TCS में कौन सी दिलचस्प प्रमेयताएं विकल्प के Axiom पर निर्भर करती हैं? (या वैकल्पिक रूप से, निर्धारकता का सिद्धांत?)

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गणितज्ञ कभी-कभी Axiom of Choice (AC) और Axiom of निर्धारक (AD) के बारे में चिंता करते हैं।

पसंद की स्वयंसिद्ध : किसी भी संग्रह को देखते हुए सेट nonempty की, वहाँ एक समारोह है एक सेट दिया है कि, में , के एक सदस्य रिटर्न । ${\cal C}$ $f$ $S$ ${\cal C}$ $S$

नियतता का भाव : चलो असीम रूप से लंबे बिट स्ट्रिंग्स का एक सेट है। ऐलिस और बॉब एक खेल खेलते हैं जहाँ ऐलिस 1 बिट चुनता है, बॉब एक 2 बिट चुनता है , और इसी तरह, जब तक कि एक अनंत स्ट्रिंग का निर्माण नहीं हो जाता। ऐलिस खेल को जीतता है अगर , बॉब खेल को जीतता है अगर । धारणा यह है कि प्रत्येक , खिलाड़ियों में से एक के लिए जीतने की रणनीति है। (उदाहरण के लिए, यदि में केवल ऑल-स्ट्रिंग स्ट्रिंग हैं, तो बॉब बहुत से चालों में जीत सकता है।) $S$ $b_1$ $b_2$ $x = b_1 b_2 \cdots$ $x \in S$ $x \not \in S$ $S$ $S$

यह ज्ञात है कि ये दोनों स्वयंसिद्ध एक दूसरे के साथ असंगत हैं। (इसके बारे में सोचो, या यहाँ जाओ ।)

अन्य गणितज्ञ एक प्रमाण में इन स्वयंसिद्धों के उपयोग पर बहुत कम या कोई ध्यान नहीं देते हैं। वे सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के लिए लगभग अप्रासंगिक प्रतीत होंगे, क्योंकि हम मानते हैं कि हम ज्यादातर परिमित वस्तुओं के साथ काम करते हैं। हालाँकि, क्योंकि TCS कम्प्यूटेशनल निर्णय समस्याओं को अनंत बिट स्ट्रिंग्स होने के लिए परिभाषित करता है, और हम मापते हैं (उदाहरण के लिए) एक एल्गोरिथ्म के समय की जटिलता, जो कि नैचुरल के ऊपर एक स्पर्शोन्मुख क्रिया के रूप में होती है, हमेशा एक संभावना होती है कि इनमें से एक स्वयंसिद्ध का उपयोग रेंगना हो सकता है। कुछ प्रमाणों में।

टीसीएस में सबसे स्पष्ट उदाहरण क्या है कि आप जानते हैं कि इनमें से एक स्वयंसिद्ध कहां की आवश्यकता है ? (क्या आप कोई उदाहरण जानते हैं?)

बस थोड़ा सा पूर्वाभास करने के लिए, ध्यान दें कि एक विकर्ण तर्क (सभी ट्यूरिंग मशीनों के सेट पर, कहते हैं) विकल्प के Axiom का एक आवेदन नहीं है। यद्यपि ट्यूरिंग मशीन को परिभाषित करने वाली भाषा एक अनंत बिट स्ट्रिंग है, प्रत्येक ट्यूरिंग मशीन में एक बारीक विवरण होता है, इसलिए हमें वास्तव में यहाँ असीम रूप से कई अनंत सेटों के लिए विकल्प की आवश्यकता नहीं है।

(मैं बहुत सारे टैग लगाता हूं क्योंकि मुझे पता नहीं है कि उदाहरण कहां से आएंगे।)

— रेयान विलियम्स
स्रोत

सीडब्ल्यू? या नहीं ? निश्चित नहीं।

— सुरेश वेंकट

मुझे यकीन नहीं है ... यह एक सवाल है, जहां मैं जवाब की "जटिलता" के बारे में बहुत अनिश्चित हूं ...

— रयान विलियम्स

5

अन्य गणितज्ञ एक प्रमाण में इन स्वयंसिद्धों के उपयोग पर बहुत कम या कोई ध्यान नहीं देते हैं। क्या गणितज्ञ वास्तव में दोनों स्वयंसिद्धों का लापरवाही से उपयोग करते हैं? यदि आप गलती से दोनों स्वयंसिद्ध मान लेते हैं तो आप कुछ भी साबित कर सकते हैं!

