संगणना की ज्यामितीय व्याख्या


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भौतिकी से होने के कारण, मुझे ज्यामितीय दृष्टिकोण से बहुत सारी समस्याओं को देखने के लिए प्रशिक्षित किया गया है। उदाहरण के लिए डायनेमिक सिस्टम आदि में मैनिफोल्ड्स के डिफरेंशियल ज्योमेट्री जब मैं कंप्यूटर साइंस की नींव पढ़ता हूं, तो मैं हमेशा ज्योमेट्रिकल इम्प्रूवमेंट खोजने की कोशिश करता हूं। पुनरावर्ती असंख्य सेटों की एक प्रशंसनीय ज्यामितीय व्याख्या की तरह (मैंने एक हिस्से पर काम किया, जहां मैंने उन्हें डायोफैंटाइन सेट के साथ समानता का उपयोग करके बीजगणितीय ज्यामिति से जोड़ने की कोशिश की, लेकिन कनेक्शन मजबूर लग रहा था और मुझे इसमें तथ्यों की "प्राकृतिक" अभिव्यक्ति नहीं मिली। सूत्रीकरण) या संख्याओं को छांटने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म के लिए एक सुंदर ज्यामितीय परिणाम। हालांकि मैं एक विशेषज्ञ नहीं हूं, मैंने ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत पर सर्वेक्षण पढ़ा है और यह निश्चित रूप से एक दिलचस्प कार्यक्रम है लेकिन मुझे ट्यूरिंग मशीन, लैम्बडा कैलकुलस या एक संरचना की गतिशीलता जैसे अत्यंत मौलिक अवधारणाओं के ज्यामितीय दृष्टिकोण रखने में अधिक दिलचस्पी है। संयुक्त राष्ट्र) कम्प्यूटेशनल सेट (विशिष्ट समस्याओं के बजाय)। क्या इन वस्तुओं में ज्यामितीय संरचना खोजना एक निराशाजनक काम है या कुछ जटिल परिणामों की उम्मीद कर सकते हैं? क्या टीसीएस का कोई सूत्रीकरण है जो इसे ज्यामितीय रूप से मानता है?


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मुझे लगता है कि यह सवाल बहुत ही चिंताजनक है और बहुत स्पष्ट नहीं है और इसमें सुधार करने की जरूरत है। यह मुझे लगता है कि संक्षेप में आप टीसीएस के ज्यामितीय निर्माण और उपचार के बारे में एक संदर्भ अनुरोध प्रश्न पूछ रहे हैं।
केव

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यदि आप उन्हें कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत सीखने में सक्षम होने के लिए देख रहे हैं तो आप बहुत भाग्यशाली नहीं होंगे क्योंकि ये काम आमतौर पर ऐसे लोगों के लिए लिखे जाते हैं जो कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के क्लासिक उपचार में पारंगत हैं। यदि आप कम्प्यूटेशनल सिद्धांत सीखना चाहते हैं तो आपको नई भाषा सीखनी होगी। उस ने कहा, कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के श्रेणीबद्ध उपचार हैं (लेकिन जैसा कि मैंने कहा कि वे उन लोगों के लिए लिखे गए हैं जो कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत जानते हैं)।
केव

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@ केव, यह बहुत उपयोगी होगा यदि आप मुझे कम्प्यूटेशनल थ्योरी के एक श्रेणीबद्ध उपचार के लिए एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं। यद्यपि आपने कहा था, यह कम्प्यूटेशनल उपचार के शास्त्रीय उपचार की कठोर समझ के बिना समझ में नहीं आ सकता है, मैं वहां पहुंचने के लिए अपनी पूरी कोशिश कर रहा हूं।
स्वर्णिम_नारायण

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आपके प्रश्न के संदर्भ में ज्यामिति का क्या अर्थ है?
मार्टिन बर्गर

@wang, मुझे लगता है कि "से श्रेणी सिद्धांत परिप्रेक्ष्य कम्प्यूटेबिलिटी के लिए संदर्भ अनुरोध" एक नया अलग प्रश्न हो सकता है, और वहाँ Andrej अन्य लोगों की तरह (जैसे देख रहे हैं इस ) है जो इसे ज्यादा बेहतर की तुलना में मैं कर सकते हैं जवाब कर सकते हैं।
केव

जवाबों:


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कंप्यूटर प्रोग्राम के शब्दार्थ को ज्यामितीय रूप से तीन अलग-अलग (और स्पष्ट रूप से असंगत) तरीकों से समझा जा सकता है।

  • सबसे पुराना दृष्टिकोण डोमेन सिद्धांत के माध्यम से है । डोमेन सिद्धांत के पीछे अंतर्ज्ञान विषमता के पीछे समाप्ति और गैर-समाप्ति से उत्पन्न होता है।

