क्या हम यह तय कर सकते हैं कि एक स्थायी शब्द का एक अनूठा शब्द है?

Question

मान लीजिए कि हमें पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ एन मैट्रिक्स, एम द्वारा एन दिया गया है। हम पी में तय कर सकते हैं नहीं है कि क्या एक क्रमचय $\sigma$ ऐसा है कि सभी क्रमपरिवर्तन के लिए $\pi\ne\sigma$ हमारे पास $\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$ ?

टिप्पणियों। बेशक उत्पाद को राशि के साथ बदल सकता है, समस्या वही रहती है।

यदि मैट्रिक्स में केवल 0/1 प्रविष्टियां हो सकती हैं, तो हमें Bipartite-UPM समस्या मिलती है जो NC में भी है।

संपादित करें: यह तय करना कि क्या सबसे छोटा शब्द पी में है, क्योंकि यह न्यूनतम वजन मिलान समस्या के बराबर है, जैसा कि नील यंग द्वारा (तब हटाए गए) टिप्पणी से बताया गया है।

संपादित करें: समान प्रश्न:

एक बढ़त-भारित ग्राफ में, एक हैमिल्टन-चक्र एक अद्वितीय वजन के साथ है?

यदि हमारे पास प्रत्येक चर / संतोषजनक असाइनमेंट को भार के साथ एक CNF है, तो क्या एक अद्वितीय वजन संतोषजनक असाइनमेंट है?

ये बेशक कम से कम एनपी-हार्ड हैं। क्या ये समस्याएं मूल के बराबर हैं या क्या वे कठिन हैं?

Comments

क्या हम जानते हैं कि यह समस्या एनपी में भी है? मुझे प्रमाणपत्र के साथ आने में कठिनाई हो रही है।

— mhum

@mhum: सबसे स्पष्ट ऊपरी बाध्य है , के रूप में स्कॉट आरोनसन अपने जवाब में बताया। मुझे नहीं लगता कि कोई बेहतर ऊपरी सीमा ज्ञात है। $\Sigma_2 P$

— जोशुआ ग्रूचो

नोट: मैंने अपनी टिप्पणियों को यह देखते हुए हटा दिया कि सबसे छोटी अवधि वाला संस्करण पी में है, क्योंकि वे अब अपडेट किए गए पोस्ट पर लागू नहीं होते हैं। मैंने कुछ आंशिक प्रगति के साथ नीचे एक उत्तर जोड़ा, जिसमें एक प्रमाण शामिल है कि मुख्य समस्या सह-एनपी कठिन है।

— नील यंग

Answer 1

अच्छी समस्या है! यह दर्शाना मुश्किल नहीं है कि यदि कोई आपकी समस्या को हल कर सकता है, तो कोई व्यक्ति निम्न समस्या को भी हल कर सकता है, इसे पृथक SUBSET SUM:

यह देखते हुए पूर्णांकों एक ₁ , ..., एक _n , वहाँ एक के एक सबसेट एस है _मैं की जिसका योग किसी अन्य सबसेट द्वारा साझा नहीं कर रहा है?

कमी पहले से तयशुदा मिलान के लिए पृथक SUBSET SUM को कम करके काम करती है, जहाँ एक भारित द्विदलीय ग्राफ G दिया जाता है, हम एक पूर्ण मिलान खोजना चाहते हैं जिसका वजन किसी अन्य परिपूर्ण मिलान द्वारा साझा नहीं किया गया है। यह कमी सरल है: प्रत्येक मैं के लिए, एक 2x2 पूरा subgraph जी बनाने _मैं जी, दो संभावित matchings हम जी के लिए चयन की जो कि इस तरह में _मैं या नहीं, एक की हमारी पसंद encodes _मैं सेट एस में है

इसके बाद, अपनी समस्या के लिए अलग-अलग पूर्ण होने को कम करें:

1. सभी के लिए, j, अगर एज (i, j) मौजूद है और वजन w _{ij है} , तो M _ij : = exp (w _ij ) सेट करें। (यह रकम को उत्पादों में बदल देता है।)
2. सभी के लिए, j, अगर एज (i, j) मौजूद नहीं है, तो M _ij : = 0 सेट करें ।
3. पैड एम यह सुनिश्चित करने के लिए कि दो या अधिक क्रमपरिवर्तन हैं that जैसे कि _, M _{i, π (i)} = 0. (यह विरल समाधानों को नियमित करता है जो G. में किसी भी पूर्ण मिलान के अनुरूप नहीं हैं)

अब, पृथक SUUMET SUM को निश्चित रूप से ऐसा लगता है कि यह कम से कम NP-hard है, और शायद यह उससे भी कठिन है (स्पष्ट ऊपरी सीमा केवल P ₂ P है)! इसके अलावा, शायद कोई यह साबित कर सकता है कि पृथक SUBSET SUM NP-Valiant-Vazirani- शैली यादृच्छिक कमी का उपयोग करके कठोर है। हालांकि, यह एक चुनौती है जिसे मैं किसी और को छोड़ देता हूं ...

