क्या पदानुक्रम पतन है?

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

लिए चिड़ियाघर प्रविष्टि $\mathsf{TC^0}$ केवल गहराई 2 और 3 के बीच अलगाव का उल्लेख करती है।

इस तथ्य के लिए भी एक मानक संदर्भ है कि पदानुक्रम का पतन नहीं होता है? $\mathsf{AC^0_d}$

एक संबंधित प्रश्न यह होगा कि

में कितने अलग-अलग कार्य हैं ? इन राशियों पर एक उचित निचली सीमा आपके प्रश्नों का उत्तर देगी। साथ ही हस्तेद की स्विचिंग लेम्मा के लिए जकड़न का एक प्रमाण शायद आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर देगा।

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$

— महदी चेरघची

दूसरे प्रश्न के लिए, मेरा मानना है कि यह Sipser के STOC '83 पेपर "बोरेल सेट्स और सर्किट जटिलता" में पहली बार साबित हुआ था । यह केवल सुपर-बहुपद कम सीमा देता है। पहले घातीय निचले सीमाएं याओ द्वारा दी गई थीं, बाद में Håstad द्वारा सुधार किया गया था।

— रॉबिन कोठारी

@ एमसीएच, क्या आपका मतलब

लिखना

? या आप में समस्याओं की तुल्यता कक्षाओं की संख्या मतलब है

wrt

में कटौती?

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$

— केव

क्या मेरा मतलब है बहुत सरल है: के वर्ग कितने अलग कार्यों कर सकते हैं

आकार के सर्किट

प्रतिनिधित्व करते हैं? (हम बहुत आसानी से सर्किटों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं लेकिन हमें सावधान रहना चाहिए कि उनमें से कुछ एक ही फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं।) एक बार जब आप दिखाते हैं कि यह मात्रा

साथ बढ़ती है , तो आप कर रहे हैं।

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— महदी Cheraghchi

@ डिलवर्थ, नॉनफॉर्म। गिनती काम नहीं करती है, अन्यथा जैसा कि मैंने नीचे उल्लेख किया है कि हम फिर

को

से अलग कर सकते हैं जो खुला है।

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— केवह

जवाबों:

हम कोई अच्छी निचली सीमा के बारे में नहीं जानते (मतलब कहते हैं, एक भाषा के लिए में एक सुपरपोलिनोमियल लोअर बाउंड ) गहराई 2 थ्रेसहोल्ड सर्किट (अनबाउंड वेट) के लिए। बहुमत गेट्स से निर्मित गहराई 3 सर्किट, अर्थात में यह वर्ग होता है, और इस प्रकार हम इस वर्ग के लिए कोई अच्छी सीमा नहीं जानते हैं। $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन
स्रोत

यह मेरे सवाल का जवाब देता है। साभार क्रिस्टोफर

— केव

जैसा कि मैंने ऊपर टिप्पणी में लिखा था, भले ही एनईएक्सपी में एक समस्या टीसी

बाहर नहीं जानी जाती है , क्या यह अभी भी संभव नहीं है कि गैर-वर्दी टीसी

पदानुक्रम एक गिनती तर्क निचले सीमा के माध्यम से उचित है ?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— दिल्वर्ट

इसके अलावा, क्या मैं पूछताछ कर सकता हूं, यह टीसी

पर ज्ञात घातीय निचले सीमा के साथ सुसंगत है और गहराई 2 दहलीज सर्किट से गहराई 3 की जुदाई, जैसा कि जटिलता चिड़ियाघर में रिपोर्ट किया गया है? क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ?

_{2}^{0}

$_2^0$

— दिल्वर्ट

@ डीलवर्थ, मुझे लगता है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे मेजरिटी थ्रेशोल्ड का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

— केवह

हम्म .. तुम्हारा क्या मतलब है? क्या यह क्रिस्टोफर द्वारा "अनबाउंड वेट" के बारे में नोट से संबंधित है?

— दिल्वर्ट

अगर मैं कोई गलती नहीं कर रहा हूं, तो ऐसा लगता है कि यह साबित करना कि पदानुक्रम नहीं गिरता है, से को अलग करना उतना ही मुश्किल $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$ :

चलो द्वारा बूलियन फॉर्मूला मूल्यांकन समस्या का निरूपण करते हैं । , के लिए कटौती के तहत पूर्ण है । $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

मानिंद्रा अग्रवाल, एरिक एलेंडर, और स्टीवन रुडिच करके, " सर्किट जटिलता में कमी: समाकृतिकता प्रमेय और एक गैप प्रमेय ", 1999, के लिए पूरा हो गया है के तहत में कटौती। $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

मान । फिर कुछ के लिए । इसलिए । जिसका अर्थ है कि । $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

सभी के लिए तो हमारे पास $d$

का तात्पर्य और । $\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— कावेह
स्रोत