TCS के बाहर जटिलता सिद्धांत के गणितीय निहितार्थ

Question

क्या आप (मानक) गणित के अन्य क्षेत्रों (यानी सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के बाहर) में जटिलता सिद्धांत के दिलचस्प परिणामों को जानते हैं?

मैं जवाब देना पसंद करूंगा:

• जटिलता सिद्धांत अनुमान जितना संभव हो उतना सामान्य और मानक है; मैं विशिष्ट समस्याओं की कठोरता के परिणामों के साथ ठीक हूं, लेकिन यह अच्छा होगा यदि समस्याओं को व्यापक रूप से कठिन माना जाता है (या कम से कम एक-दो पेपरों से अधिक अध्ययन किया गया है)

• निहितार्थ एक ऐसा कथन है जिसे बिना शर्त के सही नहीं जाना जाता है, या अन्य ज्ञात प्रमाण काफी कठिन हैं

• और अधिक आश्चर्यजनक कनेक्शन बेहतर; विशेष रूप से, निहितार्थ एल्गोरिदम के बारे में स्पष्ट रूप से एक बयान नहीं होना चाहिए

"अगर सूअर उड़ सकते थे, तो घोड़े गाते थे" प्रकार के कनेक्शन ठीक हैं, भी, जब तक कि उड़ान सूअरों को जटिलता सिद्धांत से आता है, और कंप्यूटर विज्ञान के बाहर गणित के कुछ क्षेत्र से गायन के घोड़े।

यह प्रश्न कुछ अर्थों में है "एक सवाल का" हम " कंप्यूटर विज्ञान में गणित के आश्चर्यजनक उपयोग के बारे में था। डिक लिपटन के पास इन पंक्तियों के साथ एक ब्लॉग पोस्ट था : वह अनुमान के परिणामों के बारे में लिखते हैं कि फैक्टरिंग में बड़ी सर्किट जटिलता होती है। परिणाम यह है कि कुछ डायोफैंटाइन समीकरणों का कोई समाधान नहीं है, एक प्रकार का बयान जो बिना शर्त साबित करने के लिए बहुत कठिन है। पोस्ट डैन बोन के साथ काम पर आधारित है, लेकिन मैं एक पेपर नहीं ढूँढ सकता।

EDIT: जैसा कि जोश ग्रूचो ने टिप्पणी में लिखा है, टीसीएस से लेकर शास्त्रीय गणित तक के उनके सवालों का गहरा संबंध है। मेरा प्रश्न यह है कि एक ओर, अधिक अनुमति योग्य है, क्योंकि मैं "शास्त्रीय गणित" प्रतिबंध पर जोर नहीं देता हूं। मुझे लगता है कि अधिक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि मैं टीसीएस के बाहर गणित के क्षेत्र में एक बयान के लिए एक जटिलता अनुमान से एक सिद्ध निहितार्थ पर जोर देता हूं। जोश के सवाल के अधिकांश उत्तर इस प्रकार के नहीं हैं, बल्कि शास्त्रीय गणित में उपयोगी तकनीकों और अवधारणाओं को देते हैं जो टीसीएस द्वारा विकसित या प्रेरित थे। फिर भी, जोश के प्रश्न का कम से कम एक उत्तर मेरे प्रश्न का एक सही उत्तर है: माइकल फ्रीडमैन का पेपरजो मेरे जैसे ही एक प्रश्न से प्रेरित है, और गाँठ सिद्धांत में एक प्रमेय साबित करता है, । उन्होंने तर्क दिया कि प्रमेय गाँठ सिद्धांत में वर्तमान तकनीकों की पहुंच से बाहर लगता है। टोडा के प्रमेय के अनुसार, यदि तो बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है, इसलिए यह धारणा काफी प्रशंसनीय है। मुझे अन्य समान परिणामों में दिलचस्पी है।पी # पी = एन $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Comments

संबंधित: निहितार्थ, गणित के लिए नहीं, बल्कि "भौतिक वास्तविकता" के लिए

— ऑस्टिन बुकानन

क्या यह cstheory.stackexchange.com/questions/149/… जैसा ही है ? या यह प्रश्न उस एक से अधिक व्यापक होना चाहिए?

— जोशुआ ग्रोचो

@ जोशुआ, कुछ ओवरलैप है, लेकिन मुझे लगता है कि वे अतुलनीय हैं। एक तरफ मैं "शास्त्रीय" गणित पर जोर नहीं देता, अर्थात क्वांटम यांत्रिकी में गैर-जटिलता परिणाम ठीक हैं। दूसरी ओर, मैं TCS के बाहर गणित के प्रमेयों के लिए सीसी अनुमानों से सीधे निहितार्थ चाहूंगा, जबकि आपके प्रश्न के बहुत सारे उत्तर टीसीएस में विकसित तकनीकों के बारे में हैं जो शास्त्रीय गणित में हमारे उपयोगी बन गए हैं। फिर भी, cstheory.stackexchange.com/a/163/4896 मेरे सवाल का एक सही जवाब है। बहुत ज्यादा ओवरलैप?