Comments

हां, ये बराबर हैं। वास्तव में, यदि आप मेरे द्वारा हल की जा रही खुली समस्या की जाँच करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि मैं ISOLATED PERFECT MATCHING समस्या से आ रहा हूँ। हो सकता है कि कोई फ्रोबेनियस सिक्का की समस्या को कम कर सकता है।

— डोमोटर

दुःख ... एंडी ड्रकर ने ध्यान से बताया कि मेरी पृथक SUBSET SUM समस्या हल करने के लिए तुच्छ है! यदि a_i के कुछ 0 हैं, तो कोई अनोखी राशि नहीं है; अन्यथा, सभी a_i के साझाकरण को समान चिह्न (या तो सकारात्मक या नकारात्मक) का सेट लें। इसलिए, हमें ISOLATED PERFECT MATCHING पर ध्यान देना चाहिए।

— स्कॉट एरनसन

Answer 2

यहाँ कुछ आंशिक प्रगति है, पूर्ण उत्तर नहीं। नीचे दिए गए लेम्मा 1 से पता चलता है कि पोस्ट में पहली समस्या सह-एनपी हार्ड है। (समस्या "एक वर्ग मैट्रिक्स एम को देखते हुए" है$M$ पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ, वहाँ एक क्रमपरिवर्तन $\pi$ ऐसी है कि $\prod_i M_{i\pi(i)}$ अद्वितीय है?" ) हम इस समस्या को फोन अनोखा स्थायी अवधि । लेम्मा 1 का अनुसरण पोस्ट में उल्लिखित संबंधित समस्याओं के बारे में किया गया है।

लेम्मा 1. अद्वितीय स्थायी शब्द सह-एनपी कठिन है।

प्रमाण। Subset उत्पाद समस्या को याद करें: गैर-नकारात्मक पूर्णांक और (गैर-शून्य) लक्ष्य $T$ संग्रह को देखते हुए , क्या पूर्णांकों का एक उपसमूह है जिसका उत्पाद $T$ बराबर है ? यह समस्या एनपी-पूर्ण होने के लिए जानी जाती है। लेम्मा दिखाने के लिए, हम दिखाते हैं कि इसके पूरक सह-सबसेट उत्पाद को अद्वितीय स्थायी अवधि तक कैसे कम किया जाए।

प्रमाण के लिए हम मानक रूप में किनारे-भारित द्विदलीय ग्राफ G = ( U , W , E ) के रूप में प्रत्येक अद्वितीय $M$ के स्थायी उदाहरण की व्याख्या करते हैं । यही है, मैट्रिक्स एम "बायडेजेंसी मैट्रिक्स" है जहां एम आई जे$G=(U, W, E)$$M$$M_{ij}$ से बढ़त का वजन है $i$ वें में शिखर $U$ करने के लिए $j$ वें शिखर में $W$ अगर ऐसी कोई बढ़त है, या 0। इस निरूपण में, यह सवाल है कि क्या ग्राफ में एक पूर्ण मिलान है जैसे कि मिलान में किनारों के भार का उत्पाद अद्वितीय है।

एक इनपुट $(x, T)$ को देखते हुए जहां $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक $x_1, x_2, \ldots, x_n$ और $T$ का एक संग्रह है , जो लक्ष्य है, घटता आउटपुट पहले भाग में, लेबल किए गए (ए), नीचे दिए गए आंकड़े में दर्शाए गए भारित द्विपदीय ग्राफ। हम $n=3$ लिए ग्राफ दिखाते हैं । बिना लेबल वाले किनारों का वजन 1. है (यह निर्माण चित्र 1 से प्रेरित हैA. ब्रॉडर का पेपर स्थायी के सन्निकटन पर, जो जॉर्ज स्टोल्फी के लिए एक उदाहरण को दर्शाता है।)

आकृति का भाग (ए) पूरे ग्राफ को दर्शाता है। इसके किनारों में से केवल चार (सामान्य $n+1$ ) में 1 के अलावा अन्य वजन होते हैं। उदाहरण में, किनारे (1, 11) का वजन $x_1$ , धार (3, 13) का वजन $x_2$ , धार (5, 15) है वजन $x_3$ , और किनारे (1, 18) का वजन $T$ । यह कमी पूरी करता है। आगे हम तर्क देते हैं कि यह सही है।

$T$$T$$T$

निरीक्षण द्वारा, प्रत्येक सबसेट लिए$S$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_1, x_3$$S$