— वारेन शूडी

1

हार्वे फ्रीडमैन का अनुमान । मुझे नहीं पता कि यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान पर भी लागू होता है या नहीं।

— केवह

1

मुझे सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कोई परिणाम नहीं पता है जो जेडएफ में साबित नहीं किया जा सकता है लेकिन जेडएफ के कुछ दिलचस्प विस्तार में साबित हो सकता है। उस ने कहा, मेरा जंगली अनुमान यह है कि इस तरह के परिणामों के लिए भी शायद पूर्ण स्वयंसिद्ध विकल्प (एसी) की आवश्यकता नहीं होगी और उन्हें केवल एसी के कुछ कमजोर संस्करण की आवश्यकता होगी जैसे कि आश्रित विकल्प (डीसी) के स्वयंसिद्ध या गिनती के कमजोर एक्सिओम पसंद (AC_ω)। एक तरफ के रूप में, डीसी (और इसलिए AC_।) दृढ़ संकल्प के स्वयंसिद्ध के अनुरूप है ।

— त्सुयोशी इतो

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ZFC में सिद्ध किया गया कोई भी अंकगणितीय कथन ZF में सिद्ध होता है, और इसलिए उसे पसंद के स्वयंसिद्ध शब्द की "आवश्यकता" नहीं होती है। एक "अंकगणितीय" कथन से मेरा मतलब है कि अंकगणित की पहली क्रम वाली भाषा में एक कथन है, जिसका अर्थ है कि यह केवल प्राकृतिक संख्याओं पर मात्रा का उपयोग करके कहा जा सकता है ("सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए x" या "वहाँ एक प्राकृतिक संख्या x मौजूद है")। प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिमाण के बिना । पहली नज़र में यह पूर्णांक के सेट पर मात्रा के ठहराव के लिए बहुत प्रतिबंधक लग सकता है; हालाँकि, पूर्णांक के परिमित सेट को एक पूर्णांक का उपयोग करके "एन्कोडेड" किया जा सकता है, इसलिए पूर्णांक के परिमित सेट पर मात्रा निर्धारित करना ठीक है।

वस्तुतः टीसीएस में रुचि का कोई भी कथन, शायद थोड़ा सा परिमित हो, एक अंकगणितीय कथन के रूप में प्रकाशित किया जा सकता है, और इसलिए इसे पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पहली नज़र में पूर्णांक के अनंत सेट के बारे में दावा करता है, लेकिन इसे "हर बहुपद-काल ट्यूरिंग मशीन के लिए" के रूप में रीफ़्रेश किया जा सकता है, इसमें SAT उदाहरण मौजूद है कि यह गलत हो जाता है, "जो एक अंकगणितीय है बयान। इस प्रकार रयान के सवाल का मेरा जवाब है, "कोई भी ऐसा नहीं है जिसे मैं जानता हूं।" $P\ne NP$

लेकिन रुकिए, आप कह सकते हैं कि अंकगणितीय कथनों के बारे में क्या जिनके प्रमाण के लिए कोएनिग के लेम्मा या क्रुस्कल के पेड़ के प्रमेय की आवश्यकता है? क्या पसंद के स्वयंसिद्ध के कमजोर रूप की आवश्यकता नहीं है? इसका उत्तर यह है कि यह बिल्कुल इस बात पर निर्भर करता है कि आप प्रश्न में परिणाम कैसे बताते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप फॉर्म में ग्राफ माइनर प्रमेय का वर्णन करते हैं, तो "अनलेबल ग्राफ के किसी भी अनंत सेट को देखते हुए, उनमें से दो का अस्तित्व होना चाहिए जैसे कि एक दूसरे का नाबालिग होना," तो मार्च के माध्यम से चुनने के लिए कुछ राशि की आवश्यकता होती है आपके डेटा का अनंत सेट, वर्टिकल, सबग्राफ, आदि को बाहर निकालना [EDIT: मैंने यहां एक गलती की। जैसा कि एमिल जेआबेक बताते हैं, ग्राफ मामूली प्रमेय- या कम से कम एसी की अनुपस्थिति में इसका सबसे स्वाभाविक कथन ZF में सिद्ध है। लेकिन इस गलती को मोडुलो, जो मैं नीचे कहता हूं वह अभी भी अनिवार्य रूप से सही है। ] हालांकि, यदि आप लेबल परिमित रेखांकन पर मामूली संबंध के प्राकृतिक संख्याओं द्वारा एक विशेष एन्कोडिंग लिखते हैं, और इस विशेष आंशिक आदेश के बारे में एक बयान के रूप में ग्राफ मामूली प्रमेय वाक्यांश देते हैं, तो कथन अंकगणितीय हो जाता है और इसमें एसी की आवश्यकता नहीं होती है सबूत।

