एक निर्णय समस्या जिसे PH में नहीं जाना जाता है लेकिन P में यदि पी = एनपी होगा

Question

संपादित करें : जैसा कि रवि बोपाना ने अपने उत्तर में सही ढंग से बताया और स्कॉट आरोनसन ने भी अपने उत्तर में एक और उदाहरण जोड़ा , इस प्रश्न का उत्तर इस तरह से "हाँ" निकला, जिसकी मुझे बिल्कुल भी उम्मीद नहीं थी। पहले मैंने सोचा कि वे उस प्रश्न का उत्तर नहीं देते हैं जो मैं पूछना चाहता था , लेकिन कुछ सोच के बाद, ये निर्माण कम से कम एक प्रश्न का उत्तर देते हैं जो मैं पूछना चाहता था, "क्या सशर्त परिणाम साबित करने का कोई तरीका है 'पी = एनपी ⇒ एल NPP 'बिना शर्त परिणाम एल ∈PH साबित किए बिना ? "धन्यवाद, रवि और स्कॉट!

---

क्या कोई निर्णय समस्या एल ऐसी है जो निम्नलिखित शर्तों से संतुष्ट है?

• L को बहुपद पदानुक्रम में नहीं जाना जाता है।
• यह ज्ञात है कि P = NP, L .P होगा।

एक कृत्रिम उदाहरण एक प्राकृतिक के रूप में अच्छा है। इसके अलावा, हालांकि मैं " L " अक्षर का उपयोग करता हूं , अगर यह मदद करता है तो यह एक भाषा के बजाय एक वादा समस्या हो सकती है।

पृष्ठभूमि । यदि हम जानते हैं कि एल में एक निर्णय समस्या बहुपद पदानुक्रम में है, तो हम जानते हैं कि "पी = एनपी ⇒ एल ⇒P।" यदि उपरोक्त दो स्थितियों को संतुष्ट करने वाली एक भाषा L मौजूद है, तो इसे एक प्रमाण के रूप में माना जा सकता है कि कांसेप्ट विफल हो जाता है।

इस सवाल से प्रेरित होकर जो फिट्जसिमों ने वाल्टर बिशप के सवाल के मेरे जवाब पर टिप्पणी की, " # पीपी = एफपी का परिणाम ।"

Comments

एक सार्वभौमिक नकारात्मक साबित करना हमेशा कठिन होता है (एर), लेकिन मुझे आश्चर्य होगा कि अगर ऐसी भाषा मौजूद थी। सामान्यीकृत लिनिअल-निसान अनुमान (अगर यह सच हो गया था) निहित नहीं होगा कि आप क्या पूछ रहे हैं, मुझे विश्वास नहीं है। इसका मतलब सिर्फ इतना होगा कि BQP PH में निहित नहीं था। यदि PH P से ढह गया, तो BQP अभी भी P (H) में समाहित नहीं होगा।

— डैनियल अपॉन

क्या आप पूछ रहे हैं कि क्या कोई जटिलता वर्ग X मौजूद है X, PH का उपसमूह नहीं है, और P = NP -> X = P?

— फिलिप व्हाइट

@Pipip: हाँ, लेकिन मुझे नहीं लगता कि इससे समस्या में बदलाव आता है क्योंकि हम आमतौर पर निर्णय की समस्या को L को बदल सकते हैं। निर्णय की समस्याओं के वर्ग X को L से चिह्नांकित करते हैं। निर्णय की समस्याओं के संदर्भ में यह प्रश्न पूछने का मेरा इरादा कम से कम था ।

— त्सुयोशी इतो

हो सकता है कि आप अपनी वर्तमान आवश्यकताओं के अलावा, भाषा किसी भी तरह PH के करीब होना चाहते हैं? हो सकता है, PSPACE में कहें, (हालांकि यह तर्कपूर्ण है कि PSP के लिए PH कितना करीब है। एस फेनर, एस। होमर, एम। शेफर, आर। प्रुइम देखें। हाइपर-पॉलीनोमियल पदानुक्रम और बहुपद छलांग। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान। वॉल्यूम 262 () 2001), पीपी। 241-256 cse.sc.edu/~fenner/papers/hyp.pdf )। या हो सकता है कि आप वास्तव में एक ऐसी प्राकृतिक भाषा के लिए पूछना चाहते हैं। $L$

