सकारात्मक सामयिक आदेश, 3 लें

Question

मान लीजिए कि हमारे पास n मैट्रिक्स द्वारा n है। क्या इसकी पंक्तियों और स्तंभों को फिर से बनाना संभव है, जैसे कि हमें एक ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स मिलता है?

यह प्रश्न इस समस्या से प्रेरित है: सकारात्मक सामयिक आदेश

मूल निर्णय समस्या कम से कम इस एक के रूप में कठिन है, इसलिए एनपी-पूर्णता परिणाम भी हल करेगा।

संपादित करें: Laszlo Vegh और Andras Frank ने Gunter Rote द्वारा पूछे गए समतुल्य समस्या पर मेरा ध्यान आकर्षित किया: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_unerely_matchable_bipartite_graph

संपादित करें: मूल समस्या में कमी निम्नानुसार है। मान लीजिए कि डीएजी के केवल दो स्तर हैं, ये मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप होंगे। इसके अलावा, हमारे पास वजन 1 के साथ एक एकल नोड है। निचले स्तर के बाकी सभी का वजन -1 और ऊपरी स्तर +1 पर है।

Comments

आप इसे मूल समस्या में कैसे कम करते हैं? वैसे, यह समस्या अपने आप में दिलचस्प लगती है।

— त्सुयोशी इतो

क्या आप पंक्तियों और स्तंभों, या दो अलग-अलग क्रमपरिवर्तन पर लागू करने के लिए एक क्रमचय की तलाश कर रहे हैं? मैं दो अनुमान लगा रहा हूं, क्योंकि केवल एक ही समस्या सामयिक प्रकार के बराबर लगती है।

— वॉरेन शूडी

इसे द्विदलीय ग्राफ के रूप में (elte लिंक की तरह) सोचते हुए, वे आवश्यक शर्त देते हैं कि यह K2, C4, C6, C8, आदि की प्रतियों से बना कोई सबग्राफ नहीं है। एक अन्य आवश्यक शर्त यह है कि दोनों का डिग्री अनुक्रम। भागों (1, 2, 3, ..., n) का वर्चस्व है --- मुझे लगता है कि यह लिंक में अन्य क्लिच-आधारित स्थिति से अधिक मजबूत है।

— 21

Answer 1

समस्या एनपी-पूर्ण हो गई। आप यहाँ और यहाँ विस्तार से और अधिक पढ़ सकते हैं । संक्षिप्त सारांश:

कमी एक समस्या से होती है जिसे दासगुप्ता, जियांग, कन्नन, ली और स्वेइदेक द्वारा एनपी-पूरा दिखाया गया था: एक द्विदलीय ग्राफ जी और एक पूर्णांक k दिया गया, यह तय करें कि क्या G के पास 2k नोड्स में एक प्रेरित उपसमूह है जिसे बढ़ाया जा सकता है विशिष्ट रूप से परिपक्व हो। यह स्टीफन Vialette द्वारा देखा गया था कि यह इस समस्या के द्विदलीय अद्वितीय मिलान संस्करण को कम कर देता है यदि हम दोनों वर्गों में nk पृथक नोड जोड़ते हैं।

Comments

EGRES के लिंक के लिए धन्यवाद। मैं वास्तव में खुली समस्याओं का आनंद लेता हूं, विशेषकर (परिपूर्ण) मिलान से संबंधित।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

अन्य गुणवत्ता वाली खुली समस्याएं साइटें (कम्प्यूटेशनल जटिलता से संबंधित) क्या हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@turkistany, मैं किसी अन्य को नहीं जानता, मुझे लगता है कि यह संचालन अनुसंधान / ग्राफ सिद्धांत के बारे में भी अधिक है।

— डोमटॉर्प

Answer 2

ध्यान: यह अनुमान और हर्ष पर आधारित आंशिक उत्तर है! जबकि डेविड एप्पस्टीन की अधिक सामान्य समस्या एनपी-पूर्ण है, शायद यह पी में है।

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• इसमें 2 परिपूर्ण मिलान नहीं होने चाहिए,
• $\le (1, 2, ..., n)$

अब तक, मुझे ऐसा कोई उदाहरण नहीं मिला है जहाँ कोई ग्राफ़ इन शर्तों को पूरा करता हो, लेकिन UPMX होने में विफल रहता है। उस मामले में, शायद वे पर्याप्त हैं। निम्नलिखित एल्गोरिथम द्वारा इसे साबित किया जा सकता है:

1. यदि ग्राफ़ में> 1 परिपूर्ण मिलान है, तो "UPMX नहीं" लौटें
2. यदि ग्राफ डिग्री की स्थिति में विफल रहता है, तो "UPMX नहीं" लौटें
3. यदि ग्राफ़ में = 1 पूर्ण मिलान है, तो "UPMX" लौटें
4. अन्यथा, शायद हम यह दिखा सकते हैं कि यह UPMX है। शायद निम्नलिखित एल्गोरिथ्म यह साबित कर सके:
   • जबकि ग्राफ में किनारे हैं,$\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • कुछ नए किनारे खोजें जिनका जोड़ सही मिलान नहीं बनाता है और डिग्री की स्थिति का उल्लंघन नहीं करता है; ई ग्राफ में जोड़ें
5. अब ग्राफ में किनारे और कोई भी पूर्ण मिलान नहीं है, और डिग्री की स्थिति को संतुष्ट करता है। मुझे लगता है कि यह दिखाने के लिए बहुत मुश्किल नहीं है कि यह UPMX है, इसलिए इसका मूल ग्राफ था।$\tbinom{n+1}{2} - 1$

आप यह चिह्नित कर सकते हैं कि कौन से नए किनारे हॉल के प्रमेय का उपयोग करके एक परिपूर्ण मिलान बनाएंगे, और यह चिह्नित करना मुश्किल नहीं है कि कौन से नए किनारे डिग्री के उल्लंघन का उल्लंघन करेंगे। दुर्भाग्य से, भले ही यह सच हो कि सही प्रकार का एक किनारा हमेशा मौजूद रहता है, मैं इसे साबित नहीं कर पाया हूं।

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बुरा दृष्टिकोण नहीं, मुझे आश्चर्य है कि क्या यह सच है।

— डोमोटर

Answer 3

स्वतंत्र पंक्ति-स्तंभ क्रमपरिवर्तन फर्टिन, रुसु और वायलेट द्वारा एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करना , यह दर्शाता है कि समस्या द्विआधारी वर्ग मैट्रिक्स के लिए एनपी-पूर्ण है।

Comments

यह काफी दुर्भाग्यपूर्ण है कि उन्होंने भी हम से स्वतंत्र रूप से एक ही परिणाम साबित किया है, मुझे लगता है कि हमें बेहतर संवाद करना चाहिए था। किसी भी तरह, मैं उन्हें ईमेल करूँगा।

— डोमटोटर

@domotorp वही समस्या MathOverflow पर पूछी गई है और सबसे अच्छा जवाब यह था कि यह "NP-limbo" में है। mathoverflow.net/questions/191963/…

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टानी

Answer 4

समस्या एनपी-पूर्ण है लेकिन इसे हल करने के लिए एल्गोरिथ्म कहां है? मेरे पास एक एल्गोरिथ्म है जो कई उदाहरणों पर काम करता है, लेकिन मैं हर समय काम करने के लिए इसका प्रदर्शन नहीं कर सकता।

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क्या आप ग्राफ़ के एक दिलचस्प वर्ग को चिह्नित कर सकते हैं जिस पर आपका एल्गोरिथ्म सही है?

— आरबी