें), जैसे कि इसकी शीर्ष कनेक्टिविटी k है , इसका किनारे कनेक्टिविटी l है , और इसकी न्यूनतम डिग्री d है ?$n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

ध्यान दें कि हमें आवश्यकता है कि पैरामीटर दिए गए संख्याओं के बराबर हैं, वे सिर्फ सीमा नहीं हैं। यदि आप इसे खरोंच से हल करना चाहते हैं, तो यह कठिन दिखाई दे सकता है। दूसरी ओर, यदि आप निम्नलिखित प्रमेय से परिचित हैं (देखें एक्स ग्राफल थ्योरी बाय बी। बोलोबस), तो स्थिति काफी भिन्न हो जाती है।

प्रमेय: लेट पूर्णांक हो। वर्टिकल कनेक्टिविटी k , एज कनेक्टिविटी l और न्यूनतम डिग्री d के साथ एक n -vertex ग्राफ मौजूद है , यदि और केवल यदि निम्न में से एक स्थिति संतुष्ट है:$n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• , $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

इन शर्तों को जांचना बहुत आसान है, इनपुट मापदंडों के बीच सरल असमानताएं हैं, इसलिए अस्तित्व के प्रश्न का उत्तर आसानी से दिया जा सकता है। इसके अलावा, प्रमेय का प्रमाण रचनात्मक है, साथ ही निर्माण मुद्दे को हल करना। दूसरी ओर, यह परिणाम पर्याप्त मानक नहीं दिखाई देता है, ताकि आप हर किसी से इसके बारे में जानने की उम्मीद कर सकें।

क्या आप इस भावना में और उदाहरण प्रदान कर सकते हैं, जहाँ एक (इतना मानक नहीं) प्रमेय जानना किसी कार्य को सरल करता है?

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके सवालों को पूरी तरह से समझ पा रहा हूं। आपके द्वारा दिया गया उदाहरण एक गैर-तुच्छ समस्या है, जिसके लिए बोलोबस ने एक एल्गोरिथ्म दिया है (जिसका अर्थ है एक लक्षण वर्णन)। तो अपने उदाहरण के साथ मेरी धारणा है कि किसी भी गैर तुच्छ एल्गोरिथ्म का जवाब होगा ...

— ब्रूनो

Primality और AKS प्रमेय।

— Lamine

@ ब्रूनो: मेरा क्या मतलब है कि यदि आप एक प्रमेय को जानते हैं, जो कि अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है, तो एल्गोरिथमिक कार्य बहुत आसान हो जाता है, इसलिए किसी ने इसके बारे में कभी नहीं सुना होगा। प्रस्तुत उदाहरण इस अर्थ में बिल्कुल सही नहीं है कि यहाँ प्रमेय सिर्फ मदद नहीं करता है, यह वास्तव में समस्या को हल करता है। मैं वास्तव में जिस चीज की तलाश कर रहा हूं वह है जब एक प्रमेय मदद करता है, कुछ उपयोगी शॉर्टकट प्रदान करता है, लेकिन अपने आप में समस्या को पूरी तरह से हल नहीं करता है।

— एंड्रास फरगो

सामुदायिक विकि?

— जोशुआ ग्रूचो

रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय, यह भी अनुमान लगाते हैं कि नियतात्मक रूप से खोज करना आसान है।

— केवह

Answer 1

सरल समूहों का आइसोमोर्फिज्म तय करना , उनके गुणन सारणी द्वारा दिया जाता है। तथ्य यह है कि यह बहुपद समय में किया जा सकता है सीधे इस तथ्य से है कि सभी परिमित सरल समूहों को अधिकतम 2 तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, और वर्तमान में उस तथ्य का एकमात्र ज्ञात प्रमाण परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है (शायद सबसे बड़ा प्रमेय - लेखकों, कागजात, और पृष्ठों के संदर्भ में - कभी साबित)।

Comments

यह एक बेहतरीन उदाहरण है! BTW इस उत्तर के लिए टिप्पणियों का दावा है कि कुछ अर्थों में यह प्रमेय वर्गीकरण के जितना ही कठिन है: mathoverflow.net/a/59216/35733

— Sasho Nikolov

Answer 2

यदि मैं आपके प्रश्न को सही ढंग से समझता हूं, तो एक विहित उदाहरण यह तय करेगा कि क्या ग्राफ में एक यूलरियन सर्किट है: यह जांचने के बराबर है कि जी जुड़ा हुआ है और प्रत्येक शीर्ष पर डिग्री भी है।$G$$G$

