Schwartz-Zippel लेम्मा के वैकल्पिक प्रमाण

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मुझे केवल Schwartz-Zippel lemma के दो प्रमाणों की जानकारी है। पहला (अधिक सामान्य) प्रमाण विकिपीडिया प्रविष्टि में वर्णित है । दूसरा प्रमाण दाना मोशकोवित्ज़ द्वारा खोजा गया था।

क्या कोई अन्य प्रमाण हैं जो काफी अलग विचारों का उपयोग करते हैं?

— दाई ले
स्रोत

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क्या आप अपनी प्रेरणा के बारे में कुछ कह सकते हैं? विभिन्न दिशाओं में सामान्यीकरण की तलाश है? शायद ज्यामितीय अंतर्दृष्टि?

— प्रति वोगेसेन

मेरे पास वास्तव में कोई विशेष प्रेरणा नहीं है। मुझे बहुत आश्चर्य होगा कि वे इस महत्वपूर्ण लेम्मा को साबित करने के लिए केवल दो संभावित तरीके हैं!

— दाई ले

जबकि मैं इस बात से सहमत हूं कि यह लेम्मा महत्वपूर्ण है, महत्वपूर्ण लेमेस के पास कई अलग-अलग ज्ञात प्रमाण नहीं हैं। इसलिए, आपका कारण मुझे थोड़ा अजीब लगता है।

— त्सुयोशी इतो

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@ त्सुयुषी इतो: मैं आपकी टिप्पणी से सहमत हूं कि महत्वपूर्ण नींबू के कई ज्ञात प्रमाण नहीं हो सकते हैं। लेकिन मुझे लगता है कि यह पूछना सार्थक है कि क्या SZ Lemma के लिए भी ऐसा ही है। चूंकि एसजेड मौलिक है, इसलिए संभावना है कि इसे अलग-अलग संदर्भों के कई लोगों द्वारा स्वतंत्र रूप से खोजा गया था। इस प्रकार, विभिन्न प्रमाणों को सीखने के लिए कभी-कभी बहुत ही ज्ञानवर्धक IMHO होता है। सभी की शानदार टिप्पणियों के लिए फिर से धन्यवाद!

— दाई ले

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यहाँ एक और विचार है जो मेरे पास एक ज्यामितीय प्रमाण के लिए था। यह एक आवश्यक तरीके से प्रोजेक्टिव ज्यामिति का उपयोग करता है।

चलो $c \in \mathbb F^m$ ऊनविम पृष्ठ के बाहर एक affine बिंदु $S$ । केंद्र के रूप में का उपयोग करके अनन्तता पर हाइपरप्लेन पर हाइपरसुरफेस प्रोजेक्ट करें $c$ ; यह है कि, नक्शा हर $x \in S$ पर $p(x)$ के माध्यम से अद्वितीय लाइन के चौराहे, $c$ और $x$ अनंत पर hyperplane के साथ। के तहत preimages $p$ अनंत पर एक बिंदु के एक ही लाइन पर सब झूठ है, और इसलिए (फिर आयाम 1 करने के लिए समस्या को कम करने) सबसे देखते हैं $d$ उनमें से। अनंत पर hyperplane प्रमुखता है $|\mathbb F^{m-1}|$ , तो हम परिचित ऊपरी बाउंड $|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$ ।

— प्रति वोगसेन
स्रोत

सुंदर! और सिर्फ एक महत्वपूर्ण बिंदु पर जोर देने के लिए, लाइन हाइपरसुरफेस में निहित नहीं है क्योंकि यह बिंदु सी के माध्यम से जाता है, जो सतह के बाहर है।

— अर्नब

1

@ हर्नाब: वास्तव में, आप पहले से ही उस बिंदु को अपनी पोस्ट में अच्छी तरह से बना चुके हैं।

— प्रति वोगेसेन

1

@ स्वर्ण: बीटीडब्ल्यू, मुझे आशा है कि यह स्पष्ट है कि मैं इस विचार का दावा नहीं कर रहा हूं कि यह वास्तव में "नया" है। इन सभी प्रमाणों में एक समान गंध होती है। शायद यही उम्मीद की जा रही है।

— प्रति वोगेनस

2

@Per: हां, लेकिन किसी कारण से, मुझे Moshkovitz से बेहतर तर्क का आपका संस्करण पसंद है क्योंकि यह किसी भी तरह से अधिक ज्यामितीय लगता है और आपको प्रमुख मोनोमियल के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है। लेकिन मैं मानता हूं, मूल विचार बहुत समान है।

— अर्नब

@Per: आपका योगदान पहले से ही अद्भुत है। हां, वे वास्तव में नए नहीं हैं, लेकिन मुझे आपकी व्याख्या बहुत पसंद है। यह संगीत के एक शास्त्रीय टुकड़े को नई व्याख्या देने जैसा है। :-)

— दाई ले

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प्रति वॉगसेन के जवाब के अनुवर्ती के रूप में, दाना मोशकोवित्ज़ का प्रमाण पहले से ही Schwartz-Zippel Lemma के थोड़े कमजोर संस्करण के लिए वास्तव में आसान प्रमाण बताता है कि, मुझे लगता है, अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है।