अधिकांश लोगों को लगता है कि ग्राफ की "कॉम्बीनेटरियल सार" मामूली प्रमेय पहले से ही उस संस्करण द्वारा कब्जा कर ली गई है जो किसी विशेष एन्कोडिंग को ठीक करता है, और यह कि एसी को सब कुछ लेबल करने के लिए आह्वान करने की आवश्यकता है, इस घटना में कि आपको सामान्य सेट के साथ प्रस्तुत किया जाता है- समस्या का सिद्धांत, संस्करण तार्किक सिद्धांत के रूप में अंकगणित के बजाय सेट सिद्धांत का उपयोग करने के निर्णय के एक अप्रासंगिक विरूपण साक्ष्य की तरह है। यदि आप भी ऐसा ही महसूस करते हैं, तो ग्राफ मामूली प्रमेय को एसी की आवश्यकता नहीं है। ( गणित की मेलिंग लिस्ट के फाउंडर्स अली अलीयत की यह पोस्ट भी देखिए , इसी तरह के एक सवाल के जवाब में लिखा गया था जो मेरे पास एक बार था)

विमान की वर्णनात्मक संख्या का उदाहरण इसी तरह व्याख्या का विषय है। ऐसे कई सवाल हैं जो आप पूछ सकते हैं कि यदि आप एसी को मानते हैं तो आप समकक्ष हैं, लेकिन यदि आप एसी नहीं मानते हैं तो अलग-अलग प्रश्न हैं। TCS के दृष्टिकोण से, प्रश्न का दहनशील हृदय विमान के परिमित उपग्रहों की वर्णनीयता है, और यह तथ्य कि आप तब (यदि आप चाहें) एक कॉम्पैक्टनेस तर्क का उपयोग कर सकते हैं (यह वह जगह है जहाँ AC आता है) कुछ निष्कर्ष निकालने के लिए पूरे विमान की रंगीन संख्या के बारे में मनोरंजक है, लेकिन कुछ हद तक स्पर्शात्मक रुचि के। इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह वास्तव में अच्छा उदाहरण है।

मुझे लगता है कि अंततः आपके पास यह पूछने के लिए अधिक भाग्यशाली हो सकता है कि क्या कोई टीसीएस प्रश्न हैं जिनके समाधान के लिए बड़े एसीडियल स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है (बजाय एसी के)। हार्वे फ्रीडमैन के कार्य से पता चला है कि ग्राफ सिद्धांत में कुछ विशिष्ट बयानों को बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध (या कम से कम 1-इस तरह के स्वयंसिद्ध) की आवश्यकता हो सकती है। फ्रीडमैन के उदाहरण अब तक थोड़े कृत्रिम हैं, लेकिन हमारे जीवन काल के भीतर टीसीएस में "स्वाभाविक रूप से" समान रूप से फसल के उदाहरण देखकर मुझे आश्चर्य नहीं होगा।

— टिमोथी चौ
स्रोत

8

बहुरूपता के साथ टाइप किए गए लैम्ब्डा पथरी के लिए सामान्यीकरण की प्रक्रिया के लिए कम से कम 2-क्रम अंकगणित की आवश्यकता होती है, और अधिक उदार प्रकार के सिद्धांतों के लिए समान दिखाने के लिए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों की आवश्यकता हो सकती है, हालांकि काफी मामूली होते हैं। IIRC, Coq के सामान्यीकरण के प्रमाण को बहुत अधिक दुर्गम की जरूरत है, क्योंकि आप इसका उपयोग Grothendieck- शैली ब्रह्मांड के तर्कों को कोड करने के लिए कर सकते हैं।

— नील कृष्णस्वामी

3

@ नील: अच्छा बिंदु, हालांकि IMO ये उदाहरण "धोखा" देता है क्योंकि यह स्पष्ट है कि तार्किक प्रणाली की स्थिरता को साबित करने के लिए आपको मजबूत तार्किक स्वयंसिद्धों की आवश्यकता हो सकती है।

