सामान्यीकृत प्लानेर ग्राफ और सामान्यीकृत बाहरीप्लान ग्राफ के बारे में

Question

कोई भी प्लानर , क्रमशः, एक्सप्लेनार ग्राफ संतुष्ट करता है , क्रमशः, , हर उपसमूह के । इसके अलावा, (बाहरी) प्लेनर रेखांकन को बहुपद समय में पहचाना जा सकता है।$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

क्या बारे में ग्राफ़ में जाना जाता है ऐसा है कि (resp। | ई ' | ≤ 2 | वी ' | - 3 ) हर subgraph के लिए जी ' = ( वी ' , ई ' ) के ? क्या उन्हें बहुपद समय में पहचानना संभव है? | ई ′ | ≤ 3 | वी ′ | - $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

संपादन (Eppstein के अच्छा जवाब के बाद): किसी भी समतल ग्राफ को संतुष्ट करता है हर subgraph के लिए के के साथ कम से कम तीन कोने । तो, "सामान्यीकृत योजनाकार रेखांकन" इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले होंगे, और उन्हें बहुपद समय में पहचानना एक (दिलचस्प) खुला प्रश्न लगता है।$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$

Comments

आपके प्रश्न और संपादन से, मैंने शीर्षक बदल दिया; वापस रोल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

— user13136

Answer 1

ली और स्ट्रेइनू (नीचे उद्धरण) की सूची में आप जिस दूसरी श्रेणी की सूची में हैं, वह (2,3) -spar रेखांकन हैं। वे परीक्षण के लिए एक एल्गोरिथ्म देते हैं कि क्या एक ग्राफ (k, l)-बहुपद काल में है। हालाँकि, प्लैनर ग्राफ्स और के साथ स्थिति क्योंकि कि असमानता कोने के सभी सेट (यदि वह सही थे, कोई भी दो कोने बढ़त से कनेक्ट किया जा सकता है के लिए सच नहीं है, थोड़ा और अधिक जटिल है, क्योंकि 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$)। तो (3,6) वर्ग के ग्राफ (उनके अंकन में) केवल खाली रेखांकन के होते हैं। संभवतः उनके एल्गोरिदम को ग्राफ़ के लिए बढ़ाया जा सकता है, जिसके लिए असमानता दो से अधिक कोने के सभी सेटों के लिए है।

ली, ऑड्रे; स्ट्रेइनू, इलियाना (2008), "कंकड़ खेल एल्गोरिदम और विरल रेखांकन", असतत गणित 308 (8): 1425–1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.14 , arxiv: math / 0702129 ।

Answer 2

"सामान्यीकृत बाहरीप्लान रेखांकन" या (2,3) -sparse रेखांकन के बारे में क्या जाना जाता है? डेविडएप्पस्टीन के जवाब के लिए कुछ अतिरिक्त तथ्य:

1982 में, में इस पत्र (परिणाम होंगे 1 और 2), Lovasz और Yemini रेखांकन (उनके अंकन में, outerplanar सामान्यीकृत विशेषता सामान्य स्वतंत्र रेखांकन ) उन रेखांकन के रूप में संपत्ति होने कि के किसी भी किनारे दोहरीकरण जी एक ग्राफ जो धार है में परिणाम -दो जंगल का मिलन।$G$$G$

बहुत पहले, 1970 में, हेनेबर्ग और लैमन ने साबित कर दिया कि सामान्यीकृत बाहरीप्लानर ग्राफ को से तीन तथाकथित हेनेबर्ग चाल (डिग्री -1 वर्टेक्स जोड़कर, डिग्री -2 वर्टेक्स जोड़कर, और एक निश्चित प्रकार का जोड़कर) प्राप्त किया जा सकता है। डिग्री -3 वर्टेक्स)।$K_2$

ये लक्षण वर्णन सामान्यीकृत बाहरीप्लानर रेखांकन के लिए पहली बहुपद पहचान देते हैं।

सामान्यीकृत प्लानेर ग्राफ से संबंधित कुछ टिप्पणियां इस पत्र के अंतिम खंड में पाई जा सकती हैं । मुझे लगता है, सामान्यीकृत प्लेन ग्राफ को चिह्नित करना और पहचानना अभी भी बहुत दिलचस्प खुला प्रश्न है।