$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$ $d$ $\mathbb{F}$ $q$ $x \in \mathbb{F}^n$ $f(x) \neq 0$ $(q^n-1)/(q-1)$ $x$ $\mathbb{F}^n-\{x\}$ $f$ $d$ $x$ $d$ $f$ $d(q^n-1)/(q-1)$ $d q^{n-1}$

इस प्रमाण की सहजता को देखते हुए, मुझे यकीन है कि यह लोककथा है; यदि नहीं, तो यह होना चाहिए :) अगर कोई संदर्भ दे सकता है तो मैं सराहना करूंगा।

— अर्नाब
स्रोत

3

बहुत अच्छा! क्या आप जानते हैं कि वह एक ही बात करता है, केवल एक बिंदु के बजाय अनंत बिंदु पर एक अनुमान के साथ? मैंने रिश्ते को और अधिक समझाने के लिए अपने मूल उत्तर में एक पैराग्राफ जोड़ा।

— प्रति सोग्न

1

आह, यह एक महान व्याख्या है! धन्यवाद!

— अर्नब सिप

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मोशकोवित्ज़ का प्रमाण सरल ज्यामिति पर आधारित है, लेकिन उस पर कागज बहुत स्पष्ट नहीं है। यहाँ विचार है:

$d$ $m$ $\mathbb F^m$ $\mathbb F^m$ $\mathbb F^{m-1}$ $\mathbb F^m$ $d\ |F|^{m-1}$

इससे पता चलता है कि समान रेखाओं के साथ अन्य प्रमाण काम कर सकते हैं।

$w = 0$

संपादित करें: एक नए (लेकिन पूरी तरह से असंबंधित) प्रमाण के लिए मेरा अन्य उत्तर देखें।

— प्रति वोगेन का पता चलता है
स्रोत

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प्रयास 1:

क्या आपने अरोड़ा / बराक की पुस्तक लेम्मा ए .३६ (पृष्ठ ५२ ९) को देखा है ? यह लगभग आधा पृष्ठ है, और प्रेरण पर आधारित है।

यदि आपके पास पुस्तक तक पहुंच नहीं है, तो मैं यहां प्रमाण ले जा सकता हूं।

प्रयास 2:

श्वार्ट्ज-जिप्पल लेम्मा के जिज्ञासु इतिहास के बारे में क्या ? अन्य लोगों के बीच, यह डीमेलो-लिप्टन के कागज का हवाला देते हुए , 1977 तक वापस डेटिंग करता है। कई अन्य कागजात नाम के साथ-साथ तुलना में भी हैं।

प्रयास 3:

निम्नलिखित MathOverflow विषय ब्याज के रूप में अच्छी तरह से हो सकता है: बहुपद पहचान परीक्षण के लिए पी / पाली एल्गोरिथ्म ।

— एमएस डौस्ती
स्रोत

हाँ, मैंने किया। लेकिन यह प्रमाण अनिवार्य रूप से विकिपीडिया के समान है।

— दाई ले

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Schwartz-Zippel लेम्मा नोगा अलोन और Zoltan Füredi की एक प्रमेय का एक विशेष मामला है जैसा कि इस पत्र की धारा 4 में दिखाया गया है: एक परिमित ग्रिड में एक बहुपद के शून्य पर , और इसलिए उस प्रमेय का कोई भी नया प्रमाण Schwartz का एक नया प्रमाण देता है। -Zippel। अब तक, मैं छह अलग-अलग सबूतों को जानता हूं, जिनमें से दो कागज में दिखाई देते हैं और अन्य वहां संदर्भित होते हैं।

Alon-Furedi प्रमेय निम्नलिखित कहता है:

$F$ $A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$ $f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$ $A$ $f(x) \neq 0$ $\min \prod y_i$ $x \in A$ , जहां न्यूनतम सभी सकारात्मक पूर्णांकों पर लिया जाता है with । $y_i \leq \# A_i$ $\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

इसमें यदि आप मान और न्यूनतम काम करते हैं (जो कागज में उल्लिखित बॉन्स सामान में बॉल्स का उपयोग करके आसानी से किया जा सकता है), तो आपको एक क्षेत्र में (या () पर श्वेत-जिप्पल लेम्मा मिलता है डोमेन)। $\deg f < \min \#A_i$

— अनुराग
स्रोत

क्या आप web.stanford.edu/~rrwill/graph-cr.pdf में लेम्मा 2.2 देख सकते हैं ? रयान विलियम्स ने मेरे जवाब के तहत अपनी टिप्पणी के माध्यम से इसका मतलब है, और यह कभी भी जाँच करने के लिए मेरी टूडो सूची में है कि क्या इसे कम्यूटेटिव रिंगों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ऐसा लगता है कि आप वर्तमान में मुझसे बहुत अधिक गहरे हैं, इसलिए आप इसे आजमाते नहीं हैं?

