गणना में वास्तविक संख्या कैसे निर्दिष्ट की जाती है?

Question

यह एक मूल प्रश्न हो सकता है, लेकिन मैं नैश संतुलन गणना और रेखीय अध: पतन परीक्षण जैसे विषयों पर कागजात को पढ़ने और समझने की कोशिश कर रहा हूं और इस बात की अनिश्चितता है कि इनपुट के रूप में वास्तविक संख्या कैसे निर्दिष्ट की जाती है। उदाहरण के लिए, जब यह कहा जाता है कि एलडीटी में कुछ बहुपद कम सीमाएं होती हैं, तो वास्तविक संख्याओं को निर्दिष्ट कैसे किया जाता है जब उन्हें इनपुट माना जाता है?

Comments

आपको चर्चा यहाँ मिल सकती है: en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

— जोसेफ मल्केविच

किसी को इन पत्रों को एक साथ एक मुफ्त डाउन लोड करने योग्य ई-बुक में डालना चाहिए।

— दिलावर

Answer 1

कवी द्वारा आपके स्वीकृत उत्तर से मैं असहमत हूं। रैखिक प्रोग्रामिंग और नैश संतुलन के लिए, फ्लोटिंग पॉइंट स्वीकार्य हो सकता है। लेकिन फ्लोटिंग पॉइंट नंबर और कम्प्यूटेशनल ज्यामिति बहुत बुरी तरह से मिक्स होते हैं: राउंडऑफ एरर एल्गोरिदम की कॉम्बिनेटोरियल मान्यताओं को अमान्य कर देता है, जिससे अक्सर वे दुर्घटनाग्रस्त हो जाते हैं। अधिक विशेष रूप से, बहुत सारे कम्प्यूटेशनल ज्यामिति एल्गोरिदम आदिम परीक्षणों पर निर्भर करते हैं जो यह जांचते हैं कि क्या दिया गया मूल्य सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य है। यदि वह मान शून्य के बहुत करीब है और फ्लोटिंग पॉइंट राउंडऑफ का कारण गलत संकेत है, तो खराब चीजें हो सकती हैं।

इसके बजाय, इनपुट्स को अक्सर पूर्णांक निर्देशांक माना जाता है, और मध्यवर्ती परिणाम अक्सर सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं, या तो अतिप्रवाह से बचने के लिए पर्याप्त रूप से उच्च परिशुद्धता के साथ या बीजीय संख्या के रूप में तर्कसंगत संख्या। इन संख्याओं के लिए फ़्लोटिंग पॉइंट सन्निकटन का उपयोग गणनाओं को गति देने के लिए किया जा सकता है, लेकिन केवल उन स्थितियों में जहाँ संख्याओं को शून्य से बहुत दूर होने की गारंटी दी जा सकती है कि साइन परीक्षण सही उत्तर देंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में अधिकांश सैद्धांतिक एल्गोरिदम पेपरों में, यह मानकर कि इस मुद्दे को दरकिनार कर दिया जाता है कि इनपुट सटीक वास्तविक संख्याएं हैं और यह कि प्राइमेटिव इनपुट मानों में कम-डिग्री बहुपद की जड़ों के संकेतों के सटीक परीक्षण हैं। लेकिन अगर आप ज्यामितीय एल्गोरिदम को लागू कर रहे हैं तो यह सब बहुत महत्वपूर्ण हो जाता है।

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मुझे केव के उत्तर का एक हिस्सा पसंद आया, जहां उन्होंने सुझाव दिया कि गणना के वैकल्पिक मॉडल हैं, क्योंकि ऐसा लगता है कि मैंने जो पेपर देखा था, उसके अनुरूप था। उस ने कहा, मैं वास्तव में जवाब नहीं जानता था ... मैंने केव के जवाब को अभी के लिए स्वीकार कर लिया है। मुझे वास्तव में संदेह था कि बीजीय संख्याओं का इसके साथ कुछ करना हो सकता है। वैसे भी, अपने प्रश्न पर वज़न करने के लिए समय निकालने के लिए धन्यवाद ... जवाब देने से पहले मैं सोचूंगा और पढ़ूंगा।

— फिलिप व्हाइट

मैंने यह नहीं कहा है कि यह सीजी के लिए एक अच्छा मॉडल है, मेरी बात यह थी कि जब लेखक कहते हैं कि इनपुट वास्तविक संख्या हैं, तो वे वास्तव में वास्तविक संख्या नहीं हैं । मैं आपसे सहमत हूं कि मुझे दूसरों के बीच सीजी को शामिल नहीं करना चाहिए था। मैंने बहुत कम संख्या में CG पेपर पढ़े हैं, BSS मॉडल है जो सैद्धांतिक CG पेपरों में अच्छी तरह से स्थापित है?