— टिमोथी चो

4

मुझे यह उत्तर पसंद है क्योंकि यह बताता है कि टीसीएस में पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अत्यंत दुर्लभ क्यों लगता है।

— त्सुयोशी इतो

11

@Tsuyoshi: वास्तव में यह और भी मुश्किल, एक उदाहरण के एक बस नहीं अंकगणितीय पदानुक्रम ऊपर लेकिन यह भी ऊपर जाने की जरूरत है मिल रहा है , के बाद से सभी के परिणामों पहले से ही में साध्य हैं ।

Π_{3}^{1}

$\Pi^1_3$

Π_{3}^{1}

$\Pi^1_3$

Z F C

$ZFC$

Z F

$ZF$

— केवह

1

यह उत्तर सामुदायिक ब्लॉग पर चित्रित किया गया है।

— हारून स्टर्लिंग

39

मेरी समझ यह है कि रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय के लिए ज्ञात प्रमाण Axiom of Choice (Kruskal के पेड़ की प्रमेय के माध्यम से) का उपयोग करता है। यह टीसीएस के दृष्टिकोण से काफी दिलचस्प है, क्योंकि रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय का अर्थ है कि रेखांकन के किसी भी मामूली-बंद परिवार में सदस्यता परीक्षण बहुपद समय में किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, पसंद के Axiom का उपयोग अप्रत्यक्ष रूप से यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि बहुपद समय एल्गोरिदम कुछ समस्याओं के लिए मौजूद है, वास्तव में उन एल्गोरिदम का निर्माण किए बिना।

हालांकि, यह वही नहीं हो सकता है जो आप ढूंढ रहे हैं, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि एसी वास्तव में यहां आवश्यक है या नहीं।

— जेने एच। कोरोहेन
स्रोत

यह एक अच्छी शुरुआत है, क्योंकि यह नहीं पता कि प्रमेय को कैसे साबित किया जाए।

— रयान विलियम्स

7

जैसा कि विकिपीडिया पृष्ठ पर उल्लिखित है, ग्राफ माइनर प्रमेय के मेटामैटमैटिक्स पर फ्रीडमैन, रॉबर्टसन और सीमोर द्वारा लिखे गए पेपर से पता चलता है कि ग्राफ मामूली प्रमेय का तात्पर्य आधार सिद्धांत RCA_0 से अधिक क्रुस्कल के वृक्ष सिद्धांत से है, इसलिए यह इस बात को स्थापित करता है कि क्रुस्कल की वृक्ष प्रमेय एक मजबूत अर्थ में ग्राफ लघु प्रमेय के लिए आवश्यक है। हालांकि, क्या इसका मतलब यह है कि ग्राफ के लिए पसंद का स्वयंसिद्ध होना आवश्यक है लघु प्रमेय थोड़ा मुश्किल सवाल है। यह सूक्ष्म रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि आप ग्राफ़ को मामूली प्रमेय बताने के लिए कैसे चुनते हैं। अधिक जानकारी के लिए मेरा जवाब देखें।

— टिमोथी चो

7

एमिल जेराबेक पर दिखाया गया है MathOverflow पसंद का स्वयंसिद्ध बिना रॉबर्टसन-सेमुर प्रमेय साबित करने के लिए कैसे। यह मेरे लिए आश्चर्यजनक था क्योंकि मैं भी इस धारणा के तहत था कि बेलगाम ग्राफ के लिए रॉबर्टसन-सीमोर को एसी की आवश्यकता थी, लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक गलत धारणा थी।

— टिमोथी चाउ

तो स्वीकृत उत्तर वास्तव में गलत है?

— बाउर २ Andrej

@AndrejBauer: यदि आप मेरे उत्तर की बात कर रहे हैं, तो आप सही हैं कि मैंने रॉबर्टसन-सीमोर के बारे में जो कहा है वह गलत है। मैंने अभी-अभी अपने उत्तर को संपादित करने की कोशिश की लेकिन नहीं कर सका। शायद मेरे पास इतनी पुरानी पोस्ट को संपादित करने के लिए पर्याप्त प्रतिष्ठा नहीं है।

— टिमोथी चाउ

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यह जनने कोरहोनेन द्वारा दिए गए उत्तर से संबंधित है।