    जब बाह्य रूप से कार्यक्रमों का उपचार किया जाता है (अर्थात, केवल उनके I / O व्यवहार को देखते हुए, और उनकी आंतरिक संरचना को नहीं), तो हमेशा यह सुनिश्चित करना संभव है कि परिमित समय में यह सुनिश्चित किया जाए कि कोई कार्यक्रम रुकता है - आप बस रुकने तक प्रतीक्षा करें। हालाँकि, यह पुष्टि करना संभव नहीं है कि कोई कार्यक्रम रुकता नहीं है , क्योंकि आप कितने समय तक प्रतीक्षा करते हैं, हमेशा एक रुकने वाला कार्यक्रम होता है जो आपके इंतजार में कुछ और चरणों के लिए चलेगा।

    नतीजतन, हॉल्टिंग और लूपिंग को एक टोपोलॉजिकल स्पेस ( Sierpiński स्पेस ) बनाने के रूप में देखा जा सकता है । यह अवलोकन (स्कॉट टोपोलॉजी के माध्यम से) की समृद्ध धारणाओं को जीवंत करता है, और आप कार्यक्रमों को टोपोलॉजिकल स्पेस के तत्वों के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। ये स्थान आम तौर पर पारंपरिक दृष्टिकोण से काफी आश्चर्यजनक हैं - डोमेन आमतौर पर हॉसडॉर्फ नहीं हैं।

    इन विचारों के बारे में मुझे जो सबसे अच्छा मनोवैज्ञानिक परिचय है, वह है तर्क के माध्यम से स्टीव विकर्स की लघु और बेहद सुलभ टोपोलॉजी । इसे पीटर जॉनस्टोन के काफी अधिक दुर्जेय स्टोन स्पेसेस के लिए वार्म-अप के रूप में समझा जा सकता है ।

    यदि आप ऑनलाइन व्याख्यान नोट्स की तलाश कर रहे हैं, तो मुझे मार्टिन एस्कोर्डो के डेटा प्रकार और शास्त्रीय रिक्त स्थान के सिंथेटिक टोपोलॉजी का सुझाव दें ।

  • एक और विचार समवर्ती सिद्धांत से उत्पन्न होता है। एक समवर्ती कार्यक्रम को कई वैध निष्पादन (राज्यों के अनुक्रम) के रूप में समझा जा सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि दौड़ कैसे हल की जाती है। फिर, निष्पादन के सेट को एक स्थान के रूप में देखा जा सकता है, इस स्थान के माध्यम से राज्यों के प्रत्येक संभव अनुक्रम को पथ के रूप में समझा जाता है। फिर, बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोटॉपी सिद्धांत से तरीकों को कार्यक्रम के निष्पादन के बारे में व्युत्पादकों पर लागू किया जा सकता है।

    Nir Shavit और Maurice Herlihy इस विचार का उपयोग कुछ वितरित एल्गोरिदम की असंभवता को साबित करने के लिए करते हैं, जिसके लिए उन्होंने 2004 Gödel पुरस्कार जीता। ( अतुल्यकालिक संगणना के सामयिक संरचना को देखें ।) एरिक गौबॉल्ट ने एक सर्वेक्षण पत्र दिया है जिसमें कंसीडर थ्योरी में कुछ ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य में प्रासंगिक विचारों को समझाया गया है ।

  • हाल ही में, यह देखा गया है कि आश्रित प्रकार के सिद्धांत में पहचान प्रकार की संरचना समरूपता सिद्धांत में समरूप प्रकार की धारणा के साथ बहुत निकटता से मेल खाती है - इतनी बारीकी से, वास्तव में, कि आश्रित प्रकार के सिद्धांत को वास्तव में एक प्रकार के रूप में देखा जा सकता है। "सिंथेटिक होमोटॉप्टी सिद्धांत"! (व्लादिमीर वोवोडस्की ने मजाक में कहा है कि उन्होंने होमोटोपी सिद्धांत के लिए एक नया पथरी विकसित करने में कई साल बिताए, केवल यह पता लगाने के लिए कि सीएस विभाग में उनके सहयोगी पहले से ही इसे अंडरग्रेजुएट सिखा रहे थे।)