— थॉमस क्लिंपेल

@ThomasKlimpel: मैं उत्तर को संशोधित करूँगा। मैंने इसे तब लिखा था जब मैंने सीएस सिद्धांत स्टैकएक्सचेंज का उपयोग करना शुरू किया था। और हां, लेम्मा 2.2 {0,1} के बाद से मनमाने ढंग से कम्यूटेटिव रिंग पर काम करता है, n हमेशा कंडीशन (D) को संतुष्ट करता है।

— अनुराग

कहा जाता है कि एक मनमाने ढंग से कम्यूटेटिव रिंग का एक सबसेट कंडीशन (D) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, यदि , सभी एक शून्य विभाजक नहीं है। एक "ग्रिड" को इस स्थिति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि सभी उन्हें संतुष्ट करते हैं। Schwartz-Zippel, और अन्य संबंधित परिणाम, इन सामान्यीकरण के तहत काम करते हैं जैसा कि कागज में दिखाया गया है।

S

$S$

R

$R$

x \neq y \in S

$x \neq y \in S$

x - y

$x - y$

A_{1} \times \dots \times A_{n} \subseteq R^{n}

$A_1 \times \dots \times A_n \subseteq R^n$

A_{i}

$A_i$

— अनुराग

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Schwartz-Zippel लेम्मा का मूल सूत्रीकरण केवल फ़ील्ड पर लागू होता है:

लेम्मा (Schwartz, Zippel)।
चलो हो एक गैर शून्य कुल डिग्री के बहुपद एक क्षेत्र, पर । चलो की एक निश्चित सबसेट हो और जाने से स्वतंत्र रूप से और समान रूप से यादृच्छिक पर चुना जा । उसके बाद $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ $d \geq 0$ $F$ $S$ $F$ $r_1, r_2, \dots, r_n$ $S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

एक लेम्मा को इस तरह से सुधार सकता है कि यह मनमाने ढंग से चलने वाले छल्ले के लिए समझ में आता है:

लेम्मा (Jebekábek)।
चलो एक गैर शून्य कुल डिग्री के बहुपद हो विनिमेय रिंग से अधिक, । चलो की एक निश्चित सबसेट हो के साथ और जाने स्वतंत्र रूप से और समान रूप से से चुना जाता है । उसके बाद $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ $d \geq 0$ $R$ $S$ $R$ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ $r_1, r_2, \dots, r_n$ $S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

विकिपीडिया से प्रमाण का लाभ यह है कि यह दिखाने के लिए सामान्यीकरण करता है कि सुधार मनमाने ढंग से चलने वाले छल्लों के लिए सही है, जिस पर यहां एमिल जेकाब द्वारा ध्यान दिया गया है और काम किया गया है ।

यह Schwartz-Zippel लेम्मा का एक वैकल्पिक प्रमाण देता है, सामान्य कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए सुधार साबित करके, और कोरोलरी के रूप में खेतों के लिए सामान्य सूत्रीकरण प्राप्त करता है।

— थॉमस क्लिम्पेल
स्रोत

बहुपद कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए फ्री अलजेब्रा हैं, यानी एडिटिव इन्वर्स के अलावा एडिटिव इनवर्स, मल्टीप्लेशन और कॉन्स्टेंट के अलावा जो फ्री एल्जेब्रा पैदा होता है। आरंभिक आशा यह थी कि मुक्त बीजगणित के लिए श्वार्ट्ज-जिप्पल लेम्मा का सामान्यीकरण किया जाए, जिसमें अतिरिक्त रूप से शामिल (सामान्यीकृत) गुणक नियमित रिंगों के स्वयंसिद्धों के सापेक्ष व्युत्क्रम करता है । जनवरी ए। बर्गस्त्र द्वारा काम भी देखें ।

— थॉमस क्लिंपेल

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कम मान्यताओं और एक कमजोर त्रुटि के साथ इस अवलोकन का एक अन्य संस्करण दिखाई देता है और एक प्रतिबंधित रूप में लागू होता है (सिर्फ लिए वर्जीनिया में जोश वांग और हचेंग यू के साथ एक पेपर में कहा गया है ): "चार नोड उपसमूह ढूंढना त्रिकोण समय "...

Z_{m}

$Z_m$

— रयान विलियम्स

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@ रेयानिलियम्स ने अनुराग बिश्नोई के हालिया उत्तर में उद्धृत एक बहुपद में एक बहुपद के शून्य पर पेपर उपरोक्त उपरोक्त लेम्मा, अलोन-फ़्यूडी प्रमेय और लेम्मा 2.2 को उस Soda'15 पेपर (और बन्धन के तीखेपन) से सामान्यीकृत किया है। । इस तरह के सामान्यीकरण को खोजने के लिए आपकी टिप्पणी के बाद से यह मेरी टुडे सूची में था, इसलिए यह मेरे दृष्टिकोण से एक महत्वपूर्ण उपलब्धि है (इसलिए कोई भी लेखकों को बधाई दे सकता है)।

— थॉमस क्लिंपेल