घनीभूत नाबालिग की गणना की जटिलता

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।
इनपुट: एक अप्रत्यक्ष ग्राफ । आउटपुट: एक ग्राफ एच जिनमें से एक नाबालिग है जी के सभी नाबालिगों में सबसे अधिक बढ़त घनत्व के साथ जी , यानी, उच्चतम अनुपात के साथ | ई ( एच ) | / | वी ( एच ) | ।$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

क्या इस समस्या का अध्ययन किया गया है? क्या यह बहुपद समय में हल है या यह एनपी-कठोर है? क्या होगा यदि हम बहिष्कृत नाबालिगों के साथ कक्षाओं की तरह प्रतिबंधित ग्राफ वर्गों पर विचार करते हैं?

यदि हम इसके बजाय घने उपसमूह की मांग करते हैं, तो समस्या बहुपद समय में हल करने योग्य है । यदि हम एक अतिरिक्त पैरामीटर जोड़ते हैं और k कोने से densest सबग्राफ के लिए पूछते हैं , तो समस्या NP- पूर्ण है (यह k -clique से एक आसान कमी है )।$k$$k$$k$

Comments

मेरा पेपर "माइनर-क्लोज्ड ग्राफ परिवारों की घनत्व" (इलेक्ट्रॉनिक जे। कॉम्बिनेटरिक्स 17 (1), पेपर आर 136, 2010, कॉम्बीनेटरिक्स. org/Volume_17/Abstracts/v17i1r136.html घने नाबालिगों के बारे में है, लेकिन माइनर-बंद ग्राफ़ परिवारों में बजाय व्यक्तिगत रेखांकन में। आपको वहां अपने प्रश्न के लिए प्रासंगिक कुछ मिल सकता है।

— डेविड एप्पस्टीन

यह कुछ ऐसा लगता है जो निम्नलिखित प्रश्न से संबंधित है। एक ग्राफ को देखते हुए में सबसे बड़ा गुट नाबालिग के आकार है क्या जी ? क्या इसका कोई परिणाम पता है? $G$$G$

— चंद्रा चकुरी

सबसे बड़ा क्लिक माइनर एनपी-पूर्ण है। मेरा पेपर देखें "बड़े क्लि‍क नाबालिगों को ढूंढना कठिन है", जे। ग्राफ अल्गोरिद्म और एप्लिकेशन 13 (2): 197-204, 2009, jgaa.info/accepted/2009/Eppstein2009.13.2.pdf

— डेविड

Answer 1

ठीक है, चूँकि उत्तर के रूप में यहाँ अभी भी कुछ नहीं है, मुझे कम से कम कुछ सरल अवलोकन करने दें:

बंधे हुए वृक्षों के ग्राफ़ के लिए, पेड़ के सड़ने पर सामान्य प्रकार के गतिशील कार्यक्रम द्वारा घने नाबालिग (या किनारों और संख्याओं के निर्दिष्ट संख्या के साथ एक नाबालिग) को ढूंढना संभव होना चाहिए, जहां गतिशील राज्य के प्रत्येक राज्य का ट्रैक रहता है। अपघटन के एक उपप्रकार में रहने वाले नाबालिग के हिस्से में किनारों और कोने की संख्या, नाबालिग में भाग लेने वाले अपघटन के बैग में कोने का उपसमुच्चय, पूरे में मामूली संकुचन के कारण इस उपसमुच्चय में कोने के बीच समतुल्य है। ग्राफ, और उपशीर्षक में रहने वाले नाबालिग के हिस्से में संकुचन के कारण इस समानता संबंध का परिशोधन।

$\le 3-\epsilon$

Answer 2

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$