— जोशुआ ग्रोको

@ जोशुआ: टिप्पणी और संदर्भ के लिए धन्यवाद। जैसा कि अद्यतन (संशोधन 3) में कहा गया है, अब मुझे लगता है कि मैंने सही सवाल पूछा था (संशोधन 2 में मैंने जो जोड़ा है उसके विपरीत)। मैं जानना चाहता था कि "बिना शर्त परिणाम LondPH साबित किए बिना" सशर्त परिणाम 'P = NP ⇒ L toP' साबित करने का कोई तरीका है? "इस प्रयोजन के लिए, समस्या की स्वाभाविकता की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए क्योंकि एक बार वहाँ एक प्रमाण विधि है, इसे प्राकृतिक और वंचित दोनों उदाहरणों पर समान रूप से लागू होना चाहिए।

— २२:२६

Answer 1

चूँकि आप एक कृत्रिम भाषा को बुरा नहीं मानते हैं, तो को परिभाषित करने के बारे में एल खाली कैसे होगा यदि पी एनपी के बराबर है और पी एचपी के बराबर होने पर हॉल्टिंग समस्या हो सकती है। ठीक है, यह एक धोखा है, लेकिन मुझे लगता है कि आपको इस तरह की ठगी से बचने के लिए समस्या को हल करना होगा। $L$

Comments

धन्यवाद, मुझे बिंदु दिखाई देता है (एल = {एम: ट्यूरिंग मशीन एम हाल्ट और पी see एनपी} परिभाषित करें)। बेशक, यह जवाब नहीं देता है कि मैं क्या पूछना चाहता था, लेकिन मुझे लगता है कि मुझे उस प्रश्न को तैयार करने के लिए अधिक सोचना होगा जो मैं सही ढंग से पूछना चाहता था।

— Tsuyoshi Ito

Answer 2

यदि एक कृत्रिम उदाहरण वास्तव में एक प्राकृतिक के रूप में अच्छा है, तो मैं वास्तव में ऐसा उदाहरण प्रदान कर सकता हूं!

संपादित करें: इसके अलावा, मेरा उदाहरण रवि बोप्पाना (जहां हम L को खाली भाषा मानते हैं, अगर P = NP और हॉल्टिंग की समस्या अन्यथा), तो मैं भाषा को परिभाषित करूंगा। एक परिमित प्रक्रिया देकर एल तय करने के लिए के लिए किसी भी इनपुट एक्स एल। किसी भी बिंदु पर यह तय नहीं किया जाएगा कि x∈L को P बनाम NP जैसे "अनबाउंड" गणितीय प्रश्न को हल करने की आवश्यकता है या नहीं।$x \in$

---

आगे की हलचल के बिना: चलो पोलीटाइम ट्यूरिंग मशीनों की एक गणना हो। सभी n के लिए , M t ( n ) को lexicographically पहला M i होना चाहिए जो लंबाई n या उससे कम के सभी इनपुट पर 3SAT को सही ढंग से तय करता है । इस प्रकार तो भाषा एल परिभाषित: सभी आदानों के लिए x आकार के n , एक्स ∈ एल यदि और केवल यदि ट्यूरिंग मशीन द्वारा इनकोडिंग एक्स ज्यादा से ज्यादा में हाल्ट एन टी ( एन $M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ कदम जब एक खाली टेप पर चलते हैं।

दावा 1: अगर पी = एनपी, तो एल पी$\in$

प्रमाण: यदि P = NP, तो कुछ निश्चित जो सभी इनपुट के लिए 3SAT को हल करता है; इसलिए t ( n ) ≤ i for all n । QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

दावा 2: अगर पी एनपी, तो एल ∉ पी$\ne$$\notin$

प्रमाण: यदि बिना बाउंड बढ़ता है, तो हम केवल समय पदानुक्रम प्रमेय लागू कर सकते हैं। QED$t(n)$

अब, न केवल L, P में नहीं है P को NP मान रहा है: एक अनुमान है कि यह PH (या यहां तक ​​कि PSPACE) में भी नहीं होगा!$\ne$

संयोग से, मुझे आश्चर्य है अगर किसी को भी, ऊपर निर्माण सुधार कर सकते हैं जो अगर P = NP पी में है एक भाषा एल प्राप्त करने के लिए, लेकिन provably नहीं पीएच में या PSPACE अगर पी एनपी?$\ne$

Comments

धन्यवाद! मैं PH को सिद्ध करने के लिए निर्माण को संशोधित करने में सक्षम नहीं हुआ, लेकिन यह मुझे समझाने के लिए पर्याप्त है कि इस शर्त को जोड़ना कि L निर्णायक क्षमता का एक रचनात्मक प्रमाण है, इससे स्थिति में बहुत बदलाव नहीं आएगा। हम्म।