— साशो निकोलेव

मुझे शायद जोश के सवाल पर अपना जवाब यहाँ पोस्ट करना चाहिए: बर्गिसर के -कॉन्जेचर का अर्थ है अण्डाकार वक्रों पर परिणाम$L$ ।

— ब्रूनो

@ साशो: मुझे लगता है कि यह ठीक है। स्पष्टीकरण देने के लिए धन्यवाद। (BTW, जब मैंने अपने अन्य प्रश्न पर "शास्त्रीय" कहा तो मेरा मतलब क्वांटम यांत्रिकी को छोड़कर नहीं था - वास्तव में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम बीजगणित दोनों ही आजकल प्रमुख गणितीय विषय हैं, बड़ी संख्या में (यहां तक ​​कि शीर्ष) गणित विभागों में अध्ययन किया गया है ।)

— जोशुआ ग्रोको

Answer 1

यहाँ ग्राफ सिद्धांत से एक और उदाहरण दिया गया है। ग्राफ नाबालिग प्रमेय हमें बताता है कि, नाबालिगों के तहत बंद किए गए अप्रत्यक्ष रेखांकन के हर वर्ग के लिए, एक परिमित अवरोध सेट जैसे कि एक ग्राफ यदि और केवल अगर इसमें एक ग्राफ में नाबालिग के रूप में नहीं है। हालाँकि, ग्राफ़ माइनर प्रमेय स्वाभाविक रूप से गैर-अवरोधक है और हमें इस बारे में कुछ भी नहीं बताता है कि ये अवरोध सेट कितने बड़े हैं, यानी, यह एक विशेष पसंद के लिए कितने ग्राफ हैं, जिसमें ।ओ बी एस ( जी ) जी ओ बी एस ( जी ) $\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

में बहुत अधिक माइनर आदेश अवरोधों , माइकल जे Dinneen पता चला कि एक प्रशंसनीय जटिलता-सैद्धांतिक अनुमान के तहत, इस तरह के बाधा सेट के कई के आकार बड़ा होना दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सबसे पर जीनस के ग्राफ के पैरामीटर वर्ग पर विचार करें । जैसे ही बढ़ता है, हम अधिक से अधिक जटिल बनने के लिए बाधा सेट उम्मीद कर सकते हैं , लेकिन कितना? दिननेन ने दिखाया कि यदि बहुपद पदानुक्रम अपने तीसरे स्तर तक नहीं गिरता है, तो बहुपद जैसे कि में अवरोधों की संख्या से है कश्मीरकश्मीर हे ख रों ( जी कश्मीर )पी ओ बी एस ( जी कश्मीर )पी(कश्मीर) हे ख रों ( जी 0 )={ कश्मीर 5 , कश्मीर 3 , 3 } जी कश्मीर कश्मीरजी∈ जी$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$। चूंकि जीनस ज़ीरो (यानी प्लानर) होने के लिए मामूली अवरोधों की संख्या सिर्फ दो है ( ), यह सुपरपोलीनोमियल ग्रोथ तुरंत स्पष्ट नहीं है (हालांकि मेरा मानना ​​है कि यह बिना शर्त साबित हो सकता है)। दीननेन के परिणाम के बारे में अच्छी बात यह है कि यह मामूली आदर्शों के किसी भी सेट के अनुरूप रुकावट सेट के आकारों पर लागू होता है, जिसके लिए सबसे छोटी को तय करना जिसके लिए , NP- है मुश्किल; इस तरह के सभी छोटे आकार के छोटे आदर्शों में बाधा सेट का आकार सुपरपोलीनोमियल रूप से बढ़ना चाहिए। $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

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धन्यवाद बार्ट! यह बहुत दिलचस्प है। मैं आपके उत्तर को सबसे उच्च उत्थान के रूप में स्वीकार कर रहा हूं। जवाब के लिए सभी को धन्यवाद!

— साशो निकोलेव

Answer 2

यहां एक उदाहरण है: अरोड़ा, बराक और जीई द्वारा वित्तीय उत्पादों में कम्प्यूटेशनल जटिलता और सूचनात्मक विषमता से पता चलता है कि यह सही ढंग से मूल्य व्युत्पन्न करने के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से इंट्रेक्टेबल (यानी एनपी-हार्ड) हो सकता है - वे एक एम्बेडेड हार्ड समस्या के रूप में घने उप-आधार का उपयोग करते हैं।

इसी तर्ज पर और बहुत पहले बर्थोल्डी, टोवी, और ट्रिक द्वारा एक चुनाव में हेरफेर करने की कठोरता पर प्रसिद्ध पेपर है ।

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सुरेश, कुछ हद तक ये अभी भी जटिलता परिणाम (सामाजिक निहितार्थ के साथ) हैं। मेरे मन में परिणाम थे जो एल्गोरिदम के बारे में नहीं हैं। फिर भी, दोनों महान हैं!

