एबेलियन छिपी उपसमूह समस्या के लिए क्वांटम एल्गोरिदम को समझने में कठिनाई

Question

मुझे AHSP एल्गोरिदम के अंतिम चरणों को समझने में कठिनाई हुई है। चलो $G$ हो एक अबेलियन समूह और $f$ समारोह जो उपसमूह छुपाता हो $H$ । चलो $G^*$ के दोहरे समूह का प्रतिनिधित्व $G$ ।

यहां एल्गोरिदम के चरण दिए गए हैं

1. पहले राज्य तैयार करें,

   $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$।

2. फिर क्वांटम ऑरेकल लागू करें जो I पर मूल्यांकन करता है , हमें मिलता है$f$$I$

   $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ ।

3. अब की दूसरी कोटि को मापें $I'$, हम प्राप्त करते हैं

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   कुछ के लिए $r \in G$ ।

4. अब हम क्वांटम फूरियर रूपांतरण को पहले क्वेट पर लागू करते हैं, जो हमें मिलता है

   $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$,

   जहां ।$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

अब राज्य से समूह एच के जनरेटर कैसे प्राप्त कर सकता हूं ?$I_m$$H$

Comments

मैं दृढ़ता से एंड्रयू चिल्ड्स के व्याख्यान नोट्स को AHSP पर पढ़ने की सलाह देता हूं। वे math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— रॉबिन कोठारी

Answer 1

यह शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग अबेलियन समूहों के कई गैर-तुच्छ समूह सैद्धांतिक गुणों का शोषण करता है। मैंने एक शास्त्रीय व्याख्या लिखी कि यह शास्त्रीय एल्गोरिदम यहाँ कैसे काम करता है [1] ; अन्य अच्छे स्रोतों के बारे में पढ़ने के लिए [ 2 , 3 , 4 ] हैं।

$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

$H$$H^{*}$

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चरित्र सिद्धांत

$G$$G$

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

$H$$H^*$$H$$H$

1. $H^*$$G$

2. $H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

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समूहों पर रेखीय समीकरण

$X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$इस तरह से कि ऊपर की समस्या को फिर से किया जा सकता है जैसा कि जिसे हम मानते हैं। । $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ $Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

अंतिम कुंजी अवलोकन यह है कि इन प्रणालियों के समाधानों को स्वीकार करने, उन्हें गिनने और उन्हें खोजने के लिए कुशल शास्त्रीय एल्गोरिदम मौजूद हैं (हम [1] में कुछ सर्वेक्षण करते हैं )। समाधानों का समूह हमेशा , जहाँ एक विशेष समाधान होता है और ( का एक उपसमूह ) का कर्नेल होता है । ये शास्त्रीय एल्गोरिदम सिस्टम का एक विशेष समाधान खोज सकते हैं और एक जेनरेटिंग सेट की गणना करते हैं । ये शास्त्रीय एल्गोरिदम स्मिथ सामान्य रूपों का महत्वपूर्ण उपयोग करते हैं$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ सिस्टम को लगभग विकर्ण रूप में फिर से लिखना (कुछ अन्य मध्यवर्ती कदम आवश्यक हैं, लेकिन यह आपको सहज चित्र देना चाहिए)।

समीकरणों की प्रणाली जो आप अपने मामले में प्राप्त करते हैं, छिपे हुए उपसमूह एन्कोड करता है । विशेष रूप से कुछ समूह होमोमोर्फिज्म के लिए फॉर्म । का कर्नेल ठीक छिपे हुए उपसमूह है। उस मामले में एक विशेष समाधान 0, तुच्छ है।$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

Answer 2

आपके चरण 4 के बाद, कम्प्यूटेशनल आधार में को यादृच्छिक रूप से हमें एक । χ ∈ जी $I_m$$\chi \in G^*$

हम तो सभी चरणों आप दे दिया है दोहराने की एक सूची प्राप्त करने के लिए बार की दोहरी समूह में पात्रों । वर्णों की यह सूची दोहरे समूह का उपसमूह उत्पन्न करती है ।n जी के जी $n$$n$$G$$K$$G^*$

हम तब (शास्त्रीय रूप से) सभी संभावित उपसमूह माध्यम से जांच करते हैं कि है जहां एक को खोजने । एच ∗$H$$H^*$$K$

फिक्स्ड यह हमेशा एक अनूठा मैच नहीं होता है, इसलिए जब पतन होता है तो हम सिर्फ सबसे बड़ा मैच चुनेंगे (जैसा कि तुच्छ उपसमूह सभी वर्णों की सूची से मेल खाएगा)।$n$