Answer 3

आज दोपहर मैं स्ट्रिंगोलॉजी पढ़ रहा था - "रियल" स्ट्रिंग सिद्धांत ।

समस्या: यदि और y कुछ वर्णमाला पर दो तार हैं, तो कुछ धनात्मक पूर्णांक m , n हैं जैसे कि x m = y n ।$x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

प्रमेय: सकारात्मक पूर्णांक हैं ऐसा कि x m = y n यदि और केवल यदि x y = y x ।$m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

Answer 4

वास्तविक बहुपद की वास्तविक जड़ों की संख्या (अलग) की खोज करना, या तो of या सभी दिए गए अंतराल में। स्टर्म का प्रमेय आपको बताता है कि बहुत कम आवश्यकताओं को पूरा करने वाले बहुपद का एक क्रम बहुपदों की वास्तविक जड़ों की संख्या को वास्तविक गुणांक के साथ गिनने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

फिर, आपको बस इतना करना है कि इस तरह के एक सीक्वेंस का निर्माण किया जाए (जो कि बहुत मुश्किल नहीं है, लेकिन इसके लिए कुछ किनारे के मामलों और गैर-वियोज्य बहुपद के मामले को संभालने की आवश्यकता होती है), और बॉब आपके चाचा।

हैरानी की बात है कि इस परिणाम के बारे में बहुत कम लोग जानते हैं, इसके बावजूद यह काफी पुराना (1829) है। इसका उपयोग कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में किया जाता है, लेकिन मेरे विश्वविद्यालय के सभी गणित के प्रोफेसरों, जिनसे मैंने पूछा कि या तो स्टर्म के प्रमेय को बिल्कुल नहीं जानते थे या वे इसे केवल नाम से जानते थे और इसका बहुपद की जड़ों से कुछ लेना-देना है।

ज्यादातर लोग काफी आश्चर्यचकित होते हैं जब आप उन्हें बताते हैं कि असली जड़ों को गिनना बिल्कुल आसान है और किसी भी सन्निकटन की आवश्यकता नहीं है, यह देखते हुए कि जड़ों को ढूंढना अधिक कठिन है। (याद रखें कि डिग्री there 5 के बहुपद के लिए, जड़ों के लिए "उचित" फॉर्मूला भी मौजूद नहीं है)

Answer 5

प्रमेय: प्रत्येक प्लानर ग्राफ में अधिकतम 5 पर एक वर्टिकल होता है।

समस्या: प्लानर ग्राफ़ का एक प्रतिनिधित्व डिज़ाइन करें जहाँ हम जाँच सकते हैं कि क्या ( u , v ) O ( 1 ) समय में बढ़त है ।$O(n)$$(u, v)$$O(1)$

हम अधिकतम 5 पर डिग्री के साथ शीर्ष को हटा सकते हैं, और इसे एक कुंजी के रूप में सूची में जोड़ सकते हैं और इसके पड़ोसियों को मूल्यों के रूप में। शेष ग्राफ भी प्लानेर है और इसमें 5 के साथ डिग्री के साथ एक शीर्ष है। इसलिए खपत की गई जगह अधिकतम । हम जाँच सकते हैं कि क्या u v की समीपता सूची में है ; अगर हम जाँच नहीं कर सकते हैं कि क्या v समीप की सूची में है । इसमें अधिकतम 10 चरण होते हैं।$5n$$u$$v$$v$$u$$10$

Comments

थोड़ी और देखभाल के साथ आप प्रत्येक शीर्ष पर संग्रहीत सूची के आकार को 3 तक कम कर सकते हैं और आसन्नता की जांच करने के लिए चरणों की संख्या 6. 6. देखें: लोअर आउट-डिग्री और आसन्न मेट्रिसेस के संघनन के साथ प्लेनर झुकाव। एम। चिरोबक और डी। एपस्टीन। या। अनि। विज्ञान। 86 (2): 243–266, 1991. ics.uci.edu/~eppstein/pubs/ChrEpp-TCS-91.pdf

— डेविड

Answer 6

मुझे लगता है कि इस श्रेणी के लिए पोस्टरचाइल्ड, जहाँ तक कम से कम अस्मिता का सवाल है, निम्नलिखित समस्या है:

एक समतल ग्राफ को देखते हुए , है जी 4-संभाव्य?$G$$G$

चार रंग की प्रमेय के लिए एल्गोरिथ्म को सरल return true।

Answer 7

क्या वास्तविक (बहुभिन्नरूपी) बहुपद को अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग में कमी करके वास्तविक बहुपद के वर्गों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एसडीपी को जानने की जरूरत है और एसडीपी को कुशलता से हल किया जा सकता है।$p$

