बाइनरी सुडोकू पहेली कितनी कठिन है?

Question

सुडोकू एक प्रसिद्ध पहेली है जो एनपी-पूर्ण है। बाइनरी सुडोकू एक ऐसा संस्करण है जो केवल संख्या और 1 की अनुमति देता है । नियम इस प्रकार हैं।$0$$1$

1. प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम में शून्य और समान संख्या होनी चाहिए।
2. प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ अद्वितीय है।
3. किसी भी पंक्ति या स्तंभ में शून्य या लोगों के लगातार त्रिगुण नहीं होते हैं ( एक निरंतर त्रिभुज है)।$1 1 1$

इनपुट एक वर्ग है जो आंशिक रूप से शून्य और लोगों से भरा है। पहेली को हल करने के लिए, उपरोक्त नियमों का सम्मान करते हुए N × N वर्ग में प्रत्येक सेल को 0 या 1 में से भरना चाहिए । बाइनरी सुडोकू पहेली को हल करने के लिए मुझे कोई अंतरंगता परिणाम नहीं मिला।$N \times N$$N \times N$$0$$1$

बाइनरी सुडोकू पहेली को हल करना कितना कठिन है? क्या यह एनपी-पूर्ण है?

इसके अलावा, मैं एक संबंधित समस्या की जटिलता में दिलचस्पी लेता हूं।

पूरी तरह से भरे हुए वर्ग को देखते हुए जो केवल 1 और 2 से ऊपर के नियमों का सम्मान करता है,$N \times N$

पंक्तियों और स्तंभों के क्रमांकन को ढूंढना कितना कठिन है, जिसके परिणामस्वरूप वर्ग 3 नियम का सम्मान करता है?

Comments

यह एक ही समस्या नहीं है, इसलिए मैं इसे एक उत्तर के बजाय एक टिप्पणी के रूप में छोड़ दूंगा, लेकिन मेरे पेपर arxiv.org/abs/1202.5074

— डेविड एपस्टीन

एक द्विआधारी पहेली (इस समस्या) एप्लिकेशन के लेखक के रूप में, मैं आपको एक अवलोकन (प्रमाण नहीं) की पेशकश कर सकता हूं: अभ्यास में देखी गई इस पहेली के सभी उदाहरणों को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन ऐसे उदाहरण हैं जो दिखाई देने योग्य नहीं हैं इस तरह, अर्थात् बिल्कुल ऐसे उदाहरण जहां आप एक ऐसी स्थिति पर पहुंच जाते हैं जहां तीन नियमों में से कोई भी सीधे एक विशिष्ट मूल्य लेने के लिए एक सेल को मजबूर नहीं करता है (यानी ऐसा लगता है कि आपको "कुछ करने की कोशिश करनी है" और शायद उस बिंदु तक पीछे जाना है)।

— हेरोल्ड

अरे, मैं द्विआधारी पहेली को हल करने के लिए एक कार्यक्रम बनाने की कोशिश कर रहा हूं, सिवाय इसके कि मेरे पास बहुत कठिन द्विआधारी पहेली को पूरा करने का कठिन समय है और इसे हल करने के लिए एक संकेत की आवश्यकता होगी। मेरा कार्यक्रम बहुत मुश्किल लोगों को छोड़कर सभी द्विआधारी समस्याओं को आसानी से कर सकता है

Answer 1

संपादित करें : मैंने जल्दी से शौकिया सबूत को पूरा किया जो मैंने कुछ महीने पहले शुरू किया था और कभी खत्म नहीं हुआ।

आप इसे मेरे ब्लॉग पर पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड कर सकते हैं ... अभी तक किसी ने भी इसकी जांच नहीं की है, इसलिए प्रतिवेदन, टिप्पणियों और सुझावों का स्वागत है।

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मुझे नहीं पता कि कोई आधिकारिक प्रमाण है या नहीं, लेकिन कुछ महीने पहले मैंने एक प्लानर 3-सीएनएफ फॉर्मूला की नकल करने के लिए गैजेट्स बनाए थे; उदाहरण के लिए OR, SPLIT और TURN गैजेट हैं:

मैंने एक सरल बाधा समाधान कार्यक्रम का उपयोग करके गैजेट्स का निर्माण / जाँच की।

प्रत्येक पंक्ति / स्तंभ (नियम 2) की विशिष्टता को 2x2 ब्लॉक का उपयोग करके एक अद्वितीय "बाइनरी नंबर" के साथ चिह्नित किया जा सकता है जो "अंक" की तरह कार्य करता है:

01 = 0   10 = 1
10       01

और 1s और 0s (नियम 3) की समान संख्या को पूरी पहेली को प्रतिबिंबित करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है, और 1s के साथ 0s प्राप्त कर रहा है (बीच में विशेष दीवारों का उपयोग करके जो नियमों को तोड़ने के बिना संक्रमण की अनुमति देते हैं):

  3CNF simulation    |  wall  | 3CNF sim. with  | 0000 (using 2x2 blocks)
                     |        | 0,1 inverted    | 0001
 --------------------+        +-----------------+ 0010
    wall                        wall            | ....
 --------------------+        +-----------------+ ....
  3CNF sim. with     |  wall  | 3CNF simulation |
  0,1 inverted       |        |                 |
 --------------------+--------+-----------------+
 0101 .... (using 2x2 blocks)
 0011 ....
 0000 ....

इसलिए यदि आंशिक रूप से भरा हुआ है तो निर्णय लेना $N \times N$

अन्य समान पहेलियों की तरह यह कहने के लिए तत्काल नहीं है कि यह एनपी में है (उदाहरण के लिए सस्टेनेरी नूरिकेबे पर चर्चा के लिए देखें )। प्रारंभिक बोर्ड एक पूर्ण स्ट्रिंग के रूप में दिया जाता है लेकिन अगर $\{0,1,\bot\}^{N \times N}$ (प्रतिनिधित्व नहीं है) के रूप में दिया जाता है, और आप यूनिक सॉल्यूशन की कमी (जो गेम का एक और नियम है) को छोड़ देते हैं, तो समस्या एनपी में है (और इस प्रकार एनपी-पूर्ण)।

Comments

मुझे लगता है कि आप प्लानर सर्किट SAT का मतलब है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मेरा मतलब है कि प्लानर टाइप 1 3CNF (3CNF क्लॉज और वैरिएबल के बीच द्विदलीय ग्राफ प्लान किया गया है)। एक गैजेट का उपयोग T / F असाइनमेंट को अनुकरण करने के लिए किया जाता है, दूसरे का उपयोग प्रत्येक क्लॉज पर एक T को बाध्य करने के लिए किया जाता है, 2 OR गैजेट्स का उपयोग प्रत्येक क्लॉज के दो ORs का अनुकरण करने के लिए किया जाता है और SPLIT को विभाजित करने के लिए और असाइनमेंट से सिग्नल को "कैरी" किया जाता है। खंड के लिए। अब मैं पेपर पूरा करने की कोशिश कर रहा हूं, जैसे ही मैं इसे पूरा करूंगा, मैं उत्तर में लिंक पोस्ट करूंगा।

— मार्जियो डी बियासी

तो, आप NP-complete planar cubic bipartite monotone 1-in-3 SAT समस्या से कम कर रहे हैं। सही?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

नहीं, "टाइप 1" का अर्थ है विशेष प्लानर 3CNF फार्मूला का उपयोग किया जाता है (टाइप 1 और टाइप 2 के बीच थोड़ा अंतर है)। मैंने पहेली गेम टेंट के एनपी-पूर्णता को साबित करने के लिए एक समान कमी का उपयोग किया ; आप उस कागज पर एक नज़र डाल सकते हैं, हालाँकि मुझे लगता है कि 1-2 दिनों में मैं बाइनरी सुडोकू समस्या का पूरा सबूत प्रकाशित करूँगा - उर्फ ​​बाइनरी पहेली (मैंने अभी गैजेट के स्नैपशॉट को पूरा किया है) (और मुझे आशा है कि आप ' यह देखने के लिए कि क्या यह वास्तव में काम करता है :-)

— Marzio De Biasi

सौभाग्य, मैं इंतजार नहीं कर सकता।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी