इस एज रंग समस्या की जटिलता क्या है?

Question

हाल ही में, मैंने एज कलरिंग के निम्न प्रकार का सामना किया है।

एक जुड़े हुए अप्रत्यक्ष ग्राफ को देखते हुए, किनारों की एक रंगाई का पता लगाएं, जो अधिकतम संख्या में रंगों का उपयोग करता है, जबकि बाधा को भी संतुष्ट करता है कि, प्रत्येक वर्टेक्स , किनारों की घटना अधिकतम दो रंगों में वी का उपयोग करती है।$v$$v$

मेरा पहला अनुमान है कि समस्या एनपी-हार्ड है। ग्राफ़िकल रंग की समस्याओं के लिए शास्त्रीय एनपी-हार्ड सबूत ज्यादातर 3SAT से कमी के द्वारा होते हैं। लेकिन मेरी राय में, ये सबूत इस समस्या के लिए उपयोगी नहीं हैं क्योंकि एक शिखर पर किनारों की घटना एक ही रंग के साथ रंगी जा सकती है, इसलिए हम ग्राफ़ में तर्क घटकों का निर्माण नहीं कर सकते हैं।

क्या यह समस्या एनपी-हार्ड हो सकती है? यदि हाँ, तो क्‍या प्रमाण है? यदि हम एक प्रमाण को ठीक नहीं कर सकते हैं, तो क्या इस समस्या की जटिलता को निर्धारित करने का कोई तरीका है?

धन्यवाद!

Comments

शायद मिक्स्ड या कलर-बाउंड हाइपरग्राफ कलरिंग एक शुरुआत हो सकती है? उदाहरण के लिए, dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019

— एंड्रास सालेमन

ऐसा लगता है कि आपकी समस्या P में है, दो चरणों में: (1) आपकी समस्या किनारों के अधिकतम-आकार वाले सबसेट को खोजने के बराबर है, जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम दो में डिग्री होती है, और (2) बाद की समस्या इसमें होती है। पी द्वारा, कहना, मिलान में कमी। (1) के बारे में, ध्यान दें कि k रंगों के साथ आपकी समस्या का कोई भी समाधान आकार k की डिग्री -2 सबग्राफ देता है (बस प्रत्येक रंग से एक किनारे को बनाए रखें), और इसके विपरीत आकार k का कोई भी डिग्री -2 सबग्राफ k रंगों के साथ समाधान देता है। (बस एक किनारे को अपने ही रंग में रंग दें, बाकी किनारों को किसी एक रंग से रंग दें)। मुझे किसकी याद आ रही है?

— नील युवा

मुझे खेद है कि आपके उत्तर में कई गलतियाँ हैं। सबसे पहले, समस्या "किनारों का अधिकतम-आकार वाला सबसेट ढूंढना, जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम दो में डिग्री है", एनपी-हार्ड है, 3SAT में कमी (मुझे वास्तव में नहीं पता कि यह मिलान में कमी कैसे हो सकती है)। क्या अधिक है, "किसी भी डिग्री -2 आकार के के सबग्राफ" के रंगों के साथ एक समाधान नहीं देता है ", उदाहरण के लिए, पूर्ण ग्राफ़। आप सब का धन्यवाद।

— RIC_Eien

हाँ तुम सही हो। के बारे में (2), चरण "किसी भी रंग के साथ बाकी किनारों को रंग दें" तीन रंगों के कुछ शीर्ष किनारों को दे सकते हैं। अलग से, मर्कक चोबक ने मुझे निम्नलिखित एल्गोरिदम का सुझाव दिया। मुझे लगता है कि यह 3-सन्निकटन देता है: (i) एक अधिकतम मिलान एम; (ii) प्रत्येक किनारे को M के अपने अनूठे रंग में रंग दें; (iii) शेष किनारों को सफेद रंग दें।

— नील युवा

@RIC_Eien: आगे शर्मिंदगी के जोखिम पर .. क्या आपको यकीन है कि "समस्या 'किनारों के अधिकतम आकार के सबसेट को ढूंढ रही है जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम दो में डिग्री है, एनपी-हार्ड है"? G = (V, E) को देखते हुए, द्विदलीय G2 = (U, W, E2) बनाएं, जहां V में प्रत्येक शीर्ष v के लिए U में v और v में '' v, और E2 = {(u), w ''): (u, w) E} में। फिर जी 2 में मिलान जी में किनारों के डिग्री -2 सेट के अनुरूप हैं, और पत्राचार आकार को संरक्षित करता है? (जैसा कि G में प्रत्येक k- चक्र C G2 से मेल खाता है या तो 2k- चक्र (यदि k विषम) या दो k- चक्र (यदि k भी)।) तो G2 में अधिकतम-मिलान इसे हल करता है। इस बार मुझे क्या याद आ रहा है?

— नील युवा

Answer 1

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इस समस्या के पैरामीटरकृत जटिलता पहलुओं को इस हाल के पेपर में संबोधित किया गया है ।

Comments

मैं इस अच्छी समस्या के बारे में सोच रहा हूं ... क्या आप कृपया कमी का वर्णन कर सकते हैं? मेरे पास कागज तक पहुंच नहीं है। धन्यवाद!

— user13667

@ user13667 आप लेखकों से उनके कागज की एक प्रति भेजने के लिए कह सकते हैं। मुझे लगता है कि उन्हें ऐसा करने में खुशी होगी।

— vb le

सबसे बड़े रंग समूह के आकार को कम करते हुए रंगों की संख्या को अधिकतम करने वाले रंग को खोजने के संबंधित प्रश्न का भी अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, मास्टर्स की थीसिस के कई विस्तृत परिणाम हैं।

— नीलाधारा