एक प्रकार की प्रणाली के बिना लैम्ब्डा कैलकुलस को मजबूत सामान्य बनाने के लिए कैसे?

Question

क्या लैम्ब्डा कैलकुलस के समान कोई प्रणाली है जो मजबूत सामान्यीकरण है, इसके शीर्ष पर एक प्रकार की प्रणाली को जोड़ने की आवश्यकता के बिना?

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सवाल थोड़ा सा है: आप "समान" से क्या मतलब है? क्या परिमित राज्य ऑटोमेटा समान हैं? $\lambda$-कैलकुलस संगणना का एक सार्वभौमिक मॉडल है, इसलिए ऐसा कुछ भी जो 'समान' है, संभवत: अभिकलन के गैर-समाप्तिकारी रूपों को प्रस्तुत करेगा।

— मार्टिन बर्गर

Answer 1

मैं रैखिक तर्क से आने वाले कुछ संभावित उत्तरों के बारे में सोच सकता हूं।

सबसे सरल एक है लैम्ब्डा-कैलकुलस: केवल लैम्ब्डा-शब्दों पर विचार करें, जिसमें प्रत्येक चर सबसे अधिक बार दिखाई देता है। इस स्थिति को कम करके संरक्षित किया जाता है और यह देखना तत्काल है कि प्रत्येक कमी कदम के साथ चक्कर की शर्तों का आकार सख्ती से घट जाता है। इसलिए, लावारिस चक्करदार लैम्ब्डा-पथरी दृढ़ता से सामान्य कर रहा है।

अधिक दिलचस्प उदाहरण (अभिव्यक्तता के संदर्भ में) तथाकथित "प्रकाश" लंबो-गणना द्वारा दिए गए हैं, गिरार्ड द्वारा "लीनियर लीनियर लॉजिक" (सूचना और गणना 143, 1998, साथ ही) में पेश किए गए रैखिक तर्क के उपप्रणालियों से उत्पन्न हुए हैं। लाफोंट के "सॉफ्ट लीनियर लॉजिक" (सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 318, 2004) के रूप में। साहित्य में कई ऐसी गणनाएं हैं, शायद एक अच्छा संदर्भ है तेरुई का "लाइट एफाइन लैम्ब्डा कैलकुलस और बहुपद समय मजबूत सामान्यीकरण" (गणित तर्क 46 के लिए पुरालेख, 46)। उस पत्र में, तेरुई हल्के चक्कर तर्क से प्राप्त एक लैम्ब्डा-पथरी को परिभाषित करता है और इसके लिए एक मजबूत सामान्यीकरण परिणाम साबित होता है। भले ही कागज में प्रकारों का उल्लेख किया गया है, लेकिन वे सामान्यीकरण प्रमाण में उपयोग नहीं किए जाते हैं। वे हल्के चक्करदार लैम्ब्डा-कैलकुलस की मुख्य संपत्ति के एक साफ-सुथरे निरूपण के लिए उपयोगी हैं, अर्थात् एक निश्चित प्रकार की शर्तें पॉलिटाइम कार्यों का प्रतिनिधित्व करती हैं। इसी तरह के परिणाम प्राथमिक गणना के लिए जाने जाते हैं, अन्य "प्रकाश" लैम्ब्डा-कैल्सी (टेरुई के पेपर में आगे के संदर्भ शामिल हैं) का उपयोग किया जाता है।

