बंधी-बंधाई-बंधाई-आवृत्ति सेट कवर: सन्निकटन की कठोरता

Question

निम्नलिखित प्रतिबंधों के साथ न्यूनतम सेट कवर समस्या पर विचार करें : प्रत्येक सेट में अधिकांश तत्व होते हैं और ब्रह्मांड का प्रत्येक तत्व सबसे सेट पर होता है ।$k$$f$

• उदाहरण: केस और अधिकतम डिग्री 4 के साथ रेखांकन में न्यूनतम शीर्ष कवर समस्या के बराबर है।$k = 4$$f = 2$

मान लें सबसे बड़ा मान है जैसे कि और साथ न्यूनतम सेट कवर समस्या का -प्रतिरोध एनपी-हार्ड है।$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• उदाहरण: ( बर्मन एंड 1999 )।$a(4,2) \ge 1.0128$

प्रश्न: क्या हमारे पास एक संदर्भ है जो कि पर सबसे मजबूत ज्ञात निचली सीमाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करता है ? विशेष रूप से, मैं इस मामले में ठोस मूल्यों में दिलचस्पी रखता हूं कि और दोनों छोटे लेकिन ।$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

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सेट कवर समस्या के प्रतिबंधित संस्करण अक्सर कटौती में सुविधाजनक होते हैं; आम तौर पर और के मूल्यों को चुनने में कुछ स्वतंत्रता होती है , और पर आगे की जानकारी सही मानों को चुनने में मदद करेगी जो सबसे मजबूत कठोरता परिणाम प्रदान करते हैं। यहाँ संदर्भ , यहाँ , और यहाँ एक प्रारंभिक बिंदु प्रदान करते हैं, लेकिन जानकारी कुछ पुरानी और खंडित है। मैं सोच रहा था कि क्या कोई और पूर्ण और अद्यतित स्रोत है?$k$$f$$a(k,f)$

Comments

अब तक उत्तर देते रहने के लिए धन्यवाद! आइए एक इनाम शुरू करें और देखें कि क्या हमें अधिक भागीदारी मिल सकती है। समस्वरता के लिए, मुझे इनाम देने में खुशी होगी यदि कोई व्यक्ति गैर-तुच्छ कम पर बँधा हुआ सूचक देता है । $a(3,3)$

— जुक्का सुओमेला

... और इनाम उस जवाब पर गया जिसने कुछ ऐसा दिया जो निचले हिस्से के सबसे करीब था , लेकिन निष्पक्षता के लिए, मैंने सबसे गहन उत्तर को स्वीकार करने का फैसला किया। सभी को धन्यवाद; ऐसा लगता है कि का मामला वास्तव में खुला है। $a(3,3)$$a(3,3)$

— जुका सुकोमेला

Answer 1

अधिक आम पैरामीटर अंकन का उपयोग के बजाय , इस के बराबर में वर्टेक्स कवर समस्या है (और मैं और अधिक सामान्यतः के रूप में जाना लगता है) अधिकतम डिग्री के -uniform hypergraphs । जोर देने के लिए, साहित्य के साथ संगति के लिए मैं का उपयोग कर रहा हूं जहां आप , और उपयोग करते हैं जहां आप उपयोग करते हैं ।$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

किसी भी निरंतर , अनदेखी परिणामों में शामिल हैं$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$सामान्य सेट कवर से ।
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ जैसा कि लेव द्वारा बताया गया है (दिनूर एट अल।, 2004) ।
• यदि अद्वितीय गेम अनुमान सही है, तो , जो तंग है (खोत और बदला, 2008) ।$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

ध्यान न देना ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (तुच्छ)।
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (होल्मरिन, 2002)

एकमात्र परिणाम मुझे पता है कि दो मापदंडों को जोड़ती है

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ लिए फिक्स्ड , या धीरे से (हेल्परिन, 2002) के साथ बढ़ रहा है$k$$k$$\Delta$

इस समस्या और (कमजोर) स्वतंत्र सेट समस्या के बीच एक संबंध है, लेकिन मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि वे अनुमानितता के संदर्भ में कैसे संबंधित हैं। मैं इसकी जाँच करने की सलाह दूंगा, शायद यहाँ से शुरू: [PDF] ।

Comments

संकेत के लिए धन्यवाद, और कुछ भ्रमित मापदंडों का उपयोग करने के लिए माफी माँगता हूँ। (मैंने "न्यूनतम -set कवर" में पैरामीटर के उपयोग के साथ संगत होने की कोशिश की , और मैंने वज़ीरानी की पुस्तक में प्रयुक्त संकेतन का पालन करने का फैसला किया।)$k$$k$

— जुका सुकोएला

Answer 2

जेम्स किंग का जवाब, अंकन में के रूप में, का उपयोग करते हुए सबसे अच्छा संभव बहुपद समय शीर्ष कवर का में सन्निकटन के लिए डिग्री के -uniform hypergraphs ज्यादा से ज्यादा , हम भी है$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

सेट कवर के लिए लालची सन्निकटन एल्गोरिथ्म से: ज्यादा से ज्यादा डिग्री के hypergraphs में शीर्ष कवर ज्यादा से ज्यादा आकार के सेट के साथ सेट कवर समस्या के रूप में ही है , जिसके लिए लालची एल्गोरिथ्म ज्यादा से ज्यादा सन्निकटन अनुपात है , जहाँ कार्य है।$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

में इस पत्र मुझे लगता है कि दिखाने

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

जब तक कि , फीगे की कमी में मापदंडों को बदलकर।$P=NP$

Answer 3

बस के मामले में आप पहले से ही यह नहीं मिला; बाउंड-डिग्री वर्टेक्स कवर के लिए सबसे हालिया कठोरता परिणाम मुझे हाल ही में खोज में पाया गया है च्लेबिक और कोलेबिकोवा , उदाहरण के लिए क्यूबिक ग्राफ़ में लगभग 1.01-कठोरता।

Answer 4

यह आपके प्रश्न का काफी जवाब नहीं देता है, लेकिन शायद यह मदद कर सकता है - एक पेपर है [दिनुर एट अल। 2004] जिसमें f> 2 शामिल है (लेकिन लगता है कि k को ठीक नहीं किया जाएगा)।