    होमोडे टाइप प्रकार की पुस्तक के ऊपर कोडी का लिंक देखें ।

दिलचस्प बात यह है कि ये तीनों विचार एक-दूसरे के साथ असंगत लगते हैं, या कम से कम सामंजस्य करना बहुत मुश्किल है। आश्रित प्रकार का सिद्धांत कुल भाषा है, इसलिए इसमें गैर-प्रसार (और स्कॉट टोपोलॉजी) उत्पन्न नहीं होती है। यह भी संगम है, इसलिए अभिकलन-के-रिक्त स्थान के दृश्य या तो उत्पन्न नहीं होते हैं। इसी तरह, डोमेन सिद्धांत के संदर्भ में संक्षिप्तता तैयार करना मुश्किल से मुश्किल साबित हुआ है, और पूरी तरह से संतोषजनक खाता अभी भी एक खुली समस्या है।


"परिणामस्वरूप, हॉल्टिंग और लूपिंग को एक टोपोलॉजिकल स्पेस (Sierpiński स्पेस) बनाने के रूप में देखा जा सकता है। यह अवलोकन (स्कॉट टोपोलॉजी के माध्यम से) की अधिक महत्वपूर्ण धारणाओं को जीवंत करता है, और आप प्रोग्राम को टॉपोलॉजिकल स्पेस के तत्वों के रूप में व्याख्या कर सकते हैं।" इसके लिए एक अच्छा संदर्भ है जो ऑनलाइन उपलब्ध है?
टी ....

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@ जेएएस: मैंने इस विषय पर मार्टिन एस्कोर्डो के कुछ व्याख्यान नोट्स के लिए एक लिंक जोड़ा।
नील कृष्णस्वामी

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जैसा कि यह अभी भी होता है, निर्भर प्रकारों के सिद्धांत में हाल ही में विकास हुआ है , जिसमें एक प्रकार, जो परंपरागत रूप से एक कंप्यूटर प्रोग्राम के लिए स्थैतिक अपरिवर्तनीय का प्रतिनिधित्व करता है, को एक टोपोलॉजिकल स्पेस, या बल्कि एक समतुल्य वर्ग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है रिक्त स्थान (एक समरूप प्रकार )।

यह पिछले कुछ वर्षों में गहन शोध का विषय रहा है, जिसका समापन एक पुस्तक में हुआ ।

λ


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आप GCT के बारे में जानते हैं, लेकिन आपको PRAM- संगणना और P के उपसमूह के बीच अलगाव दिखाने के बारे में मुल्मुले के पहले के काम के बारे में पता नहीं हो सकता है , जो ज्यामितीय विचारों का उपयोग करता है कि कैसे एक संगणना को अंतरिक्ष की नक्काशी के रूप में देखा जा सकता है।

बीजीय निर्णय वृक्ष मॉडल में समस्याओं के लिए कई निचले सीमा समाधान के अंतर्निहित स्थानों की टोपोलॉजी के बारे में तर्क करने के लिए कम करते हैं (बेट्टी नंबर एक प्रासंगिक पैरामीटर के रूप में दिखाई देते हैं)।

एक अर्थ में, अनुकूलन के सभी ज्यामितीय हैं: रैखिक कार्यक्रमों में उच्च आयामों में एक पॉलीटॉप के सबसे निचले बिंदु को ढूंढना शामिल है, एसडीपी अर्धचालक मैट्रिसेस के स्थान पर रैखिक कार्य हैं, और इसी तरह। यहां एल्गोरिदम के डिजाइन में ज्यामिति का भारी उपयोग किया जाता है।

उस विषय पर, ग्राफ़ पर कुछ कार्यों को अनुकूलित करने की हमारी क्षमता और कुछ विशिष्ट मानदंडों वाले स्थानों में मीट्रिक रिक्त स्थान को एम्बेड करने की हमारी क्षमता के बीच एक लंबा और गहरा संबंध है। यह अब एक विशाल साहित्य है।

अंत में, हाल के वर्षों में अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए तथाकथित "लिफ्ट-एंड-प्रोजेक्ट" तंत्रों में बहुत रुचि है, और ये अंतर्निहित ज्यामिति का भारी उपयोग करते हैं और उच्च आयामी स्थानों पर लिफ्ट करते हैं: बीजीय ज्यामिति से धारणाएं यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका।


".... बीजीय निर्णय वृक्ष मॉडल समाधानों के अंतर्निहित स्थानों की टोपोलॉजी के बारे में तर्क करने के लिए कम करता है" क्या यह सच है कि जुड़े सेटों के बारे में जानकारी खोजने के लिए गणना के बारे में कई परिणाम कम हो सकते हैं? या यह परिणाम विशेष है?
टी ....

