क्या आप बहुपद समय में दो क्रमपरिवर्तन के योग की पहचान कर सकते हैं?

Question

हाल ही में csese पर पूछे गए दो प्रश्न थे जो या तो संबंधित थे या जिनके पास निम्नलिखित प्रश्न के बराबर एक विशेष मामला था:

मान लीजिए आप एक दृश्य है एक 1 , एक 2 , ... एक एन के एन संख्या ऐसी है कि Σ n मैं = 1 एक मैं = n ( n + 1 ) । दो क्रमपरिवर्तन, की राशि में विघटित π और σ , की 1 ... n , ताकि एक मैं = π मैं + σ $a_1, a_2, \ldots a_n$$n$$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$$\pi$$\sigma$$1 \dots n$$a_i = \pi_i + \sigma_i\,$।

वहाँ कुछ आवश्यक शर्तें हैं: अगर एक मैं तो हल कर रहे हैं कि एक 1 ≤ एक 2 ≤ ... ≤ एक $a_i$$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$, तो हमारे पास होना चाहिए

$$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$$

हालाँकि, ये स्थितियाँ पर्याप्त नहीं हैं। इस math.se प्रश्न के उत्तर से मैंने पूछा, अनुक्रम 5,5,5,9,9 को दो क्रमपरिवर्तन के योग के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है (कोई भी इस तथ्य का उपयोग करके देख सकता है कि दोनों 1 या 5 केवल हो सकते हैं 4 के साथ जोड़ा जाता है)।

तो मेरा सवाल है: इस समस्या की जटिलता क्या है?

Comments

BTW, मेरे दिमाग में एक साधारण बदलाव आया और मुझे इसकी जटिलता पर यकीन नहीं है। क्या आप बहुपद समय में दो क्रमपरिवर्तन की निश्चित-बिंदु मुक्त राशि की पहचान कर सकते हैं? (हम चाहते हैं कि दो क्रमपरिवर्तन प्रत्येक स्थिति यानी पर असहमत π मैं ≠ σ मैं सभी के लिए मैं )$\pi_i \ne \sigma_i$$i$

— मोहम्मद अल-Turkistany

Answer 1

नहीं, आप बहुपद समय में दो क्रमपरिवर्तन के योग की पहचान नहीं कर सकते जब तक कि पी = एनपी। आपकी समस्या एनपी-पूर्ण है क्योंकि आपकी समस्या का निर्णय संस्करण एनपी-पूर्ण समस्या के बराबर है 2 - लक्ष्य लक्ष्य के साथ संख्यात्मक मिलान:$2$

इनपुट: के अनुक्रम एक 1 , एक 2 , ... एक n धनात्मक पूर्णांक की, Σ n मैं = 1 एक मैं = n ( n + 1 ) , 1 ≤ एक मैं ≤ 2 n के लिए 1 ≤ मैं ≤ $a_1, a_2, \ldots a_n$$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$$1 \le a_i \le 2n$$1 \le i \le n$

प्रश्न: कर रहे हैं वहाँ दो क्रमपरिवर्तन ψ 1 और ψ 2 ऐसी है कि ψ 1 ( मैं ) + ψ 2 ( मैं ) = एक मैं के लिए 1 ≤ मैं ≤ n ?$\psi_1$$\psi_2$$\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$$1\le i \le n$

संदर्भ में, NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) का गंभीर रूप से प्रतिबंधित संस्करण दृढ़ता से NP- पूर्ण साबित हुआ।

RN3DM, एक मल्टीसेट U = { u 1 , को देखते हुए । । । , यू एन } पूर्णांक और एक पूर्णांक ई ऐसी है कि Σ n j = 1 यू जे + n ( n + 1 ) = n ई , दो क्रमपरिवर्तन वहाँ मौजूद कर λ और μ ऐसी है कि यू जे + λ ( जे ) + μ ( j ) = $U = \{u_1, . . . , u_n\}$$e$$\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$$\lambda$$\mu$$u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$, के लिए j = 1 , । । । , एन ?$j = 1, . . . , n$