— केवह

मेरी अज्ञानता को क्षमा करें, लेकिन बीएसएस किस लिए खड़ा है?

— फिलिप व्हाइट

बीएसएस मॉडल एक सैद्धांतिक मॉडल है जो मानता है कि मनमाने वास्तविक नंबर उपलब्ध हैं। सीजी में क्या किया जाता है इसमें एक मॉडल का वास्तविक कार्यान्वयन शामिल होता है जो आमतौर पर बीजीय संख्याओं के लिए प्रतिबंधित होता है। इसके अलावा, CG क्रियान्वयन प्रति ऑपरेशन इकाई लागत से बहुत दूर हैं। तो वे एक ही बात नहीं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए देखें LEDA वास्तविक संख्या मॉडल, citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…

— डेविड

$S$$T$$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

Answer 2

तुम भी आधुनिक सटीक रियल अंकगणित में इंटरवल डोमेन की भूमिका पर लेडी बाउर की बात पर एक नज़र डाल सकते हैं , जो सिद्धांत और व्यवहार दोनों में वास्तविक संख्याओं पर गणना की निर्दिष्ट करने के लिए कुछ अलग दृष्टिकोणों का सर्वेक्षण करता है।

Answer 3

यह आपके प्रश्न का सीधा जवाब नहीं है, राफेल की प्रतिक्रिया का अधिक है । हाल ही में कुछ काम किए गए हैं जो हाल ही में coinduction का उपयोग करके वास्तविक संख्या गणनाओं को निर्दिष्ट कर रहे हैं। यहाँ इस विषय पर कुछ लेख दिए गए हैं।

• सटीक वास्तविक संख्या संगणना , उलरिच बर्जर और टाई हो के लिए सहूलियत : कम्प्यूटिंग सिस्टम का सिद्धांत वॉल्यूम 43, संख्या 3-4, 394-409, DOI: 10.1007 / s00224-007-9017-6

• एक्सक्लूसिव रियल अरिथमेटिक , मिलाद निक्की, कंप्यूटर साइंस में लॉजिकल मेथड्स, 4 (3: 6): 1-40, 2008 में कोइंडिक्टिव फॉर्मल रीजनिंग ।

• Dusko Pavlovic और मार्टिन Escardo, LICS 1998 द्वारा Coinductive फॉर्म में पथरी ।

वे शायद ही वास्तविक संख्या गणना के पूर्ण स्पेक्ट्रम को कवर करते हैं, लेकिन विभिन्न समस्याओं को दूर करने के लिए प्रगति की जा रही है।

Comments

$\mathbb{R}$

अच्छी बात। मुझे यकीन नहीं है कि सह-दृष्टिकोण की सीमाएं क्या हैं। दृष्टिकोण अपनी प्रारंभिक अवस्था में है।

— डेव क्लार्क

Answer 4

वास्तविक संख्याओं पर संगणना की संगणकीय जटिलता को ब्लम, कुकर, शुब और स्मेल द्वारा माना जाता है । यहाँ पुस्तक का आंशिक विवरण दिया गया है:

संगणना के शास्त्रीय सिद्धांत की उत्पत्ति गोएडेल, ट्यूरिंग, चर्च और क्लेन के काम में हुई है और यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए एक असाधारण सफल रूपरेखा रही है। हालाँकि, इस पुस्तक की थीसिस यह है कि यह आधुनिक वैज्ञानिक गणना के लिए एक अपर्याप्त आधार प्रदान करती है जहां अधिकांश एल्गोरिदम वास्तविक संख्या एल्गोरिदम हैं। इस पुस्तक का लक्ष्य संगणना का एक औपचारिक सिद्धांत विकसित करना है जो शास्त्रीय सिद्धांत के प्रमुख विषयों को एकीकृत करता है और जो गणित, संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में समस्याओं पर सीधे लागू होता है। जिस तरह से, लेखक इस तरह की मूलभूत समस्याओं पर विचार करते हैं: क्या मैंडलब्रॉट सेट निर्णायक है? साधारण द्विघात मानचित्रों के लिए, जूलिया एक पड़ाव सेट है? न्यूटन की वास्तविक जटिलता क्या है ' की विधि? वहाँ ploynomial चरणों की संख्या में knapsack समस्या तय करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है? क्या हिल्बर्ट नुल्ल्स्टेलेन्त्ज़ अचूक है? क्या एक डिग्री चार बहुपद के एक वास्तविक शून्य को खोजने की समस्या अचूक है? क्या रेखीय प्रोग्रामिंग वास्तविक से अधिक ट्रैक्टेबल है?