80 और 90 के दशक में परिणामों की एक धारा थी जिसने क्रूसिकल ट्री प्रमेय (KTT; मूल KTT 1960 से है) के विस्तार को साबित करने के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों (दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय सिद्धांत) को चिह्नित करने की कोशिश की थी। विशेष रूप से, हार्वे फ्रीडमैन ने इस लाइन का अनुसरण करते हुए कई परिणाम साबित किए (एसजी सिम्पसन देखें। परिमित पेड़ों के कुछ दहनशील गुणों की गैर-लाभप्रदता । ला हैरिंगटन एट अल।, संपादक, हार्वे फ्रीडमैन के गणित के नींव पर अनुसंधान। एलेसेवियर, नॉर्थ-हॉलैंड, 1985)। । इन परिणामों से पता चला है कि (केटीटी के कुछ एक्सटेंशनों में "मजबूत" कॉम्प्रिहेंशन एशियॉम्स (यानी, एक्सिओम्स का कहना है कि उच्च तार्किक जटिलता के कुछ सेट मौजूद हैं) का उपयोग करना चाहिए। मैं ZF में KTT के विस्तार की पसंद के बारे में ठीक से नहीं जानता (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना)।

परिणामों की इस धारा के समानांतर, इसे रीराइट सिस्टम के माध्यम से ("थ्योरी बी") टीसीएस से जोड़ने का प्रयास किया गया था । विचार पुनर्लेखन प्रणालियों का निर्माण करने के लिए है (इसे एक प्रकार की कार्यात्मक प्रोग्रामिंग, या लंबो-कैलकुलस प्रोग्राम के रूप में देखें) जिसके लिए उनकी समाप्ति केटीटी के कुछ (एक्सटेंशन) पर निर्भर करती है (केटीटी और रीराइट सिस्टम समाप्ति के बीच मूल संबंध एन द्वारा सिद्ध किया गया था) । डर्स्वाइट्ज़ (1982))। इसका मतलब यह है कि यह दिखाने के लिए कि कुछ कार्यक्रमों को एक मजबूत स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है (चूंकि केटीटी के विस्तार को ऐसे स्वयंसिद्धों की आवश्यकता है)। इस प्रकार के परिणामों के लिए, उदाहरण के लिए देखें। ए। वेरमन, क्रुस्क्ल की प्रमेय के कुछ परिमित रूपों के लिए जटिलता की सीमाएं , जर्नल ऑफ़ सिम्बोलिक कंपीटिशन 18 (1994), 463-488।

— इदो तजामृत
स्रोत

16

Hadwiger-नेल्सन समस्या स्पर्शरेखीय संबंधित है और विमान रंग करने के लिए आवश्यक रंग की न्यूनतम संख्या के लिए पूछता है जहां दूरी वास्तव में 1 पर अंक दिए जाते हैं अलग अलग रंग। वहाँ परिमित उपसमूह मौजूद हैं, जिनमें चार रंगों की आवश्यकता होती है और हेक्सागोन्स के साथ विमान को बांधकर एक रचनात्मक सात-रंग होता है। ${\mathbb R}^2$

में शेला और Soifer, "चुनाव और विमान के रंगीन संख्या के स्वयंसिद्ध," यह दिखाया गया है कि अगर विमान के सभी परिमित subgraphs चार रंगीन है, तो कर रहे हैं

यदि आप पसंद के स्वयंसिद्ध मान लेते हैं, तो विमान चार-रंगीन है।
यदि आप आश्रित विकल्पों के सिद्धांत को मानते हैं और यह कि सभी सेट लेब्सेग औसत दर्जे के हैं, तो विमान पाँच है, छह-, या सात-क्रोमेटिक।

— डेरिक स्टोले
स्रोत

क्या यह टीसीएस-उन्मुख की तुलना में अधिक गणित-उन्मुख नहीं है?

— बजे एमएस डौस्ती

इसीलिए मैंने कहा "संबंधित रूप से"। रंग समस्याएं टीसीएस-उन्मुख हैं, बस यह विशिष्ट नहीं है।

— डेरिक स्टोल

4

अहम। यह ज्यामितीय वस्तुओं को रंगने के बारे में है। दुनिया भर के जियोमीटर अब आपकी दिशा में भेजने के लिए -थिन स्लिवर्स तैयार कर रहे हैं :)

