स्ट्रैसन एल्गोरिथ्म में मैट्रिसेस की पसंद के पीछे बड़ी तस्वीर

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स्ट्रैसोन एल्गोरिथ्म में, दो मैट्रिक्स और के उत्पाद की गणना करने के लिए , मेट्रिसेस और को ब्लॉक मैट्रिक्स में विभाजित किया जाता है और एल्गोरिदम ब्लॉक मैट्रिक्स-मैट्रिक्स उत्पादों की पुनरावृत्ति कंप्यूटिंग के रूप में एक भोले ब्लॉक मैट्रिक्स का विरोध करता है। मैट्रिक्स उत्पाद, अर्थात, यदि हम चाहते हैं , जहां $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ फिर हमारे पास

ए = [\begin{matrix} ए_{1, 1} & ए_{1, 2} \\ ए_{2, 1} & ए_{2, 2} \end{matrix}], बी = [\begin{matrix} {बी}_{1, 1} & {बी}_{1, 2} \\ {बी}_{2, 1} & {बी}_{2, 2} \end{matrix}], सी = [\begin{matrix} {सी}_{1, 1} & {सी}_{1, 2} \\ {सी}_{2, 1} & {सी}_{2, 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

जिसमें

गुणा कीआवश्यकता होतीहै। स्ट्रैसन के बजाय, हम

गणना करते हैं

{सी}_{1, 1} = ए_{1, 1} {बी}_{1, 1} + ए_{1, 2} {बी}_{2, 1} {सी}_{1, 2} = ए_{1, 1} {बी}_{1, 2} + ए_{1, 2} {बी}_{2, 2} {सी}_{2, 1} = ए_{2, 1} {बी}_{1, 1} + ए_{2, 2} {बी}_{2, 1} {सी}_{2, 2} = ए_{2, 1} {बी}_{1, 2} + ए_{2, 2} {बी}_{2, 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

और प्राप्त

के उपयोग करते हुए

के रूप में

म_{1} : = (ए_{1, 1} + ए_{2, 2}) ({बी}_{1, 1} + {बी}_{2, 2}) म_{2} : = (ए_{2, 1} + ए_{2, 2}) {बी}_{1, 1} म_{3} : = ए_{1, 1} ({बी}_{1, 2} - {बी}_{2, 2}) म_{4} : = ए_{2, 2} ({बी}_{2, 1} - {बी}_{1, 1}) म_{5} : = (ए_{1, 1} + ए_{1, 2}) {बी}_{2, 2} म_{6} : = (ए_{2, 1} - ए_{1, 1}) ({बी}_{1, 1} + {बी}_{1, 2}) म_{7} : = (ए_{1, 2} - ए_{2, 2}) ({बी}_{2, 1} + {बी}_{2, 2})

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$

हालांकि, के चुनाव matrices

के मेरे लिए मनमाने ढंग से लग रहे हैं। क्या

और

के उप-मेट्रिक्स के इन विशिष्ट उत्पादों को चुनने के लिए एक बड़ी तस्वीर है? इसके अलावा, मैं उम्मीद करेंगे

के शामिल करने के लिए

एस और '

{सी}_{1, 1} = म_{1} + म_{4} - म_{5} + म_{7} {सी}_{1, 2} = म_{3} + म_{5} {सी}_{2, 1} = म_{2} + म_{4} {सी}_{2, 2} = म_{1} - म_{2} + म_{3} + म_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A

$\mathbf{A}$

B

$\mathbf{B}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$ ' एक सुडौल फैशन है, जो यहाँ मामला हो प्रतीत नहीं होता है में है। उदाहरण के लिए, हमारे पास

। मैं उम्मीद करूंगा कि इसके समकक्ष का कहना है कि

भी गणना की जाएगी। हालांकि, यह बाद से यह अन्य से प्राप्त किया जा सकता है

की।

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

अगर कोई इस पर कुछ प्रकाश डाल सकता है तो मैं सराहना करूंगा।

— समुदाय
स्रोत

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$2 \times 2$ $2 \times 2$

यदि आप अब लिए निचले बाउंड को साबित करना शुरू करते हैं $2 \times 2$

शॉनहेज ने एक बार मुझे बताया था कि स्ट्रैसन ने एक बार उन्हें बताया था कि उन्होंने अपने एल्गोरिथ्म को इस तरह से पाया, एक निचली सीमा को साबित करने की कोशिश करके।

— मार्कस ब्लैसर
स्रोत

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बुर्जगेज़र, क्लॉज़ेन और शोकरोलही (पृष्ठ ११-१२) की पुस्तक बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत में कुछ प्रकार की व्याख्या है। दो ठिकानों से शुरू करने का विचार है $A_0,A_1,A_2,A_3$ तथा $B_0,B_1,B_2,B_3$ के स्थान का $2\times 2$ वास्तविक संपत्ति जो निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करती है: $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ । इसके अलावा, $A_0 = B_0$ । दो मेट्रिसेस को गुणा करने के लिए $A$ तथा $B$ , उनमें से प्रत्येक का संगत आधार पर प्रतिनिधित्व करें, और उत्पाद का मूल्यांकन करें। चूंकि परिणाम में केवल सात अलग-अलग गैर-शून्य मैट्रिस दिखाई देते हैं ( $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ ), केवल सात उत्पादों की जरूरत है। $M$ मैट्रिस सिर्फ ये आधार हैं।

मुझे नहीं पता कि स्ट्रैसन इसे देखने के इस तरीके के साथ आया था या नहीं। तेज मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम को अंतर्निहित अन्य पहचान को ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या कुछ गहरा चल रहा है, कुछ फॉर्मूला काम करने की तुलना में। हम उस से पहले के माध्यम से कर रहे हैं - Lagrange चार वर्ग प्रमेय साबित करने के लिए चार वर्ग पहचान (जो पहले से जाना जाता था) का इस्तेमाल किया। पहले तो यह सिर्फ एक जिज्ञासु बीजगणितीय पहचान रही होगी, लेकिन अब हम जानते हैं कि यह चतुर्धातुक मानदंड के गुणन गुण को बताता है। ज्ञान की वर्तमान स्थिति को देखते हुए, यह बताना कठिन है कि क्या उपरोक्त व्याख्या उतनी ही उत्पादक है।

— युवल फिल्मस
स्रोत

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इस तरह के ठिकानों को एम-जोड़ी कहा जाता है, बुर्गीसेरर, क्लॉसेन, और शोकार्लोही द्वारा पुस्तक में न्यूनतम रैंक के बीजगणित पर अध्याय देखें। मुझे लगता है कि इस विचार के साथ आना काफी कठिन है कि एम-जोड़े बिना एल्डर-स्ट्रैसेन प्रमेय को जाने बिना (उपरोक्त पुस्तक को फिर से देखें) मौजूद हैं। विशेष रूप से,

2 \times 2

$2\times 2$ -मैट्रिस एकमात्र मैट्रिक्स बीजगणित है जिसके लिए एक एम-जोड़ी मौजूद है।

— मार्कस ब्लैसर