आपको ACM SIGACT न्यूज़ पर इस पुस्तक की समीक्षा मिल सकती है ।

Comments

यह पुस्तक बहुत ही रोचक लग रही है, धन्यवाद।

— फिलिप व्हाइट

आपका स्वागत है।

— एमएस डौस्ती

यह ध्यान देने योग्य है कि वास्तविक पर संगणना का बीएसएस मॉडल विवादास्पद है, डेविड इप्पस्टीन ने ऊपर की टिप्पणी में जो उल्लेख किया है, उसके लिए बहुत अधिक कारण हैं। उदाहरण के लिए: बीएसएस स्वयंसिद्ध है कि एक्स <वाई के मनमाने ढंग से एक्स और वाई के लिए एक बार कदम उठाते हैं या नहीं, कंप्यूटिंग । इसके विपरीत, टाइप टू इफ़ेक्टिविटी (टीटीई) जैसे दृष्टिकोण उन मशीनों को परिभाषित करते हैं, जो वास्तविक के लिए इनपुट सन्निकटन के रूप में लेते हैं, और वास्तविक से अधिक कार्यों के लिए कम्प्यूटेशनल सन्निकटन का उत्पादन करते हैं। जितना अधिक समय बीतता है, बेहतर इनपुट और आउटपुट सन्निकटन बन सकते हैं। वह दृष्टिकोण मुझे अधिक यथार्थवादी लगता है।

— हारून स्टर्लिंग

@ एरॉन स्टर्लिंग: क्या आप टाइप टू इफ़ेक्टिविटी के लिए एक अच्छे संदर्भ के बारे में जानते हैं?

— जोशुआ ग्रोको

@ जोशुआ ग्रूचो: क्षमा करें, मुझे यह जल्द नहीं मिला। केव से जुड़ी किताब टीटीई की "नीलसन और चुआंग" है। हालाँकि, यह इतना नोटेशन-लादेन है कि यह एक आकस्मिक पाठक को रहस्यमय लगता है। मैं, इसके बजाय, वास्को ब्रात्का के निम्नलिखित ट्यूटोरियल स्लाइड्स का सुझाव दूंगा: cca-net.de/vasco/cca/tutorial.pdf

— हारून स्टर्लिंग

Answer 5

टिप्पणियों के आधार पर संपादित / ठीक किया गया

जब लेखक लीनियर प्रोग्रामिंग में वास्तविक संख्या इनपुट्स के बारे में बात करते हैं, तो नैश संतुलन गणना ... अधिकांश कागजात (कागजात जो वास्तविक संख्याओं पर गणना / जटिलता के विषय पर नहीं होते हैं) का मतलब वास्तव में वास्तविक संख्याओं से नहीं है। वे तर्कसंगत संख्याएं और संख्याएं हैं जो उनके जोड़तोड़ (बीजगणितीय संख्याओं) के कारण उनसे उत्पन्न होती हैं। तो आप उन पर विचार कर सकते हैं जैसा कि परिमित तारों द्वारा दर्शाया गया है।

दूसरी ओर, यदि कागज विश्लेषण में कम्प्यूटेबिलिटी और जटिलता पर है , तो वे गणना के सामान्य मॉडल का उपयोग नहीं कर रहे हैं, और वास्तविक संख्याओं पर गणना / जटिलता के विभिन्न असंगत मॉडल हैं।

यदि पेपर वास्तविक संख्याओं पर गणना का एक मॉडल निर्दिष्ट नहीं करता है, तो आप सुरक्षित रूप से मान सकते हैं कि यह पहला मामला है, अर्थात वे केवल तर्कसंगत संख्याएं हैं।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति अलग है। सीजी के अधिकांश पत्रों में, यदि लेखक यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि वह कौन सा मॉडल है जिसके संबंध में एक एल्गोरिथ्म की शुद्धता और जटिलता पर चर्चा की जा रही है, तो इसे बीएसएस (उर्फ रियल-रैम) मॉडल माना जा सकता है।

मॉडल यथार्थवादी नहीं है और इसलिए कार्यान्वयन सीधे-आगे नहीं है। (यह एक कारण है कि CCA में कुछ लोग Ko-Friedman / TTE / डोमेन थ्योरिटिक मॉडल पसंद करते हैं, लेकिन इन मॉडलों के साथ समस्या यह है कि वे अभ्यास में फ्लोटिंग-पॉइंट कम्प्यूटेशन के रूप में तेज़ नहीं हैं।) शुद्धता और जटिलता। बीएसएस मॉडल में एल्गोरिथ्म आवश्यक रूप से कार्यान्वित एल्गोरिथ्म की शुद्धता के लिए स्थानांतरण नहीं करता है।

