जटिलता एक-वैकल्पिक एसएमटी

मैं एक सूत्र की संतुष्टि की जटिलता की तलाश कर रहा हूं $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ या एक सूत्र के $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ जहाँ फॉर्म का सूत्र है: जहाँ में स्थिर हैं , और चर का डोमेन भी । $\phi$

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

वास्तव में या तो कर रहे हैं या । क्या यह जटिलता को सरल करता है? $y_i$ $0$ $1$

संदर्भों के साथ सभी उत्तर सहर्ष स्वीकार किए जाएंगे।

धन्यवाद

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
स्रोत

यदि फली बूलियन थी, तो आप बहुपद पदानुक्रम के दूसरे स्तर पर हैं क्योंकि मैं एक गैर-निर्धारक ट्यूरिंग मशीन द्वारा एक सैट सॉल्वर का उपयोग करके समस्या को हल कर सकता हूं। यहाँ एक ही तर्क काम नहीं करेगा?

— मिकोल्स

जैसा कि इस प्रश्न में कहा गया है कि यह भी अनिर्दिष्ट है, क्योंकि इसमें हिल्बर्ट्स 10 वीं समस्या शामिल है ।wikipedia.org/ wiki

— Magnus Find

@MagnusFind धन्यवाद, आप सही हैं। लेकिन वास्तव में मेरे पास गुणा (संपादित, खेद) नहीं है।

— वीस

@ मायकोलाज़ का दूसरे स्तर पर मतलब है

Π_{2}

$\Pi_2$ या

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ? वास्तव में बहुपद पदानुक्रम खेद से परिचित नहीं है।

— वीस

क्या आपके पास उन परिमाणों के अलावा अन्य मुफ्त चर हैं? यदि हां, तो आपको यह भी स्पष्ट करना चाहिए। Btw, एक आसान अवलोकन यह प्रतीत होता है कि यह बहुपद पदानुक्रम के तीसरे स्तर के लिए कम से कम कठिन है, भले ही आप मात्रात्मक चर लेते हों

0

$0$ तथा

1

$1$ ।

— केवह

जवाबों:

बाउंडेड क्वांटिफायर अल्टरनेशन के साथ प्रेसबर्गर अरिथमेटिक में सच्चाई के सवाल का जवाब रेड्डी और लोबैंड द्वारा कुछ सटीक रूप से दिया गया है:

सीआर रेड्डी और डीडब्ल्यू लवलैंड: बाउंडेड क्वांटिफायर अल्टरनेशन के साथ प्रिस्बगर एरिथमेटिक ।

कागज यहाँ पाया जा सकता है (बदसूरत लिंक के लिए खेद है)। उनका मुख्य परिणाम निम्नानुसार है:

में सदस्यता $\mathrm{PA}(m)$ (कहाँ पे $m$ लंबाई की मात्रात्मक प्रत्यावर्तन) की संख्या है $n$ अंतरिक्ष के भीतर तय किया जा सकता है
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ और (निर्धारक) समय $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ कहाँ पे $d$ तथा $e$ निरंतर हैं।

ले रहा $m=2$ यह आपको जो चाहिए उस पर कम से कम एक ऊपरी सीमा देता है, और मुझे संदेह है कि यह तंग से बहुत दूर नहीं है, क्योंकि आपके पास "रूट पर" पूर्ण प्रेस्बर्गर परमाणु सूत्र हैं।

— कोड़ी
स्रोत

प्रेस्बर्गर अंकगणित में एक एकल प्रत्यावर्तन घातीय कम सीमा प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है, प्रश्न के साथ अधिक सटीक सूत्र $m=1$ तथा $n$ निश्चित प्रत्यय नहीं ( ग्रैडल 1989 )।

— सिल्वेन
स्रोत

मुझे परिमाणित टुकड़े के संदर्भ नहीं पता हैं, लेकिन आपकी समस्या समान नहीं है कि प्रिसबर्गर अंकगणित के अच्छी तरह से अध्ययन किए गए टुकड़े तय करें क्योंकि आपके पास इकाई गुणांक हैं।

प्रैट द्वारा नीचे दिए गए पेपर में उस मामले का अध्ययन किया गया है जहां बाधाएं फॉर्म की हैं $x + c < y$ , कहाँ पे $x$ तथा $y$ चर हैं और $c$ एक प्राकृतिक संख्या में। वह दिखाता है कि अगर एक ग्राफ एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ऐसी बाधाओं का एक संयोजन कुशलतापूर्वक किया जा सकता है, तो निर्णय लेने की समस्या।

दो आसान सिद्धांत जिनका संयोजन कठिन है। प्रैट, 1977।

इस टुकड़े को अंतर तर्क भी कहा जाता है और संक्षिप्त समय के लिए, दुर्भाग्य से जुदाई तर्क कहा जाता है (क्योंकि $x$ तथा $y$ एक स्थिरांक से अलग हो जाते हैं)। निम्नलिखित कागज समस्या के क्वांटिफायर-मुक्त टुकड़े को हल करने का व्यावहारिक दृष्टिकोण प्रदान करता है।

सैट और इंक्रीमेंटल नेगेटिव साइकल एलिमिनेशन द्वारा सेपरेशन लॉजिक फॉर्मूला तय करना। चाओ वैंग, फ्रेंजो इवानिक, मलय गनाई, आरती गुप्ता, 2005।

वर्तमान में, आपका प्रश्न केवल गुणांक को अनुमति देता है $0$ तथा $1$ । यदि आप भी अनुमति देते हैं $-1$ एक गुणांक के रूप में, आपको प्राप्त होने वाली बाधाओं के संयोजन को कार्यक्रम विश्लेषण साहित्य में अष्टक कहा जाता है। अवरोधों के संयोजन और विघटन यूनिट टू वेरिएबल्स प्रति असमानता (यूटीवीपीएल) के तर्क हैं । क्वांटिफायर-मुक्त यूटीवीपीआई बाधाओं के संयोजन की संतोषजनकता तय करने के लिए निम्नलिखित पेपर सर्वेक्षण एल्गोरिदम की शुरूआत।

UTVPI बाधाओं के लिए एक कुशल निर्णय प्रक्रिया। 2005 में शुवेंदु के। लाहिड़ी और मदनलाल मुसुवती।

हम अभी भी बहुत सीमित खंड में हैं। के संयोजन के लिए विस्तार $n$ यूनिट गुणांक के साथ -variable रैखिक असमानताओं एक कहा जाता है है octahedron । यह इतना स्वाभाविक विस्तार है कि मुझे उम्मीद है कि इसका गणितीय प्रोग्रामिंग और अनुकूलन साहित्य में अध्ययन किया गया है, लेकिन मुझे स्वयं उस साहित्य का पता नहीं है। नीचे दिया गया पेपर ए $\mathcal{O}(3^n)$ इस तरह की बाधाओं की संतोषजनक निर्णय लेने की प्रक्रिया। ध्यान दें कि हम अभी भी क्वांटिफायर मुक्त टुकड़े में हैं।

ऑक्टाहेड्रोन सार डोमेन। रॉबर्ट क्लैरिसो और जोर्डी कोरटडेला, 2004।

बाउंडेड क्वांटिफायर अल्टरनेशन केस के लिए, मुझे रेड्डी और लवलैंड की तुलना में बेहतर परिणाम की जानकारी नहीं है, लेकिन हो सकता है कि कोई विशेषज्ञ आपको सही दिशा में इंगित कर सके।

— विजय डी
स्रोत