एसीसी cricuits के Beigel-Tarui परिवर्तन

Question

मैं अरोड़ा और बराक की कम्प्यूटेशनल जटिलता पुस्तक में एनईएक्सपी के लिए एसीसी निचले सीमा के बारे में परिशिष्ट पढ़ रहा हूं । http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf कुंजी lemmas में से एक से एक परिवर्तन है समतुल्य रूप polylogarithmic डिग्री और quasipolynomial गुणांक, या के साथ पूर्णांकों से अधिक multilinear बहुआयामी पद के लिए सर्किट , सर्किट क्लास S Y M + , जो कि कैसिपोलिनोमियलली कई गहराई वाले दो सर्किटों का वर्ग है और इसके निचले स्तर पर पॉलीग्लारिथिक फैन-इन और शीर्ष स्तर पर एक सममित द्वार है।$ACC^{0}$$SYM^{+}$

पाठ्यपुस्तक के परिशिष्ट में, इस परिवर्तन के तीन चरण हैं, यह मानते हुए कि गेट सेट में OR, mod , mod 3 और स्थिर 1 शामिल हैं । पहला कदम पोलीग्लारिथिक क्रम के लिए ओआरएस के फैन-इन को कम करना है।$2$$3$$1$

बहादुर-Vazirani अलगाव लेम्मा, प्राप्त का उपयोग करते हुए लेखकों कि ऊपर एक या गेट दिया फार्म के आदानों हे आर ( एक्स 1 , । । । , X 2 कश्मीर ) ,, अगर हम लेने ज एक जोड़ो में स्वतंत्र हैश समारोह होने के लिए , से [ 2 कश्मीर ] को { 0 , 1 } , तो किसी भी अशून्य के लिए एक्स ∈ { 0 , 1 } 2 कश्मीर , संभावना के साथ कम से कम 1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ यह आयोजन करेगा कि Σ मैं : ज ( मैं ) = 1 एक्स मैं आधुनिक  2 ।$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

की संभावना नहीं है कम से कम 1 / 2 ? ऐसा लगता है कि 1 / 10 कश्मीर एक कमजोर लोअर बाउंड है।$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

दूसरा चरण अंकगणितीय द्वारों की ओर बढ़ रहा है और गुणन को नीचे धकेल रहा है। इस चरण में, हम बूलियन सर्किट को एक दिए गए बाइनरी इनपुट स्ट्रिंग के साथ एक पूर्णांक इनपुट के साथ एक अंकगणितीय सर्किट में बदल देंगे।

यहाँ वे ध्यान दें कि साथ बदल दिया है 1 - एक्स 1 एक्स 2 ⋯ एक्स कश्मीर , और एम ओ डी पी ( एक्स 1 , । । । , एक्स कश्मीर ) साथ बदल दिया है ( Σ मैं = 1 , । । । , कश्मीर एक्स मैं ) पी $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ Fermat की छोटी प्रमेय का उपयोग कर।$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

यह प्रतिस्थापन एक समान सर्किट क्यों देता है?$SYM^{+}$

Comments

मैं उस अभिव्यक्ति को नहीं समझता जो "संभावना के साथ कम से कम 1 / (10k) का अनुसरण करती है जो यह पकड़ लेगी कि ...." क्या आप एक बराबर चिन्ह गायब कर रहे हैं? इसके अलावा, क्या आप उस पृष्ठ संख्या का हवाला दे सकते हैं जहां यह प्रमाण दिखाई देता है?

— रॉबिन कोठारी

Answer 1

की संभावना नहीं है कम से कम 1/2? ऐसा लगता है कि 1 / ( 10 k ) एक कमजोर निचली सीमा है।$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

वास्तव में जवाब नहीं है। (यह होगा कि संभावना कम से कम के साथ रखती है 1 / 2 - ε , अगर हम एक साथ काम कर रहे थे ε -biased हैश परिवार, और वास्तव में का उपयोग कर ε -biased हैश कार्यों के निर्माण के मानकों में सुधार करने के लिए एक रास्ता देती है। लेकिन जोड़ो में स्वतंत्रता जरूरी नहीं है ε -biased।)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

$h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

यह प्रतिस्थापन एक समान SYM + सर्किट क्यों देता है?

$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$