एक साइड नोट के रूप में, यह देखना दिलचस्प है कि, प्रमाण-सिद्धांत संबंधी शब्दों में, एफाइन लैम्ब्डा-कैलकुलस संकुचन नियम के बिना अंतर्ज्ञानवादी तर्क से मेल खाता है। ग्रिशिन ने देखा (रैखिक तर्क के सामने आने से पहले) कि, संकुचन की अनुपस्थिति में, भोले सेट सिद्धांत (यानी, अप्रतिबंधित समझ के साथ) सुसंगत है (यानी, रसेल का विरोधाभास एक विरोधाभास नहीं देता है)। कारण यह है कि संकुचन के बिना भोले सेट-सिद्धांत के लिए कट-उन्मूलन एक सीधा आकार-घटते तर्क (जैसा कि मैंने ऊपर दिया था) द्वारा साबित किया जा सकता है जो सूत्रों की जटिलता पर निर्भर नहीं करता है। करी-हावर्ड पत्राचार के माध्यम से, यह वास्तव में अप्राप्य affine lambda-पथरी का सामान्यीकरण है। यह रसेल के विरोधाभास को लीनियर लॉजिक में और "ट्वीकिंग" द्वारा अनुवादित है। घातीय तौर-तरीके ताकि कोई अंतर्विरोध उत्पन्न न हो सके कि गिरार्ड हल्के रैखिक तर्क के साथ आए। जैसा कि मैंने ऊपर उल्लेख किया है, कम्प्यूटेशनल शब्दों में प्रकाश रैखिक तर्क बहुपद-समय कम्प्यूटेशनल कार्यों का एक लक्षण वर्णन देता है। प्रूफ-थ्योरिटिक शब्दों में, एक सुसंगत भोले सेट सिद्धांत को प्रकाश रेखीय तर्क में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि कुल कुल कार्य वास्तव में बहुपद-काल गणना योग्य कार्य हैं (इस पर तेरुई द्वारा एक और पेपर है, "लाइट एफिने सेट सिद्धांत: एक भोला बहुपद समय का सिद्धांत निर्धारित करें ", स्टडिया लोगिका 77, 2004)।

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मैं कहूंगा कि टेरुई का लाइट अफेन लैंबडा कैलकुलस टाइप किया गया है, इसमें एफाइन वैरिएबल यूजेज, लेट-ऑपरेटर्स को स्तरीकृत किया जा रहा है और इन-मोनोपेरलिटी का प्रतिबंध है। यह सिर्फ इतना है कि इन प्रतिबंधों को अनौपचारिक रूप से पेश किया जाता है। गिरार्ड का LLL भी टाइप किया हुआ है।

— मार्टिन बर्गर

@ मर्टिन: मैं असहमत हूं। प्रकाश व्यवस्था की शर्तों पर लगाए गए संरचनात्मक अवरोध एक टाइपिंग प्रणाली की तुलना में एक अलग प्रकृति के हैं। सबसे बड़ा अंतर यह है कि टाइपिंग अनिवार्य रूप से आगमनात्मक है, जबकि अच्छी तरह से गठन (यानी, स्तरीकरण, affine उपयोग, आदि) एक शब्द की एक संयोजन संपत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, जब आप एक शब्द लिखते हैं, तो आपको आमतौर पर इसके उप-प्रकार को लिखना होता है, जबकि एक स्तरीकृत शब्द के उप-भाग को स्तरीकृत करने की आवश्यकता नहीं होती है।

— डेमियानो मजाज़

क्षमा करें, गिरार्ड के एलएलएल के बारे में एक और बात: प्रणाली स्पष्ट रूप से टाइप की गई है क्योंकि इसमें सूत्र शामिल हैं। हालाँकि, जैसा कि मैंने अपने उत्तर में उल्लेख किया है, सूत्र एलएलएल कट-एलिमिनेशन में कोई भूमिका नहीं निभाते हैं। वास्तव में, एलएलएल असंगत होने के बिना सूत्रों के मनमाने ढंग से तय बिंदुओं को जोड़ा जा सकता है (जिसमें रसेल के विरोधाभासी सूत्र भी शामिल हैं, जो अपनी ही उपेक्षा के बराबर है!)। इसका कारण यह है कि कट-उन्मूलन "विशुद्ध रूप से संरचनात्मक" कारणों के लिए है, इस तथ्य से स्वतंत्र है कि आप अपने प्रमाणों के प्रकार संलग्न कर सकते हैं (तकनीकी रूप से, एलएलएल के लिए कट-उन्मूलन प्रमेय अप्रमाणित प्रूफ जाल में साबित हो सकते हैं)।

