में एक समस्या की सटीक जटिलता

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चलो $x_i \in \{-1,0,+1\}$ के लिये $i \in \{1,\ldots,n\}$ , इस वादे के साथ $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (जहां योग समाप्त हो गया है $\mathbb{Z}$ )। फिर अगर निर्धारित करने की जटिलता क्या है $x = 1$ ?

ध्यान दें कि तुच्छ समस्या में निहित है $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ चूंकि $x \equiv 1\bmod{m}$ iff । प्रश्न यह है: क्या समस्या ? यदि हां, तो सर्किट इसे क्या देख रहा है? यदि नहीं, तो यह कैसे साबित होता है? $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— Samid
स्रोत

यह समस्या अच्छी तरह से तुच्छ हो सकती है, लेकिन मुझे इसका जवाब नहीं पता है और इसे जानने में बहुत दिलचस्पी होगी।

— सामी

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आप सामान्य स्विचिंग लेम्मा तर्क का उपयोग कर सकते हैं। आपने यह नहीं बताया कि आप बाइनरी में अपने इनपुट का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं, लेकिन किसी भी उचित एन्कोडिंग के तहत, निम्न फ़ंक्शन AC -आपके फ़ंक्शन के लिए -संतुलित: (हम मानते हैं कि सम है।) इन लेक्चर नोट्स के बाद , मान लीजिए कि गहराई सर्किट गणना की जा सकती है । फिर इनपुट का एक यादृच्छिक प्रतिबंध निर्णय वृक्ष की जटिलता का एक कार्य छोड़ देता है $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ प्रायिकता के साथ कम से कम । एक गणना संभवतः यह दिखाएगी कि यह (एक छोटे इनपुट आकार पर) का एक और उदाहरण है प्रायिकता , और इसलिए कुछ यादृच्छिक प्रतिबंध है जो पर आवृत्ति दोनों का परिणाम देता है। आदानों और निरंतर निर्णय पेड़ जटिलता के साथ एक समारोह, एक विरोधाभास के लिए अग्रणी। इसी तर्क से घातीय निम्न सीमा प्राप्त होनी चाहिए।

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— युवल फिल्मस
स्रोत

मुझे लगता है कि इस फ़ंक्शन की कुल संवेदनशीलता भी , इसलिए आप शायद इसका उपयोग कर सकते हैं कि मेरे उत्तर में घातीय कम बाउंड प्राप्त करें। मैं जो परिणाम देता हूं, वह लाइनियल-मंसूर-निसान प्रमेय का उपयोग करता है, जो स्वयं कम निर्णय पेड़ की जटिलता के कार्यों के स्पेक्ट्रम पर स्विचिंग लेम्मा + सरल सीमा का उपयोग करता है।

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— साशो निकोलेव

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मुझे नहीं लगता कि यह AC0 में है और मैं और बीच अंतर करने की संबंधित वादा समस्या के लिए एक निचली सीमा दिखा सकता हूं , जब । इसी तरह की फूरियर तकनीक आपकी समस्या पर लागू होनी चाहिए, लेकिन मैंने यह सत्यापित नहीं किया है। या शायद एक साधारण कमी है। $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

मान लीजिए कि एक आकार है गहराई सर्किट कि गणना करता है एक समारोह ऐसी है कि जब भी । एक यादृच्छिक के लिए क्योंकि , संभावना है कि है , और ऐसे प्रत्येक के लिए देखते हैं निर्देशांक कि का मूल्य बदल , के कुल प्रभाव है $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ , जो मोटे तौर पर बहुमत के समान है (क्योंकि आपने बहुमत के अधिकांश संवेदनशील इनपुट शामिल किए हैं)। हेस्टैड की एक प्रमेय द्वारा (रयान ओ'डॉनलाइन के नोट्स में Colorraly 2.5 देखें ), इसका मतलब है कि

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— साशो निकोलोव
स्रोत