स्थिर विवाह समस्या का विस्तार?

Question

यह एक सामाजिक विज्ञान की तरह लग सकता है जैसे कि टीसीएस एक से अधिक है, लेकिन ऐसा नहीं है। स्टेबल मैरिज प्रॉब्लम का वर्णन करने वाले " रैंडमाइज्ड अल्गोरिथम" को पढ़ते समय, कोई भी व्यक्ति निम्न पढ़ सकता है (p54)

"यह दिखाया जा सकता है कि वरीयता सूचियों की प्रत्येक पसंद के लिए कम से कम एक स्थिर विवाह मौजूद है। (उत्सुकता से पर्याप्त, यह समलैंगिक निवासियों में समान संख्या वाले निवासियों के मामले में नहीं है) ...."

क्या स्थिर विवाह समस्या का कोई बहुत सरल विस्तार है जो कुछ प्रकार की स्थिर स्थिति की अनुमति देता है जिसमें एक समलिंगी समाज, या एक ऐसा समाज शामिल है जिसमें जनसंख्या का एक निश्चित उपसमूह बड़े सेट की तुलना में अलग-अलग नियमों का पालन करता है?

पुष्टि में, क्या ऐसे एल्गोरिदम हैं जो इस तरह के मिलान करते हैं?

Comments

एक मजेदार सवाल की तरह लगता है, खासकर अगर आप यूटा में रहते हैं!

— डेव क्लार्क

सवाल थोड़ा खुला हुआ है। स्वाभाविक रूप से आप गारंटी दे सकते हैं कि यदि आप एक अवरुद्ध जोड़ी की परिभाषा बदलते हैं और / या मेल खाने वाले वरीयताओं की संरचना को प्रतिबंधित करते हैं, तो स्थिर रूममेट समस्या का समाधान मौजूद है। एक तुच्छ उदाहरण के रूप में, आप एक समस्या निर्माण के साथ आ सकते हैं जिसमें कोई भी अधिकतम मेल "स्थिर" है, और फिर इस तरह के मिलान को खोजने के लिए एक सरल लालची एल्गोरिथ्म है। लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह वही है जो आप सुनना चाहते हैं; क्या आप थोड़ा और विस्तृत कर सकते हैं?

— जुका सुओमेला

स्टेबल मैरिज प्रॉब्लम और इसके रिश्तेदारों पर दो उत्कृष्ट पुस्तकें हैं: एल्विन रोथ और मारिल्डा सोतोमयोर द्वारा दो पक्षीय मिलान और डेन गुसफील्ड और रॉबर्ट डब्ल्यू इरविंग द्वारा द स्टेबल मैरिज समस्या।

— जोसेफ मल्केविच

नुथ द्वारा "स्थिर विवाह और अन्य जुझारू समस्याओं के संबंध में" की भी सिफारिश की गई है। आप वेबसाइट पर फ्रेंच संस्करण के स्कैन किए गए संस्करण पा सकते हैं: www-cs-facademy.stanford.edu/~uno/ms.html

— दाई ले

Answer 1

3 प्रकार के लोगों के बारे में एक खुला अनुमान है। मान लीजिए कि आपके पास पुरुष महिलाएं और कुत्ते हैं ताकि पुरुषों की महिलाओं पर वरीयता सूची हो, महिलाओं की कुत्तों पर वरीयता सूची हो, और कुत्तों की आदमी पर वरीयता सूची हो। क्या हमेशा एक स्थिर शादी होती है?