Answer 8

एक अन्य उदाहरण: एक अप्रत्यक्ष ग्राफ दिया गया है, क्या इसमें न्यूनतम कटौती है जिसमें सभी किनारे असंतुष्ट हैं? यदि हां, तो एक खोजें।

पहली नजर में यह कठिन लग सकता है। यह आसान हो जाता है, हालांकि, यदि आप इस परिणाम को जानते हैं कि एक अप्रत्यक्ष -vertex ग्राफ में अधिकतम n ( n - 1 ) / 2 न्यूनतम कटौती हो सकती है, और वे सभी बहुपद समय में सूचीबद्ध हो सकते हैं।$n$$n(n-1)/2$

इसे लगभग न्यूनतम कटौती तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि न्यूनतम कटौती से अधिक हैं, लेकिन एक स्थिर कारक द्वारा। उनकी संख्या अभी भी एक बहुपद से बंधी हुई है।

(मैंने एक संदर्भ के लिए खोज नहीं की, मेरा स्मरण यह है कि ये परिणाम डी। कार्गर के कारण हैं।)

Answer 9

समस्या: परिमित शब्दों पर एक MSO की व्यंग्यात्मकता (सामान्य द्वितीय क्रम तर्क) सूत्र।

प्रमेय: MSO परिमित शब्दों पर परिमित ऑटोमेटा के बराबर है।

ऊपर अनंत शब्दों, परिमित वृक्षों, अनंत वृक्षों को उठाया जा सकता है।

Answer 10

एक थोड़ा और अधिक जटिल उदाहरण: nonnegative मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन , जब nonnegative रैंक स्थिर होता है।

मैं तुम्हें एक मैट्रिक्स देना कहो वादा के साथ साथ वहाँ मौजूद है कि गैर नकारात्मक यू ∈ एम मीटर × कश्मीर , वी ∈ एम कश्मीर × n ऐसी है कि एक = यू वी । समस्या ए के लिए इस तरह के एक कारक का पता लगाना है ।$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

प्राथमिक रेखीय बीजगणित की कुछ पंक्तियों के साथ आप चर में बहुपद असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए समस्या को कम कर सकते हैं , जहां r उस मैट्रिक्स की nonggative रैंक है जिसे आप कारक बनाना चाहते हैं।$O(r^2)$$r$

रेनेगर के एल्गोरिदम को एक हथौड़ा के रूप में उपयोग करते हुए , आप इसे समय में हल कर सकते हैं और इसलिए यू और वी को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं । यह इष्टतमता से दूर नहीं है, क्योंकि यह समय ( m n ) o ( r ) में NMF को हल करने के लिए ETH- कठिन है ।$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

Answer 11

निर्णायक डिफी हेलमैन

इसमें कहा गया है: दिया जहां जी एक चक्रीय समूह के कुछ जनरेटर है जी , अगर यह सत्यापित छ ग = जी एक $(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

असतत लॉग समस्या की कठोरता की मानक मान्यताओं के तहत, यह समस्या कठिन भी लग सकती है।

हालांकि, बिलिनियर मैप्स के साथ यह समस्या आसान है और इसे ई ( जी , जी सी ) के रूप में सत्यापित किया जा सकता है ? = ई ( जी ए , जी बी )

$$e(g,g^c) \stackrel{?}{=} e(g^a,g^b)$$

$e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

इसके बारे में अधिक निर्णायक डिक्सील-हेलमैन समस्या , Boneh'98 या पेयरिंग पर एक Google खोज पर पढ़ा जा सकता है

Answer 12

(तुच्छ रूप से) एक परिमित खेल में एक नैश इक्विलिब्रियम का अस्तित्व, एक घन ग्राफ में हैमिल्टनियन पथों की एक समान संख्या, विभिन्न प्रकार के निश्चित बिंदु, आंशिक रूप से आंशिक आदेशों में संतुलित तुलनात्मकता, और कई अन्य पीपीपी समस्याओं।

Comments

नैश इक्विलिब्रियम का अस्तित्व - और अस्तित्व के कई अन्य प्रमाण जो पीपीएडी की विशेषता है - इन समस्याओं में से किसी को भी एल्गोरिदम को हल करने के लिए आसान नहीं लगते ...

