हम एक सेट परिवार के सेट समावेशन पॉसेट की कितनी तेजी से गणना कर सकते हैं?

एक ब्रह्मांड के सबसेट के सेट परिवार को देखते हुए । चलो और हम चाहते हैं जवाब है करने के लिए । $\mathcal{F}$ $U$ $S_1,S_2 \in \mathcal F$ $S_1 \subseteq S_2$

मैं एक डेटा-संरचना की तलाश कर रहा हूं जो मुझे इसका उत्तर जल्दी से देने की अनुमति देगा। मेरा आवेदन ग्राफ सिद्धांत से है जहां मैं यह देखना चाहता हूं कि क्या एक शीर्ष और उसके पड़ोस को हटाना किसी अलग-थलग कोने को छोड़ देता है, और प्रत्येक शीर्ष सूची के लिए सभी पृथक कोने इसे छोड़ देते हैं।

मैं संपूर्ण स्थिति बनाना चाहता हूं या अंततः a तालिका को सही गलत बताते हुए कहता हूं कि कौन सा सेट प्रत्येक उपसमूह का उपसमूह है। $|\mathcal{F}|^2$

चलो, और , मान $m = \sum_{S\in \mathcal{F}} |S|$ $u = |U|$ $n = |\mathcal{F}|$ $u,n \leq m$

हम समय में $n \times u$ समरूपता मैट्रिक्स (द्विदलीय ग्राफ) उत्पन्न कर सकते हैं और फिर प्रत्येक सेट द्वारा समय में सभी तुलनाओं की तालिका बना सकते हैं। , सभी अन्य सेटों के सभी तत्वों के माध्यम से लूप करें और सेट को सबसेट के रूप में चिह्नित करें यदि वे तत्व में नहीं हैं । कुल समय में। $O(un)$ $n^2$ $O(nm)$ $S \in \mathcal{F}$ $S$ $S$ $O(nm)$

क्या हम कुछ तेज कर सकते हैं? विशेष रूप से, $O((n+u)^2)$ समय संभव है या नहीं?

मुझे कुछ संबंधित लेख मिले:

सबसेट आंशिक आदेश (1995) की गणना के लिए एक सरल उप-द्विघात एल्गोरिथम जो एक $O(m^2 / log(m))$ एल्गोरिथ्म देता है।

सबसेट आंशिक आदेश: कम्प्यूटिंग और कॉम्बिनेटरिक्स उपरोक्त में थोड़ा सुधार करते हैं, लेकिन यह भी दावा करते हैं कि उपरोक्त पेपर $O(md)$ समय में समस्या को हल करता है जहां $d$ एक सामान्य तत्व को साझा करने वाले सेट की अधिकतम संख्या है, लेकिन मैं इस परिणाम को समझ नहीं पाया।

और के बीच $O(nm)$ $O(n^{\alpha})$ के लेख में लेखक दिखाते हैं कि ग्राफ़ में मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करके किसी शीर्ष के बंद पड़ोस को हटाने के बाद कनेक्ट किए गए घटकों को कैसे खोजें। इसका उपयोग रनटाइम के साथ सिंगललेट्स वाले सभी घटकों को खोजने के लिए सेट समावेशन पॉसेट की गणना करने के लिए किया जा सकता है $O((n+u)^{2.79})$ ।

साथ ही यह फोरम चर्चा से संबंधित है: सेट समावेशन की जांच करने का सबसे तेज़ तरीका क्या है? जिसका तात्पर्य निचली सीमा से है । $O(n^{2-\epsilon})$

graph-algorithms ds.data-structures partial-order

— मार्टिन वात्सल
स्रोत

बस एक सुझाव: क्या आप सेट करके प्रश्न को सरल बना सकते हैं ? या आपके आवेदन में दोनों पैरामीटर महत्वपूर्ण हैं?

u = n

$u=n$

— कॉलिन मैकक्लिअन

मेरे आवेदन में मेरे पास जहाँ अर्थ है विषम रूप से छोटा।

u << n << 2^{u}

$u << n << 2^u$

<<

$<<$

— मार्टिन वत्सल

यदि यादृच्छिकता सीमा में है, तो एक मोटा विचार "यादृच्छिक मोनोटोनिक हस्ताक्षर" कार्यों का एक गुच्छा उत्पन्न करेगा और उन्हें उप-संबंध (एक ला ब्लूम फिल्टर) अनुमानित करने के लिए उपयोग करेगा। दुर्भाग्य से, मुझे नहीं पता कि इसे एक व्यावहारिक एल्गोरिथ्म में कैसे बनाया जाए, लेकिन यहां कुछ अनुमान हैं जो विचार को तुरंत असंभव साबित नहीं करते हैं। यह एक उपयोगी समाधान से बहुत दूर है, लेकिन अगर यह मदद करता है तो मैं इसे लिखूंगा।