— त्सुयोशी इतो

मैं रवि बोपाना के जवाब को स्वीकार करूंगा क्योंकि उनका आगमन सबसे पहले हुआ था, हालांकि मैं दोनों को स्वीकार करना चाहता हूं क्योंकि दोनों ने मुझे समस्या पर अधिक समझ दी। मुझे उम्मीद है कि आप समझ गए होंगे…

— त्सुयोशी इटो

अच्छा लगा। यह एक बेहतरीन जवाब है।

— डैनियल एपॉन

@ टायसन विलियम्स: यदि आपको एहसास नहीं हुआ है, तो कृपया ध्यान रखें कि जब आप अन्य उपयोगकर्ताओं द्वारा कोई पोस्ट संपादित करते हैं, तो कोई त्रुटि पेश न करें। यह भाग्यशाली था कि जो ने इसे देखा और इसे ठीक किया।

— त्सुयोशी इटो

Answer 3

स्कॉट आरोनसन के प्रश्न का उत्तर देना, लेकिन थोड़ा एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है, यहाँ एक भाषा की एक निर्माण है ऐसी है कि पी = एन पी तात्पर्य एल ∈ पी , लेकिन पी ≠ एन पी तात्पर्य एल ∉ पी एच ।$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

चलो और टी ( एन ) स्कॉट निर्माण में के रूप में हो सकता है। हम इसे बनाने के लिए इतना है कि एल को कम नहीं करता है Σ कश्मीर एस ए टी प्रत्येक के लिए कश्मीर , लेकिन हम केवल ऐसा करते हैं, तो टी ( एन ) → ∞ (यानी अगर पी ≠ एन पी )। निर्माण चरणों में आगे बढ़ता है। स्टेज s = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$(कुछ आसानी से गणना कर सका और आसानी से उलटी द्विभाजन का उपयोग कर ), हम यह सुनिश्चित करें कि एम मैं एक कई-एक से कमी नहीं है एल के Σ जे एस ए टी । चलो एन एस ऐसे पूर्णांक कम से कम हो सकता है कि टी ( एन एस ) > टी ( एन एस - 1 ) (आधार मामला: n 0 = 1 )। यदि ऐसा कोई पूर्णांक n s है , तो सेट करें$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$ । अगर ऐसी कोई पूर्णांक है n है , हम जाने एल हमेशा के लिए के बाद खाली हो।$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

अगर , फिर टी ( एन ) → ∞ के रूप में एन → ∞ , इसलिए है वहाँ हमेशा इस तरह के एक एन एस , इसलिए एल नहीं है पी एच । यदि पी = एन पी , तो मेरा एल स्कॉट के एल से केवल सबसे अलग है , और इसलिए पी में है ।$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैं निर्माण को समझता हूं। ऐसा लगता है कि गणना करने के लिए, अनिश्चित काल तक खोज करना आवश्यक हो सकता है, और इसलिए यह मुझे प्रतीत होता है कि हमारे पास भाषा को तय करने के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म नहीं है। यदि हमें एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, तो रवि बोपाना का जवाब यह दर्शाता है कि एक भाषा L मौजूद है जैसे कि P = NP इंक। L andP और P ∉ NP ।L∉R (यानी, L अनिर्दिष्ट है)। $n_s$

— त्सुयोशी इतो

@Tsuyoshi इतो: मुझे नहीं लगता कि आप की गणना करने की क्या ज़रूरत है दी रों आदेश एल तय करने के लिए है; तुम सब करने की है, पर इनपुट है 1 n , अगर तय n फार्म की है n है कुछ के लिए रों , और आंकड़ा जो बाहर है यह है (यदि हो तो)। यहां बताया गया है: इनपुट 1 एन पर , कंप्यूट टी ( एन ) , और कंप्यूट टी ( एम ) के लिए सभी एम < एन । यदि कोई m < n ऐसा है कि t ( $n_s$$s$$1^n$$n$$n_s$$s$$s$$1^n$$t(n)$$t(m)$$m < n$$m < n$ , तो n नहीं है एन एस किसी के लिए रों हां, एल ( 1 n ) = 0 । अन्यथा, जो बाहर आंकड़ा मंच रों से मेल खाती है इस एन एस (जो बाद से आप के पिछले सभी मानों का परिकलन किया गया है किया जा सकता है टी और फिर गणना) एल ( 1 n ) जवाब में वर्णित है। $t(n)=t(m)$$n$$n_s$$s$$L(1^n) = 0$$s$$n_s$$t$$L(1^n)$

— जोशुआ ग्रोको