α

$\alpha$

— सुरेश वेंकट

अति उत्कृष्ट। मान्यकरण।

— डेरिक स्टोले

5

ओलिवियर फिंकेल के कुछ काम सवाल से संबंधित प्रतीत होते हैं --- हालांकि आवश्यक रूप से पसंद के Axiom के बारे में स्पष्ट रूप से नहीं --- और टिमोथी चाउ के जवाब के अनुरूप। उदाहरण के लिए, अपूर्ण शब्द सिद्धांत, बड़े कार्डिनल और ऑटोमेटा को परिमित शब्दों , TAMC 2017 , के सार को उद्धृत करते हुए ,

व्यक्ति परिमित शब्दों पर विभिन्न प्रकार के ऑटोमेटा का निर्माण कर सकता है, जिसके लिए कुछ प्राथमिक गुण वास्तव में पूर्णांक के लिए, मजबूत सेट से स्वतंत्र हैं। । $T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$ $n \geq 0$

— सिल्वेन
स्रोत

3

[यह आपके सवाल का सीधा जवाब नहीं है, फिर भी यह कुछ लोगों के लिए विचारोत्तेजक और / या सूचनात्मक हो सकता है।]

विलियम गैसर्च के पी बनाम एनपी पोल "पी बनाम एनपी को कैसे हल किया जाएगा" पर कुछ आंकड़े देता है:

61 ने सोचा 61 एनपी।
9 ने सोचा पी = एनपी।
4 ने सोचा कि यह स्वतंत्र है । हालांकि किसी विशेष स्वयंसिद्ध प्रणाली का उल्लेख नहीं किया गया था, मुझे लगता है कि उन्हें लगता है कि यह जेडएफसी से स्वतंत्र है ।
3 बस कहा कि यह आदिम पुनरावर्ती अंकगणित से स्वतंत्र नहीं है ।
1 ने कहा कि यह मॉडल पर निर्भर करेगा।
22 ने कोई राय नहीं दी।

विकिपीडिया का स्वतंत्रता पर एक दिलचस्प प्रभाव है:

... इन बाधाओं ने कुछ कंप्यूटर वैज्ञानिकों को यह सुझाव देने के लिए भी प्रेरित किया है कि पी बनाम एनपी समस्या जेडएफसी जैसी मानक स्वयंसिद्ध प्रणालियों से स्वतंत्र हो सकती है (उनके भीतर साबित या अस्वीकृत नहीं हो सकती)। एक स्वतंत्रता परिणाम की व्याख्या यह हो सकती है कि या तो कोई एनपी-पूर्ण समस्या के लिए कोई बहुपद-काल एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है, और इस तरह के प्रमाण का निर्माण (जैसे) ZFC में नहीं किया जा सकता है, या NP-पूर्ण समस्याओं के लिए बहुपद-काल एल्गोरिदम मौजूद हो सकते हैं। लेकिन ZFC में यह साबित करना असंभव है कि ऐसे एल्गोरिदम सही हैं [ १]। हालाँकि, अगर यह दिखाया जा सकता है कि वर्तमान में लागू होने वाली सॉर्ट की तकनीकों का उपयोग करके, कि समस्या को बहुत कमज़ोर धारणाओं के साथ भी तय नहीं किया जा सकता है, जो पूर्णांक अंकगणित के लिए पीनो एक्सिओम्स (पीए) का विस्तार करता है, तो आवश्यक रूप से लगभग मौजूद होगा- एनपी [ 2 ] में हर समस्या के लिए बहुपद-काल एल्गोरिदम । इसलिए, यदि कोई मानता है (जैसा कि अधिकांश जटिलता सिद्धांतकार करते हैं) कि एनपी में सभी समस्याओं में कुशल एल्गोरिदम नहीं हैं, तो यह पालन करेगा कि उन तकनीकों का उपयोग करके स्वतंत्रता के प्रमाण संभव नहीं हो सकते हैं। इसके अतिरिक्त, इस परिणाम का अर्थ है कि वर्तमान में ज्ञात तकनीकों का उपयोग करके पीए या जेडएफसी से स्वतंत्रता साबित करना एनपी में सभी समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम के अस्तित्व को साबित करने से आसान नहीं है।

— एमएस डौस्ती
स्रोत

5

एक और रोचक तथ्य (विकिपीडिया से भी) यह है कि, ZFC में स्वतंत्रता साबित करने के लिए मुख्य (केवल?) सामान्य तकनीक, यह साबित नहीं कर सकती कि P =? NP ZFC से स्वतंत्र है। यह शोनीफील्ड की निरपेक्षता प्रमेय का एक पुंज है।