सादगी के लिए मान लें कि सेट सभी लगभग एक ही आकार के हैं, कहते हैं , और वह । हम मान सकते हैं , अन्यथा हम कर रहे हैं। परिभाषित ध्यान दें कि । $|S| = s \pm O(1)$ $s = o(u)$ $1 \ll s$

\begin{aligned} q & = [s / 2] \\ p & = [\frac{(\binom{u}{क्ष})}{(\binom{s}{क्ष})}] \end{aligned}

$\begin{aligned} q &= [s/2] \\ p &= \left[\frac{u \choose q}{s \choose q}\right] \end{aligned}$

p ≫ 1

$p \gg 1$

यहाँ बेतहाशा अव्यवहारिक हिस्सा है। बेतरतीब ढंग से चयन सबसेट प्रतिस्थापन, आकार से प्रत्येक के साथ , और एक समारोह को परिभाषित द्वारा iff कुछ के लिए । साथ तय की और बेतरतीब ढंग से अलग, हमारे पास है चूंकि मोनोटोनिक है, का तात्पर्य है $p$ $A_1, \ldots, A_p \subset U$ $q$ $f : 2^U \to \{0,1\}$ $f(S) = 1$ $A_i \subset S$ $i$ $S$ $A_i,f$

\begin{aligned} Pr (f (S) = 0) & = Pr (\forall i . A_{i} ⊄ S) \\ = Pr (A_{1} ⊄ S)^{p} \\ = {(1 - (\binom{s}{q}) / (\binom{u}{q}))}^{p} \\ = e^{- Θ (1)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0) &= \Pr(\forall i. A_i \not\subset S) \\ &= \Pr(A_1 \not\subset S)^p \\ &= \left(1 - {s \choose q}/{u \choose q}\right)^p \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$

f (S)

$f(S)$

S \subset T

$S \subset T$

f (S) \leq f (T)

$f(S) \le f(T)$ । यदि , कुछ ठीक करता । वह संभावना जो पता लगाती है कि है,

T ⊄ S

$T \not\subset S$

t \in T - S

$t \in T-S$

f

$f$

T ⊄ S

$T \not\subset S$

\begin{aligned} Pr (f (S) = 0 < 1 = f (T)) & = Pr (f (S) = 0) Pr (f (T) = 1 | f (S) = 0) \\ = e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . A_{i} \subset T, A_{i} \cap T - S \neq 0 | f (S) = 0) \\ = e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . t \in A_{i} \subset T | f (S) = 0) \\ \leq e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . t \in A_{i} \subset T) \\ \approx e^{- Θ (1)} p Pr (t \in A_{1} \subset T) \\ \leq e^{- Θ (1)} p (\binom{s}{q - 1}) / (\binom{u}{q}) \\ \approx e^{- Θ (1)} p \frac{q}{s - q} (\binom{s}{q}) / (\binom{u}{q}) \\ = e^{- Θ (1)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0 < 1 = f(T)) &= \Pr(f(S) = 0) \Pr(f(T) = 1 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. A_i \subset T, A_i \cap T-S \ne 0 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T | f(S) = 0) \\ &\le e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T) \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \Pr(t \in A_1 \subset T) \\ &\le e^{-\Theta(1)} p {s \choose q-1} / {u \choose q} \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \frac{q}{s-q} {s \choose q} / {u \choose q} \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$ उन चरणों में से कुछ बहुत कठिन हैं, लेकिन मेरे पास आज रात उन्हें सुधारने का समय नहीं है। किसी भी मामले में, यदि वे सभी पकड़ लेते हैं, तो कम से कम यह स्पष्ट रूप से असंभव नहीं है कि वे हस्ताक्षर कार्यों को बेतरतीब ढंग से उत्पन्न कर सकें, जो कि उपसमुच्चय से उपसमुच्चय को अलग करने की उचित संभावना रखते हैं। इस तरह के कार्यों की एक लघुगणक संख्या तब सभी जोड़ियों को सही ढंग से भेद देगी। यदि कोई हस्ताक्षर फ़ंक्शन उत्पन्न करता और कंप्यूटिंग को समय तक घटाया जा सकता है , तो परिणाम समग्र एल्गोरिदम होगा।

f

$f$

f (S)

$f(S)$

\tilde{O} (n + u)

$\tilde{O}(n+u)$

\tilde{O} (n^{2} + u^{2})

$\tilde{O}(n^2+u^2)$

यहां तक कि अगर उपरोक्त गणना सही हैं, तो मुझे नहीं पता कि वांछित सुविधाओं के साथ मोनोटोनिक हस्ताक्षर कार्यों को जल्दी से कैसे उत्पन्न किया जाए। यह भी संभावना है कि यह तकनीक काफी भिन्न सेट आकारों में विस्तारित नहीं होती है।

— जेफ्री इरविंग
स्रोत