— साशो निकोलेव

मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं था कि आप tbh की तलाश में हैं। मैं अनुमान लगा रहा हूं कि आप "क्लोज टाइमलाइक कर्व्स क्वांटम एंड क्लासिकल" के उच्चारण जैसा कुछ चाहते हैं?

— सुरेश वेंकट

वास्तव में CTC परिणाम एक आदर्श उदाहरण है। मेरा तात्पर्य केवल आक्षेप से नहीं है, बल्कि गर्भनिरोधक में भी इस कथन से है: यदि क्वांटम और शास्त्रीय का पतन नहीं होता है, तो (बहुपद) सीटीसी मौजूद नहीं है।

— साशो निकोलेव

तो आप कह रहे हैं कि मुझे एक नया उत्तर देना चाहिए :)?

— सुरेश वेंकट

मुझे लगता है कि मैं कह रहा हूं :)

— साशो निकोलेव

Answer 3

जैसा कि साशो द्वारा सुझाया गया है, मेरे प्रश्न का उत्तर " शास्त्रीय गणित के लिए टीसीएस के अनुप्रयोग? "

एलिप्टिक कर्व्स पर अपने पेपर स्ट्रेट लाइन प्रोग्राम्स और टॉर्सन पॉइंट्स में, क्यूई चेंग बर्गिसरर्स कॉन्जेक्चर (शुब और स्मेल के τ -कॉन्ज्यूरे का एक संस्करण ) से संबंधित है, जो आइलिमिक वक्र के क्षेत्र में टॉरियन प्रमेय और मैसर्स थियोरम से संबंधित है।$L$$\tau$

बहुत मोटे तौर पर, यदि -conjecture सही है (या इसका एक कमजोर संस्करण), तो कोई इन दोनों प्रमेयों को "आसानी से" घटा सकता है। उनके मूल प्रमाण बहुत कठिन हैं।$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

Answer 4

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

यह पहले से उल्लेखित माइक फ्रीडमैन के कागज की भावना में बहुत अधिक है।

Answer 5

ऐसा प्रतीत होता है कि कई TCS जटिलता वर्ग अलगाव के सवालों के गणित में प्रमुख निहितार्थ हैं। P =? NP प्रश्न विशेष रूप से कई क्षेत्रों में बहुत गहरे संबंध हैं और इसमें गणित भी शामिल है। इस क्षेत्र में कुछ उल्लेखनीय मामले:

• 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में बनाई गई हिल्बर्ट्स नुल्स्टेलेंसटैज समस्या को दिखाया गया है कि एचआईएलटी के NULLSTELLENSZZ और AN NPGERARAIC VERSION ऑफ "NP ̸ = P?" के Shub / Smale द्वारा IN PACT NPIL की तरह P बनाम NP जटिलता से संबंधित ट्रैक्टिबिलिटी है । यह अध्ययन का एक निरंतर क्षेत्र है जैसे कि कंप्यूटर बीजगणित, संयोजन और जटिलता में: हिल्बर्ट्स नुल्लस्टेलेन्त्ज़ और एनपी-कम्प्लीट प्रॉब्लम्स द्वारा मार्गुलिस ।

• फगिन्स प्रमेय (विकिपीडिया):

  फागिन की प्रमेय वर्णनात्मक जटिलता सिद्धांत का एक परिणाम है जो बताता है कि अस्तित्वगत द्वितीय-क्रम तर्क में व्यक्त सभी गुणों का समूह वास्तव में जटिलता वर्ग एनपी है। यह उल्लेखनीय है क्योंकि यह कक्षा एनपी का एक लक्षण वर्णन है जो ट्यूरिंग मशीन जैसे कम्प्यूटेशन के एक मॉडल का आह्वान नहीं करता है।

  पी = एनपी के प्रमुख / आश्चर्यजनक निहितार्थ का मतलब यह होगा कि सभी दूसरे क्रम के तर्क के सिद्धांतों को कुशलता से गणना की जा सकती है।

• एक और मामला यह है कि विभिन्न एनपी पूर्ण समस्याएं हैं जो केवल गणितीय संदर्भों में बताई गई हैं (उदाहरण के लिए टीसीएस अवधारणाओं जैसे टीएम, नॉनडेटर्मिनिज़म आदि का कोई संदर्भ नहीं)। यह सूची बहुत बड़ी हो सकती है यदि ग्राफ सिद्धांत को (यथोचित रूप से) गणितीय माना जाता है। हालांकि "गणितीय" की संकीर्ण व्याख्या भी मामलों को जन्म देती है, उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत में।

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • क्या एनपी-पूर्ण होने वाले नैचुरल पर एक प्राकृतिक समस्या है? tcs.se
  • संख्या सिद्धांत और एनपी पूरा गणित

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आपने प्रश्न को नहीं समझा: आपके द्वारा उल्लिखित सभी परिणाम जटिलता के बारे में हैं। मैं जटिलता सिद्धांत में आ बयान के गैर-जटिलता परिणाम चाहता हूं

— साशो निकोलेव