RN3DM से 2 -Numerical मिलान लक्ष्य लक्ष्य समस्या के साथ एक आसान कमी है: R33DM का एक उदाहरण दिया। हम बनाकर इसी उदाहरण का निर्माण एक मैं = ई - यू मैं के लिए 1 ≤ मैं ≤ $2$$a_i= e-u_i$$1 \le i \le n$

डब्ल्यू। यू।, एच। होओगेवेन, और जेके लेनस्ट्रा। देरी और यूनिट-टाइम संचालन के साथ दो-मशीन प्रवाह की दुकान में मेकमाईपिंग को कम करना एनपी-हार्ड है । शेड्यूलिंग जर्नल, 7: 333-348, 2004

EDIT Oct. 1st : आपकी समस्या को PERMUTATION SUMS कहा जाता है। यह स्टीव हेडेतेनीमी द्वारा 1998 में OPEN PROBLEMS IN COMBINATORIAL OPTIMIZATION में सूचीबद्ध है।

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद। मैंने cs.se पर समस्याओं में से एक का उत्तर दिया है जिसने इसे प्रेरित किया (जो आपके संदर्भ द्वारा सीधे रूप में उत्तर नहीं दिया गया था), लेकिन मुझे लगता है कि आपके पास उत्तर देने के बाद दूसरा जवाब देने का पहला मौका होना चाहिए। आपके संदर्भ में

— पीटर शोर

बहुत बहुत धन्यवाद पीटर। मुझे खुशी है कि मैं आपकी मदद करने में सक्षम था। मुझे लगता है कि आप बेहतर जवाब देंगे। तो, कृपया आगे बढ़ें और उस प्रश्न का उत्तर भी दें।

— मोहम्मद अल-तुर्कतानी

यह समस्या कथन है जैसा कि उपरोक्त वेब पेज पर दिखाई दिया है: PERMUTATION SUMS [चेस्टन, 198X] INSTANCE: एक सरणी A [1..n] धनात्मक पूर्णांक। प्रश्न: क्या दो पूर्णांक r मौजूद हैं और धनात्मक पूर्णांक {१,२, ..., n} ऐसे हैं कि १ <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] के लिए ?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

Answer 2

दूसरी ओर, मार्शल हॉल ने दिखाया कि दो क्रमपरिवर्तन के अंतर को आसानी से पहचानना संभव है ।

Comments

मार्शल हॉल की प्रमेय राशि के रूप में अच्छी तरह से लागू होता है, लेकिन अंतर और योग दोनों को लागू करने के लिए अपने परिणाम के लिए modulo n गणना की जानी चाहिए । अधिक जेड , दोनों राशि और अंतर एन पी-सम्पूर्ण कर रहे हैं। $n$$\mathbb{Z}$

— पीटर शोर

@PeterShor पूर्णता के लिए, दो पर्मुटेशन के अंतर को पहचानने की NP-पूर्णता का एक प्रूफ स्केच प्रदान करके अपनी टिप्पणी को अलग उत्तर के रूप में पोस्ट करें।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

पूर्णता के लिए: मान लीजिए कि हमारे पास दो क्रमचय हैं ose और ose । हम तो है ˉ π ( मैं ) = n + 1 - π ( मैं ) भी एक क्रमपरिवर्तन है। अब, अगर φ + π मल्टीसेट है { x 1 , एक्स 2 , ... , एक्स n } , तो φ - ˉ π मल्टीसेट है { x 1 - ( n + 1 $\phi$$\pi$$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$$\phi+\pi$$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$$\phi-\bar{\pi}$, x 2 - ( n + 1 ) , … , x n - ( n + 1 ) } । उदाहरण के लिए, { - 2 , - 2 , - 2 , 2 , 2 , 2 } को दो क्रमपरिवर्तन के अंतर के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है क्योंकि { 5 , 5 , 5 , 9 , 9 , 9 } दो क्रमपरिवर्तन का योग नहीं है।$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$$\{5,5,5,9,9,9\}$

— पीटर शोर