— ट्रैविस सर्विस

धन्यवाद ट्रैविस। यहाँ सूचक है: en.wikipedia.org/wiki/Absoluteness । यह भी देखें cs.uwaterloo.ca/~shai/P%20vs%20NP-2.ppt और blog.computationalcomplexity.org/2009/09/... ।

— बजे एमएस डौस्ती

ध्यान दें कि बिल एक और सर्वेक्षण ले रहा है, जो एक और महीने के लिए खुला है: blog.computationalcomplexity.org/2011/06/…

— चार्ल्स

@Charles: अपडेट के लिए धन्यवाद। मैं समुदाय की हालिया सर्वसम्मति को जानने के लिए वास्तव में उत्सुक हूं।

— बजे एमएस डौस्ती

2

इस प्रश्न को पढ़ने की मेरी धारणा है कि किसी समस्या का कोई उपयुक्त उदाहरण नहीं है जिसके लिए केवल PA से अधिक की आवश्यकता होती है (अकेले ZF) दिए गए हैं, और टिमोथी चाउ द्वारा उत्कृष्ट उत्तर बताते हैं कि उदाहरणों को खोजना इतना कठिन क्यों है। हालाँकि, TCS के कुछ उदाहरण हैं जो अंकगणित के दायरे से परे हैं, इसलिए मैंने सोचा कि मैं एक प्रमेय दूंगा जिसमें तुलना में सख्ती की आवश्यकता होती है । हालाँकि इसके लिए पूर्ण स्वयंसिद्ध विकल्प की आवश्यकता नहीं है, इसके लिए एक कमजोर संस्करण की आवश्यकता होती है। $ZF$

डी Bruijin-Erdos प्रमेय ग्राफ में सिद्धांत बताता है कि एक ग्राफ, के रंगीन संख्या , की sup है के रूप में के भर में परिमित subgraphs पर्वतमाला । ध्यान दें कि निष्कर्ष परिमित लिए तुच्छ रूप से संतुष्ट है , इसलिए यह अनंत रेखांकन के बारे में एक दिलचस्प कथन है। इस प्रमेय के कई अलग-अलग प्रमाण हैं, लेकिन मेरा पसंदीदा टाइकोनोव के प्रमेय को उद्घाटित करना है। $G$ $\chi(H)$ $H$ $G$ $G$

जैसा कि मैंने विकिपीडिया लेख से जोड़ा था, इस प्रमेय में वास्तव में और वास्तव में से अधिक की आवश्यकता है , हालांकि यह "पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध" की आवश्यकता के रूप में दूर तक नहीं जाता है। विकिपीडिया पृष्ठ पर इसका एक भयानक रूप से अप्राप्य प्रमाण है, लेकिन मूल रूप से प्रमेय सोलोव मॉडल में एक चतुर निर्माण के कारण होता है जिसमें माप सिद्धांत शामिल है। $ZF$

— स्टेला बिडरमैन
स्रोत

अच्छा उदाहरण है। मुझे लगता है कि टिमोथी चाउ ने विमान की वर्णनात्मक संख्या के बारे में पैराग्राफ में इस तरह का उदाहरण दिया था।

— सैशो निकोलोव

@ साशिकोइकोलॉव रेखांकन की वर्णनीयता मेरे दिमाग में है, स्पष्ट रूप से एक TCS समस्या भी जब रेखांकन अनंत हैं। Hadwiger-Nelson समस्या TCS के दायरे में बहुत कम स्पष्ट रूप से है, जैसा कि टिप्पणीकारों ने बताया और उस उत्तर के ओपी सहमत हुए। इसके विपरीत, मुझे नहीं लगता कि कोई भी ऐसा व्यक्ति होगा जो इस प्रमेय को देखेगा और "यह वास्तव में एक सीएस समस्या नहीं है"

— स्टेला बिडरमैन

मुझे बिल्कुल भी अंतर दिखाई नहीं देता: हैडविग-नेल्सन एक अनंत ज्यामितीय ग्राफ को भी रंगने के बारे में है। किसी भी मामले में, मैं वास्तव में दोनों उदाहरणों को पसंद करता हूं और उत्थान करता हूं और मुझे लगता है कि यह टीसीएस और गणित के अन्य क्षेत्रों के बीच बहुत अंतर को आकर्षित करने की कोशिश करना बेकार है।

— साशो निकोलोव