— जोशुआ ग्रोचो

मैं इन समस्याओं के निर्णय संस्करण की बात कर रहा था।

— योनातन एन

Answer 13

$((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

अधिकतम-प्रवाह / मिनट-कट प्रमेय द्वारा, इससे अधिकतम प्रवाह को खोजने के लिए कम हो जाता है $s$$t$$(V, E)$$s$$t$

Comments

कोई कह सकता है कि प्रवाह आसान है यदि आप जानते हैं कि एलपी आसान है। इस प्रकार दो बड़े प्रमेय (एलपी पाली समय और अधिकतमप्रवाह-मिनक में) हमें न्यूनतम कटौती की गणना करने की अनुमति देते हैं।

— चंद्रा चकुरी

@ChandraChekuri, मेरी व्यक्तिगत भावना यह है कि यह सवाल बिल्कुल फिट नहीं है: प्रमेय जो एलपी बहुदेववाद में हल है वह वास्तव में मिन-कट के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण करने में हमारी मदद नहीं करता है। हमें वास्तविक एलपी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता है।

— अधिकतम

ज़रुरी नहीं। यदि आप किसी दिए गए ग्राफ़ में न्यूनतम कट-मूल्य को कुशलता से पा सकते हैं तो आप स्वयं वास्तविक कट खोजने के लिए इस तरह के एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं।

— चंद्रा चकुरी

Answer 14

यहां एक और उदाहरण दिया गया है: एक अप्रत्यक्ष सरल ग्राफ को देखते हुए, यह तय करें कि इसमें दो वर्टेक्स-डिसऑइंट सर्किट हैं या नहीं।

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

चूंकि यह जांचना आसान है कि क्या एक ग्राफ प्रमेय द्वारा अनुमत ग्राफ़ में से एक है, यह हमें निर्णय की समस्या के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म प्रदान करता है।

नोट्स: (1) प्रमेय का प्रमाण बिल्कुल आसान नहीं है। (२) एक बार जब हमने तय कर लिया कि दो डिसऑर्डर सर्किट मौजूद हैं, तो यह कम स्पष्ट लगता है कि संबंधित खोज समस्या को कैसे हल किया जाए , यानी वास्तव में ऐसे सर्किट को कैसे खोजें । प्रमेय उस को सीधी सलाह नहीं देता।

Answer 15

कम जटिल उदाहरण: कुछ प्रमेय-जैसे गुण हैं जो बताते हैं कि कुछ समस्याओं के लिए लालची एल्गोरिदम इष्टतम हैं। इसकी इतनी स्पष्ट नहीं है कि कम से कम फैले पेड़ को लालची एल्गोरिथ्म द्वारा पाया जा सकता है। कुछ वैसा ही वैचारिक रूप से एक ग्राफ़ में सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए डीजकस्ट्रा का एल्गोरिदम है। वास्तव में दोनों मामलों में जुड़े "प्रमेय" एल्गोरिदम के लगभग समान हैं।

Comments

मुझे लगता है कि यह एक बेहतर उत्तर होगा यदि उदाहरण के लिए आप एमएसटी की कट संपत्ति का विवरण शामिल करते हैं और उल्लेख करते हैं कि यह लालची एमएसटी एल्गोरिदम के एक पूरे वर्ग की शुद्धता का अर्थ है।

— साशो निकोलोव

एमएसटी कट संपत्ति विकिपीडिया पृष्ठ पर सूचीबद्ध है। हो सकता है कि आप अन्य सामान्यीकरणों को वहां कवर न कर सकें। btw याद करें कि प्रश्नकर्ता ने "थ्योरी क्षेत्र से बाहर के लोगों" की सेवा के लिए पूछे गए उदाहरण (दिए गए अन्य अच्छे उदाहरण बाहरी लोगों के लिए बहुत उन्नत हो सकते हैं)

— vzn

$T$$e$$T - e$$A$$B$$e$$E(A,B)$

Answer 16

फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम ज्ञात करें जो अन्य फाइबोनैचि संख्याओं का उत्पाद हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या 8 अनुक्रम में है क्योंकि 8 = 2 * 2 * 2, और 2 एक फाइबोनैचि संख्या है जो 8 के बराबर नहीं है। फिबोनाची संख्या 144 अनुक्रम में है क्योंकि 144 = 3 * 3 * 2 * 2 * 2 * 2, और 2 और 3 दोनों फाइबोनैचि संख्याएं हैं जो 144 के बराबर नहीं हैं।

कारमाइकल की प्रमेय का तात्पर्य है कि 8 और 144 इस क्रम की एकमात्र शर्तें हैं।