लघुगणकीय गहराई के साथ गुच्छेदार चौड़ाई के भाव

हम एक ग्राफ के एक पेड़ के अपघटन दिया जाता है जब चौड़ाई के साथ , वहाँ कई तरीके है जिसमें हम इसे "अच्छा" बना सकते हैं। विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि यह यह एक पेड़ अपघटन में बदलना संभव है जहां पेड़ द्विआधारी है और इसकी ऊंचाई है । यह अधिकतम पर अपघटन की चौड़ाई को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है । (उदाहरण के लिए "बंधे हुए ट्रेविद के लिए इष्टतम स्पीडअप के साथ समानांतर एल्गोरिदम", बोडलेंडर और हैगरअप द्वारा)। तो, लॉगरिदमिक गहराई एक पेड़ के अपघटन की एक संपत्ति है जिसे हम लगभग मुफ्त में प्राप्त कर सकते हैं। $G$ $w$ $O(\log n)$ $3w$

मेरा सवाल यह है कि अगर क्लिक्-चौड़ाई के लिए एक समान परिणाम मौजूद है, या शायद एक काउंटर-उदाहरण है। दूसरे शब्दों में, के लिए एक गुट-चौड़ाई अभिव्यक्ति दी का उपयोग कर लेबल, वहाँ करता है हमेशा ऊंचाई का एक गुट-चौड़ाई अभिव्यक्ति मौजूद के लिए , कि ज्यादा से ज्यादा उपयोग करता है लेबल? यहां, ऊंचाई को स्वाभाविक रूप से क्लिक-चौड़ाई की अभिव्यक्ति के पार्स पेड़ की ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया गया है। $G$ $k$ $O(\log n)$ $G$ $f(k)$

इसके बाद के संस्करण के लिए इसी तरह के एक बयान ज्ञात नहीं है, वहाँ एक का एक उदाहरण है -vertex ग्राफ छोटे गुट-चौड़ाई के साथ , ऐसी है कि निर्माण करने के लिए एक ही रास्ता के साथ लेबल बड़े के साथ एक अभिव्यक्ति का उपयोग करने के लिए है गहराई? $n$ $G$ $k$ $G$ $f(k)$

— माइकल लैम्पिस
स्रोत

treewidth / cliquewidth विकिपीडिया

— vzn

थोड़ी देर बाद मुझे साहित्य में उत्तर मिला, इसलिए मैं इसे यहाँ पोस्ट कर रहा हूँ अगर यह किसी और के लिए उपयोगी है।

वास्तव में क्लिक्स-चौड़ाई के भावों को फिर से संतुलित करना संभव है ताकि उनमें लघुगणकीय गहराई हो। परिणाम कोर्टसेल और कांते, डब्ल्यूजी '08 द्वारा "रैंक-चौड़ाई और संतुलित ग्राफ एक्सप्रेशंस को चिह्नित करते हुए" पेपर संचालन में दिया गया है। मैं कागज से प्रमेय 4.4 उद्धृत करता हूं:

$k$ $k \times 2^{k+1}$

यहाँ पकड़ यह है कि लेबल की संख्या संतुलन में तेजी से बढ़ती है। ऐसा लगता है कि वर्तमान में क्लिच-चौड़ाई के लिए कोई बेहतर परिणाम ज्ञात नहीं है। एक ही कागज रैंककॉन्च के लिए केवल एक निरंतर झटका-अप के साथ एक समान परिणाम देता है, लेकिन यह मदद नहीं करता है, क्योंकि क्लिक-चौड़ाई और रैंकवर्क के बीच का अंतर सबसे खराब स्थिति में घातीय हो सकता है।

— माइकल लैम्पिस
स्रोत

संतुलित क्लिक्स-चौड़ाई के भावों के साथ व्यवहार करने वाला पहला परिणाम कौरसल और वानीकट (डीएएम 131 (1): 129-150, 2003) है। WG'07 पेपर 2003 के पेपर में तकनीकों को सामान्य करता है और संतुलित भाव प्राप्त करने के लिए एक ग्राफ बीजगणित के लिए पर्याप्त शर्तें देता है। मेरा अनुमान यह था कि हम घातीय प्रहार से बच नहीं सकते हैं, लेकिन मैं इसे साबित करने या इसे बाधित करने की कोशिश कभी नहीं करता। कम से कम हमारी तकनीक घातीय प्रहार से बच नहीं सकती है।

— एम। कांटे