निर्धारक और मैट्रिक्स गुणन - एल्गोरिथम जटिलता और अंकगणित सर्किट आकार में समानता और अंतर

मैं निर्धारक और मैट्रिक्स गुणन के एल्गोरिथम जटिलता और सर्किट जटिलता के बीच के संबंध को समझने की कोशिश कर रहा हूं।

यह ज्ञात है कि एक के निर्धारक मैट्रिक्स जा सकती है अभिकलन में समय है, जहां न्यूनतम समय किसी भी दो गुणा करने के लिए आवश्यक है मैट्रिक्स। यह भी ज्ञात है कि निर्धारकों की सर्वश्रेष्ठ सर्किट जटिलता और घातीय पर बहुपद है $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ गहराई पर 3. लेकिन किसी भी स्थिर गहराई के लिए मैट्रिक्स गुणन की सर्किट जटिलता केवल बहुपद है।

निर्धारक और मैट्रिक्स गुणन के लिए सर्किट जटिलता में अंतर क्यों है जबकि यह ज्ञात है कि एक एल्गोरिथ्म परिप्रेक्ष्य से निर्धारक गणना मैट्रिक्स गुणन के समान है? विशेष रूप से, सर्किट जटिलताओं में गहराई पर घातीय अंतराल क्यों होता है- ? $3$

शायद, स्पष्टीकरण सरल है लेकिन मैं इसे नहीं देखता हूं। क्या 'कठोरता ’के साथ कोई स्पष्टीकरण है?

इसे भी देखें: निर्धारक के लिए सबसे छोटा ज्ञात सूत्र

— टी ....
स्रोत

जवाबों:

विभिन्न छोटे जटिलता वर्गों के लिए सर्किट मूल्य की समस्या और बूलियन सूत्र मूल्यांकन पर विचार करें। नियतात्मक अनुक्रमिक समय की जटिलता उनके समान है जहां तक हम जानते हैं, फिर भी वे सर्किट जटिलता परिप्रेक्ष्य से बहुत अलग हैं। एक मॉडल पर एक विशेष प्रकार के संसाधन में समानता अन्य मॉडलों में अन्य संसाधनों के लिए समानता का अर्थ नहीं है। एक समस्या ऐसी हो सकती है कि हम एक के लिए समानांतर गणना का दोहन कर सकते हैं जबकि हम एक और के लिए ऐसा नहीं कर सकते, फिर भी उनकी अनुक्रमिक समय जटिलता समान हो सकती है।

जब हम मॉडल और विभिन्न संसाधनों में दो समस्याओं की जटिलता के बीच अधिक मजबूत संबंध की उम्मीद कर सकते हैं? जब वे उन दोनों दिशाओं में उनके बीच मजबूत कमी कर रहे हैं जो उन मॉडलों में संसाधनों का सम्मान करते हैं।

संपादित करें: गुणन में उप-प्रकार के आकार की गहराई 3 सर्किट होती है। निर्धारक के लिए उस तरह की निचली-बाउंड को साबित करना यह दिखाएगा कि यह में नहीं है, इसे से अलग किया जाए जो ज्ञात नहीं है। $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— कावेह
स्रोत

"गुणन में उप-आकार की गहराई 3 सर्किट होती है।" मुझे लगता है कि गुणा में

सर्किट का आकार किसी भी गहराई पर होगा क्योंकि इसमें केवल

चर खींचना और उन्हें किसी क्रम में गुणा करना और मध्यवर्ती उत्पादों को जोड़ना है।

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— टी ....

दो पूर्णांकों का गुणा

लिए पूर्ण है और इसलिए

में नहीं है ।

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— केवह

मैं अभी के लिए केवल अनुक्रमिक जटिलता देख रहा हूं।

— टी ....

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपकी टिप्पणी का पालन करूंगा। मुझे लगता है कि मेरी पोस्ट बूलियन सेटिंग में सवाल का जवाब देती है (प्रश्न में मूल रूप से IIRC अंकगणितीय सर्किट का उल्लेख नहीं किया गया था)। अंकगणित सर्किट सेटिंग के लिए मुझे ज्यादा जानकारी नहीं है, उम्मीद है कि अन्य लोग इस सवाल का जवाब देंगे।

— केवह

मैं कहूंगा कि अंकगणितीय सेटिंग्स में अंतर हमें बताता है कि मैट्रिक्स गुणन निर्धारक की तुलना में स्वाभाविक रूप से बहुत अधिक समानांतर कार्य है। दूसरे शब्दों में, जबकि दोनों समस्याओं की अनुक्रमिक जटिलताएं निकटता से संबंधित हैं, उनकी समानांतर जटिलताएं एक दूसरे से करीब नहीं हैं।

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— ब्रूनो
स्रोत

मुझे नहीं पता कि क्या यह एक अटॉर्नी है "क्यों सर्किट की जटिलताओं में गहराई -3 पर एक घातीय अंतर है?", लेकिन कम से कम आपके पास इस तथ्य का एक प्रमाण है कि वह Csanky का पेपर है।

— ब्रूनो

अगर मैं सही ढंग से समझता हूं, तो आप समझ रहे हैं: एक बहुपद संख्या में प्रोसेसर होने के लिए, एक लघुगणकीय गहराई चाहिए?

— टी ....

मुझे याद नहीं कि सटीक मॉडल Csanky का इस्तेमाल किया गया था। दरअसल, वह इस पर विचार कर रहे हैं कि आजकल हम बाउंडेड फैन के साथ अंकगणित सर्किट को क्या कहते हैं । इस प्रकार निचली सीमा काफी तुच्छ है और मैट्रिक्स गुणन के साथ मेरी तुलना प्रासंगिक नहीं है।

— ब्रूनो