— दामियानो मजाज़

ठीक है, अगर आप किसी चीज को टाइपिंग सिस्टम होने की स्थिति में शामिल करते हैं। यह एक दिलचस्प दृष्टिकोण है जो मैं पहले नहीं आया था।

— मार्टिन बर्गर

... और यह एक दृष्टिकोण है जो मैं कहूंगा कि गुमराह है। उदाहरण के लिए, सबटाइपिंग से युक्त प्रणालियों में (अधिक सामान्यतः, जब रेनॉल्ड्स के अर्थ में प्रकारों की एक बाहरी व्याख्या पर विचार किया जाता है ) तो टाइपिंग का एक सहवर्ती दृष्टिकोण लेना बहुत स्वाभाविक है। साहित्य में काफी कुछ उदाहरण हैं (हालांकि मुझे लगता है कि यह बहुत कम है)।

— नोआम ज़िलबर्गर

Answer 2

चर्च और रोसेर द्वारा मूल पेपर, "रूपांतरण के कुछ गुण", कुछ ऐसी चीजों का वर्णन करता है जो आपके लिए एक उदाहरण हो सकता है।

यदि आप सख्त लैम्ब्डा कैलकुलस का उपयोग करते हैं , जहां हर घटना में$\lambda x.M$ तुम्हारे पास वह है $x$ में मुक्त दिखाई देता है $M$, फिर एक प्रकार की प्रणाली के बिना निम्नलिखित संपत्ति रखती है (यह चर्च और रोसेर के पेपर में प्रमेय 2 है):

अगर $B$ का एक सामान्य रूप है $A$, फिर एक संख्या है $m$ इस तरह के किसी भी क्रम से कटौती शुरू होती है $A$ को बढ़ावा मिलेगा $B$ [modulo अल्फा तुल्यता] के बाद सबसे $m$ कटौती।

इस प्रकार, भले ही आप (अनकैप्ड) सख्त लंबो कैलकुलस में नॉन-टर्मिनेटिंग शब्द लिख सकते हैं, एक सामान्य रूप के साथ हर शब्द दृढ़ता से सामान्य करता है; अर्थात्, कटौती का प्रत्येक क्रम उस विशिष्ट सामान्य रूप तक पहुंच जाएगा।

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कुछ बाधाओं पर है, के रूप में $m$निष्कर्ष में प्रकट नहीं होता है।

— लेडी बाउर

इस बार प्रमेय कथन समाप्त कर दिया, धन्यवाद। जिस भाग को मैंने [मोडुलो अल्फा समतुल्यता] के रूप में लिखा था, वह मूल रूप से "(नियम I के अनुप्रयोगों के भीतर)" है, जिसका अर्थ है कि जब तक मैं नियम को सही ढंग से याद नहीं करता, तब तक उसी का अर्थ है।

— रोब सिमंस

Answer 3

यहां नील जोन्स और नीना बोहर ने एक मजेदार बात की:

अनकैप्ड में कॉल-बाय-वैल्यू टर्मिनेशन $\lambda$-calculus

यह दिखाता है कि आकार-परिवर्तन विश्लेषण (एक प्रकार का नियंत्रण प्रवाह विश्लेषण जो अनंत छोरों का पता लगाता है) को अप्रयुक्त पर कैसे लागू किया जाए$\lambda$-नियम। यह व्यवहार में काफी अच्छा है, लेकिन निश्चित रूप से प्रतिबंधित है$\lambda$- परिभाषित स्थिरांक के बिना (हालांकि विधि को अधिक सामान्य उपयोग के लिए बढ़ाया जा सकता है)।

टाइपिंग का लाभ, निश्चित रूप से कम जटिलता लागत और दृष्टिकोण की मॉड्यूलरता दोनों है: सामान्य रूप से समाप्ति विश्लेषण बहुत गैर-मॉड्यूलर हैं, लेकिन टाइपिंग "टुकड़ा-दर-टुकड़ा" किया जा सकता है।

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यह वास्तव में दिलचस्प है!

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