(3-प्रकार के समाज पर अन्य वरीयता संरचनाओं के लिए उत्तर नकारात्मक पाए जाते हैं)।

एक और टिप्पणी यह ​​है कि स्थिर विवाह एक गैर रिक्त कोर का प्रतिनिधित्व करता है और स्कार्फ द्वारा एक अच्छी तरह से ज्ञात स्थिति है जो गैर-रिक्त कोर के अस्तित्व का अर्थ है। यह ज्ञात है कि स्कार्फ की स्थिति घर के आवंटन की समस्या के लिए मूल स्थिर विवाह समस्या के लिए संतुष्ट हैं। (लेकिन पुरुषों / महिलाओं / कुत्तों की समस्या के लिए विफल)।

कुछ संदर्भ:

• $N$
• एक पेपर जो स्कार्फ की महत्वपूर्ण लेम्मा के लिए विभिन्न अनुप्रयोगों को दर्शाता है और काफी कुछ दूसरों को उद्धृत करता है: (विशेष रूप से, अहरोनी और होल्ज़मैन द्वारा हाइपरग्राफ के लिए गेल-शेप्ले प्रमेय के एक आंशिक संस्करण का वर्णन किया गया है): आर। अहरोनी और टी। फ्लेनर, एक लेम्मा पर स्कार्फ, जे। कॉम्बिन। थ्योरी सर्। बी 87 (2003), 72--80।
• पुरुषों-महिलाओं-कुत्तों की समस्या का एक समाधान जब एरिकसन एट अल (मैथ सोसाइटी 2006) द्वारा एक पेपर में प्रत्येक लिंग के अधिकतम 4 पर दिखाई देता है।

Comments

@Prof। कलाई: क्या आप कृपया मुझे स्थिर विवाह के मामले में स्कार्फ़ की गैर रिक्त कोर स्थिति पर एक अच्छे संदर्भ की ओर संकेत करेंगे?

— दाई ले

स्कार्फ का मूल पेपर आज़माएं जो मैंने उत्तर में जोड़ा था।

— गिल कलाई

Answer 2

आप जो पूछ रहे हैं उसे अब "स्थिर विवाह समस्या" नहीं कहा जाता है। इसके विपरीत, इसे "स्थिर रूममेट समस्या" कहा जाता है। विकिपीडिया के अनुसार :

गणित में, विशेष रूप से गेम थ्योरी और कॉम्बिनेटरिक्स के क्षेत्र में, स्थिर रूममेट समस्या (एसआरपी) एक स्थिर मिलान खोजने की समस्या है - ऐसा मिलान जिसमें तत्वों की कोई जोड़ी नहीं है, प्रत्येक एक अलग मिलान सेट से, जहां प्रत्येक सदस्य जोड़ी अपने मैच में दूसरे को वरीयता देती है। यह स्थिर विवाह समस्या से अलग है कि स्थिर रूममेट समस्या की आवश्यकता नहीं है कि एक सेट पुरुष और महिला सबसेट में टूट गया है। कोई भी व्यक्ति एक ही सेट में किसी को भी पसंद कर सकता है।

इसे सामान्यतः कहा जाता है:

स्थिर रूममेट समस्या (SRP) के दिए गए उदाहरण में, 2n प्रतिभागियों में से प्रत्येक वरीयता क्रम में दूसरों को रैंक करता है। एक मेल प्रतिभागियों के n disointoint (अनियंत्रित) जोड़े का एक सेट है। एसआरपी के एक उदाहरण में एक मिलान एम स्थिर है अगर कोई दो प्रतिभागी एक्स और वाई नहीं हैं, जिनमें से प्रत्येक एम में अपने साथी को दूसरे को प्राथमिकता देता है। ऐसी जोड़ी को एम ब्लॉक करने के लिए कहा जाता है, या सम्मान के साथ एक अवरुद्ध जोड़ी होने के लिए। म।

विकिपीडिया आपके प्रश्न के उत्तर की चर्चा करता है। यह कहता है कि स्थिर मामला हमेशा नहीं पाया जा सकता है, फिर भी, इरविंग (1985) के कारण एक कुशल एल्गोरिथ्म मौजूद है, जो एक के बाद एक ऐसे मिलान पाएंगे।

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संपादित करें:

कई प्राकृतिक छूट SRP के लिए बोधगम्य हैं: इसके बजाय कि "कोई दो प्रतिभागी एक्स और वाई नहीं हैं, जिनमें से प्रत्येक एम में अपने साथी को दूसरे की पसंद करते हैं," एक को इसकी आवश्यकता हो सकती है:

1. कम से कम कुछ लोगों के कुछ अंश उनके रूममेट्स से संतुष्ट हैं। यहां, संतुष्टि की व्याख्या अलग तरीके से की जा सकती है। उदाहरण के लिए:
   • एक जोड़ी (x, y) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है अगर y x की पहली पसंद है, और इसके विपरीत।
   • एक जोड़ी (x, y) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि x या y में से एक दूसरे की पहली पसंद है।
   • एक जोड़ी (x, y) को असंतुष्ट कहा जाता है यदि कोई जोड़ी (z, w) मौजूद हो जैसे कि x को y से अधिक z पसंद है, और z को w से अधिक x पसंद है।
   • ...
2. कम से कम कुछ लोगों के कुछ अंश उनके रूममेट्स से असंतुष्ट हैं। (यह आवश्यकता भिन्न हो सकती है कि संतोष की व्याख्या के आधार पर उपरोक्त ।)

Comments

मुझे लगता है कि ओपी पहले से ही यह सब जानता है, और सवाल यह था कि खेल के नियमों को कैसे बदलना चाहिए ताकि एक स्थिर मिलान मौजूद होने की गारंटी हो।

— जुक्का सुओमेला

इसके अलावा, सरलतम प्रतिधारण में 4 कोने शामिल हैं जहां उनमें से 3 की पहली और दूसरी प्राथमिकता 3-चक्र को परिभाषित करती है।

— प्रति सोग्न

मुझे लगता है कि लोग आमतौर पर समस्या के किसी भी प्रकार का उल्लेख करने के लिए "स्थिर मिलान" शब्द का उपयोग करते हैं, और "स्थिर विवाह" बनाम "स्थिर रूममेट" यदि वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि वे समस्या के द्विदलीय बनाम गैर-द्विदलीय संस्करण का अध्ययन करते हैं। । लेकिन हमेशा की तरह, यह आपकी शर्तों को परिभाषित करने के लिए सबसे अच्छा है और यह मानकर न चलें कि ये मानकीकृत हैं ...

— Jukka Suomela

मैं पहले पैराग्राफ की वजह से इस उत्तर को उभारने में संकोच करता हूं, जो प्रतीत होता है कि सिर्फ कुछ लोगों को नाराज करता है।

— त्सुकोशी इतो

@Tsuyoshi Ito: मेरा मतलब किसी को नाराज करना नहीं था। एक दूसरे विचार पर, मैंने 1 पैराग्राफ को पूरी तरह से हटा दिया।

— एमएस डौस्ती

Answer 3

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Comments

लेकिन यह फिर से द्विदलीय मिलान है: आपके पास दो अलग-अलग प्रकार की संस्थाएं हैं, "लोग" बनाम "घर" (जैसे आपके पास "पुरुष" बनाम "महिलाएं" पारंपरिक स्थिर विवाह समस्या में हैं)। यह प्रश्न विशेष रूप से गैर-द्विदलीय मिलान के बारे में प्रतीत हुआ।

— जुल्का सुमेला

आपके पास एक बिंदु हो सकता है। मैं सोच रहा था कि यह समस्या "एक ऐसे समाज को संबोधित कर सकती है जिसमें जनसंख्या का एक निश्चित सबसे बड़ा समूह सेट से अलग नियमों का पालन करता है"।

— mhum

मैं देख रहा हूं, मुझे लगा कि यह एक ऐसे समाज का उल्लेख करता है, जिसमें हमारे पास समलैंगिक उप-जनसंख्या है। आइए देखें कि क्या हमें प्रश्न के स्पष्टीकरण मिलते हैं।

— जुल्का सुमेला 30:10

हां, मेरा मतलब एक ऐसे समाज से है जिसमें हमारे पास उस आबादी का एक सबसेट है जो नियमों के एक अलग सेट के साथ व्यवहार करता है।

— इगोरकार्रॉन