वेहरुच की पुस्तक में विभिन्न मॉडलों (धारा 9.8) के बीच तुलना शामिल है। यह केवल तीन पृष्ठ और पढ़ने लायक है।

(तीसरा तरीका भी है, जो CG के लिए अधिक उपयुक्त हो सकता है, आप इस पेपर पर एक नज़र डालना चाहते हैं:

चे येप, " ईजीसी के अनुसार वास्तविक गणना का सिद्धांत "

जहाँ EGC सटीक ज्यामितीय अभिकलन है ।)

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मुझे लगता है कि जिस पेपर में मुझे मुख्य रूप से दिलचस्पी है वह एक मॉडल को निर्दिष्ट करता है, यह देखते हुए कि इसमें वाक्य शामिल है, "अब हम औपचारिक रूप से अपने संकलन के मॉडल को परिभाषित करते हैं।" पेपर को "लोअर बाउंड्स फॉर सैटिसिबिलिटी प्रॉब्लम्स" कहा जाता है, और रैखिक निर्णय पेड़ों और क्वेरी बहुपदों की कुछ चर्चा लगती है। तो, मुझे लगता है कि वह जवाब है जो मैं वहां ढूंढ रहा था ... धन्यवाद। मैं कागज को फिर से पढ़ूंगा और देखूंगा कि क्या मैं इसे समझ सकता हूं।

— फिलिप व्हाइट

मैं असहमत हूं। यह कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के लिए गलत मॉडल है। नीचे मेरा अधिक विस्तृत जवाब देखें।

— डेविड एप्पस्टीन

@Kaveh: मुझे लगता है कि आपको कहना चाहिए कि वे तर्कसंगत संख्याएँ हैं, फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर नहीं। सटीक परिमेय संख्याओं को परिमित तारों द्वारा प्रस्तुत करना आसान है, और कई अनुप्रयोगों में (जैसे, रैखिक प्रोग्रामिंग से संबंधित) मध्यवर्ती परिणाम भी तर्कसंगत संख्याएं होंगे यदि आपके इनपुट तर्कसंगत संख्याएं हैं। (बेशक, जैसा कि डेविड एप्पस्टीन ने बताया था, कॉम्प

— जीओएम

@ जुक्का: आप सही हैं, मैं फ़्लोटिंग-पॉइंट को तर्कसंगत के साथ बदल दूंगा।

— केवह

नहीं। जब मैं "वास्तविक संख्या" लिखता हूं, तो मेरा वास्तव में अर्थ "वास्तविक संख्या" होता है, और इससे मेरा मतलब वास्तव में वास्तविक संख्या से है, वास्तव में वास्तविक से। वास्तव में। विशेष रूप से, पेपर @Philip के बारे में बात करता है, मुझे मनमाने ढंग से वास्तविक इनपुट के लिए एल्गोरिदम के कामों को समझना होगा , ताकि मैं गैर-मानक विश्लेषण से परिणाम लागू कर सकूं ।

— जेफ

Answer 6

वे नहीं हैं और वे सामान्य रूप से नहीं कर सकते हैं। हम गणना के हमारे मॉडल के साथ केवल एक गणना योग्य संख्या में इनपुट (और आउटपुट और फ़ंक्शन) का इलाज कर सकते हैं। विशेष रूप से, किसी भी इनपुट को परिमित होना चाहिए लेकिन सभी वास्तविक संख्याओं में परिमित प्रतिनिधित्व नहीं है।

आप अनुमान लगा सकते हैं कि कुछ प्रकार के ओरेकल हैं जो अनुरोध पर एक निश्चित वास्तविक संख्या के अगले अंक (धारा की तरह sth) प्राप्त करते हैं। अन्यथा आपको (मनमाने ढंग से सटीक) सन्निकटन के साथ रहना होगा।

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अगर यह सच है तो एलडीटी वास्तविक संख्या से कैसे निपट सकता है? मैंने "r-Linear Decision Trees" के बारे में कुछ पढ़ा, लेकिन वास्तव में समझ में नहीं आया कि वे पेपर के बारे में क्या बात कर रहे थे, "रैखिक सात्त्विकता की समस्याओं के लिए कम सीमाएं।"

— फिलिप व्हाइट

मुझे यकीन है कि वे या तो ट्यूरिंग मशीनों (या समकक्ष शंख) का उपयोग नहीं कर सकते हैं। अन्य उत्तर जो मेरे जैसे सख्त / सामान्य नहीं हैं, उन्हें इस पर कुछ प्रकाश डालना चाहिए।

— राफेल