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@JAS: कुछ मुट्ठी भर परिणाम हैं जो जुड़े हुए घटकों की संख्या को कम करने के लिए कम किए जा सकते हैं, लेकिन मैं "बहुत" नहीं कहूंगा। बीजीय जटिलता में सबसे आम तकनीक (कम से कम पिछले 10-15 वर्षों में) आंशिक व्युत्पन्न और संबंधित स्थानों के विभिन्न स्थानों के आयामों को बाध्य करने के लिए है। इसे कुछ बीजीय किस्मों पर गायब होने वाले समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जो कुछ अर्थों में "ज्यामितीय" है। लेकिन मैं अभी भी नहीं कहूंगा कि यह "सबसे अधिक" परिणाम को कवर करता है, esp। बूलियन जटिलता के परिणाम, जो गैर-ज्यामितीय तकनीकों की एक किस्म (कम से कम प्रतीत होता है-) का उपयोग करते हैं।
जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआग्रोचो याह मैंने आंशिक व्युत्पन्न में भी शास्त्रीय कार्य के रूप में ज्यादा नहीं देखा है। मैं इस प्रश्न के उत्तर के बारे में सोच रहा था यहाँ cstheory.stackexchange.com/questions/5907/… जब मैंने यह प्रश्न देखा।
टी ....

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T1

सूचना प्रसंस्करण (जिसे "अभिकलन" के रूप में भी जाना जाता है) और ज्यामिति के बीच संबंधों को समझने का एक तरीका यह है कि सूचना प्रसंस्करण ज्यामिति से पहले है। यह दृश्य भौतिकी के कुछ हिस्सों से परिचित होना चाहिए। उदाहरण के लिए सापेक्षता सिद्धांत में हम स्पेसटाइम (इसकी सूचना प्रसंस्करण) और साथ ही इसकी ज्यामितीय संरचना दोनों के कारण संरचना का अध्ययन करते हैं । कई बाद वाले को पूर्व की तुलना में अधिक बुनियादी मानते हैं।

इन कनेक्शनों को अतीत में देखा गया है और कई साल पहले कंप्यूटर विज्ञान के सूचना-सिद्धांत संबंधी पहलुओं को सापेक्षता सिद्धांत से जोड़ने का प्रयास किया गया था। जिन कार्यों को लोग हल करना चाहते थे, उनमें से एक था: स्पेसटाइम (जो कि स्पेसटाइम पर सिर्फ एक आंशिक ऑर्डर है) की कार्य-संरचना संरचना से शुरू होकर, स्पेसटाइम के टोपोलॉजी या संभवत: ज्यामिति को भी पुन: निर्मित करता है। एक आंशिक क्रम से टोपोलॉजी को पुनर्प्राप्त करना इस तरह की चीज है कि डोमेन सिद्धांत अच्छा है, इसलिए कुछ सफलता मिली।

संदर्भ:



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रचनात्मक रूप से आपके प्रश्न की व्याख्या, जैसा कि आप उल्लेख करते हैं, GCT के अलावा कुछ संभावनाएं दिमाग में आती हैं। एक तरीका यह है कि अनिर्णायक समस्याओं (उर्फ ट्यूरिंग कम्प्लीटनेस) की तलाश की जाए जो काफी सर्वव्यापी हो।

  • एपेरियोडिक टाइलिंग प्लेन एंड पेनरोस टाइलिंग । यह साबित हो गया है कि क्या विमान के एपेरोडिक टाइलिंग का सवाल असंदिग्ध है।

  • सेलुलर ऑटोमेटा जो तेजी से भौतिक विज्ञान से गहरे संबंध, कई संबंधित अनिर्णायक समस्याएं, सिद्ध टीएम पूरा करने के लिए दिखाया गया है, और वे स्वाभाविक रूप से (और बीच में परिवर्तित) टीएम कम्प्यूटेशनल झांकी के रूप में व्याख्या कर रहे हैं।

  • (x,y)

  • डायनेमिक सिस्टम (हैनरी) में अनिच्छा, फिर कभी-कभी भौतिकी से निकटता से जुड़ा हुआ। डायनेमिक सिस्टम में आम तौर पर एक बहुआयामी ज्यामितीय व्याख्या होती है।

  • दृश्य प्रोग्रामिंग भाषाओं । एक कार्यक्रम को विभिन्न प्रकार के कोने (जैसे सशर्त, अंकगणितीय संचालन) के साथ (निर्देशित) ग्राफ़ के एक प्रकार के रूप में देखा जा सकता है।


सेलुलर ऑटोमेटा, जीवन का खेल भी देखें । आमतौर पर इसे पूरा साबित करने के लिए कोनवे को श्रेय दिया जाता है, हालांकि एक सटीक रेफरी द्वारा आने के लिए कठिन लगता है। शायद यह भी सीए के साथ जुड़े ट्यूरिंग पूर्णता का जल्द से जल्द सबूत है।
vzn
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