यह निम्नानुसार है कि एकमात्र संभव मिलान जिसमें भार का एक अनूठा उत्पाद है, संदर्भ मिलान है, और इसका उत्पाद अद्वितीय है अगर और केवल अगर का कोई उपसमूह नहीं है$x_1, x_2, \ldots, x_n$$T$$~~\Box$

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यूनिक-वेट हैमिल्टनियन साइकल और यूनीक-वेट सैट के बारे में अवलोकन । (पोस्ट के अंत में संबंधित दो समस्याएं।)

अवलोकन 1. यूनीक-वेट सैट और यूनीक-वेट हैमिल्टनियन साइकिल एनपी-हार्ड हैं।

(यूनिक-वेट सैट के लिए, विशेष केस जब सभी वेट की दो अलग-अलग शक्तियां होती हैं, नियमित सैट के बराबर होती हैं, क्योंकि हर असाइनमेंट में एक अलग टोटल वेट होता है। इसी तरह यूनीक-वेट हैमिल्टनियन साइकल के लिए, विशेष केस हैमटोनियन साइकल के बराबर है। )

अवलोकन 2. यूनीक-वेट सैट का प्रतिबंध ऐसे उदाहरणों के लिए है जहां सभी भार शून्य हैं, शास्त्रीय यूनिक सैट समस्या के बराबर है।

याद रखें कि अद्वितीय सैट है "एक बूलियन सूत्र को देखते हुए यह ठीक एक संतोषजनक काम करता है?" ( असंदिग्ध सैट के साथ भ्रमित न होने के लिए , एसटी को उन उदाहरणों तक सीमित करके वादा किया गया समस्या है जहां सबसे अधिक संतोषजनक असाइनमेंट है। यूनीक सैट (और, पार्सिमोनियस कटौती के माध्यम से, यूनीक हैमिल्टनियन साइकिल) जटिलता वर्ग यूएस के लिए पूरा होता है, जिसमें सह-एनपी होता है (और डीपी में निहित होता है )। 1998 तक, अमेरिका को सह-एनपी के बराबर होने की संभावना नहीं थी । अनोखा हैमिल्टनियन साइकिल ( एक ग्राफ को देखते हुए, क्या यह बिल्कुल एक हैमिल्टनियन चक्र है?) यूनिक-वेट हैमिल्टनियन चक्र के बराबर है जो सभी-शून्य भार के साथ उदाहरणों तक सीमित है। इसलिए:

अवलोकन 3. यूनीक-वेट सैट और यूनीक-वेट हैमिल्टनियन साइकिल यूएस -हार्ड हैं, और इस प्रकार सह-एनपी कठिन है।

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लेम्मा 1 के प्रमाण के बारे में मामूली टिप्पणी:

1. यह दर्शाता है कि अद्वितीय स्थायी शब्द ऐसे उदाहरणों के लिए भी सह-एनपी कठोर रहता है जिनके पास एक अद्वितीय शब्द है, और इनपुट अतिरिक्त रूप से उस शब्द को निर्दिष्ट करता है जो अद्वितीय हो सकता है। समस्या का यह प्रकार सह-एनपी में है, और इसलिए सह-एनपी पूर्ण है।

2. इन समस्या के "उत्पाद" वेरिएंट तुच्छ रूप से "योग" वेरिएंट के बराबर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, लेम्मा 1 का प्रमाण यूनिक परमानेंट टर्म में शून्य की मैट्रिक्स प्रविष्टियों (एज वेट) का उपयोग करता है। समस्या के "योग" संस्करण में (दिए गए "उत्पाद" फ़ॉर्म के विपरीत) यह स्पष्ट नहीं है कि उत्पाद के रूप में शून्य से कार्यात्मक रूप से मूल्य क्या हो सकता है। (हमें कुछ इस तरह की आवश्यकता होगी$-\infty$

   इसके अलावा, एन्कोडिंग और संख्यात्मक सटीक मुद्दे भी हैं --- उदाहरण के लिए सबसेट सम और सबसेट समस्याओं के संबंध के विभिन्न ऑनलाइन चर्चाओं को देखें

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प्राकृतिक प्रश्न जो बने रहते हैं:

1. क्या यूनीक परमानेंट टर्म NP- हार्ड है?

2. अमेरिका-मुश्किल?

3. क्या यहाँ डीपी में विभिन्न समस्याओं पर विचार किया जाता है?

4. $\Sigma_2$$\Sigma_2$ पी मुश्किल?

5. क्या यूनीक-वेट सैट (या "यूनिक- प्रोडक्ट " सैट) से यूनिक परमानेंट टर्म तक पॉली-टाइम कमी है ?