(संभवत: सक्सेसफुल) नुरिकाबे की जटिलता क्या है?

Question

नुरिबेबे एक बाधा-आधारित ग्रिड-भरने वाली पहेली है, जो कि माइन्सवेपर / नॉनोग्राम के समान है; संख्याओं को एक ग्रिड पर रखा जाता है, जिसे प्रत्येक सेल के लिए ऑन / ऑफ वैल्यू से भरना होता है, जिसके साथ प्रत्येक संख्या उस आकार की 'कोशिकाओं' पर कनेक्टेड 'और' ऑफ 'सेल्स के क्षेत्र में कुछ छोटी बाधाओं को दर्शाती है (यह जुड़ा होना चाहिए और इसमें कोई सन्निहित 2x2 क्षेत्र नहीं हो सकते)। विकिपीडिया पृष्ठ में अधिक स्पष्ट नियम और नमूना पहेलियाँ हैं।

आम तौर पर, इस तरह की पहेलियाँ एनपी-पूर्ण होती हैं, और नुरिकेबा कोई अपवाद नहीं है; वे एनपी में गिर जाते हैं क्योंकि समाधान ही समस्या के साक्षी (बहुरूपी-सत्यापन योग्य) के रूप में कार्य करता है। लेकिन सबसे समान पहेली के विपरीत, Nurikabe उदाहरणों संक्षिप्त हो सकता है: सुडोकू एक पर ग्रिड की आवश्यकता है Θ ( n ) व्याख्या करने योग्य होने के लिए गिवेंस (यदि कम से कम n - 1 गिवेंस पेशकश कर रहे हैं, तब वहाँ लापता प्रतीकों के बीच भेद का कोई रास्ता नहीं है) , नॉनोग्राम्स को स्पष्ट रूप से प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ के लिए कम से कम एक दिए जाने की आवश्यकता होती है, और माइनस्वीपर में कम से कम 1 होना चाहिए।$n\times n$$\Theta(n)$$n-1$कोशिकाओं में से 16 या किसी दिए गए (और जिसकी स्थिति इसलिए निर्धारित नहीं की जा सकती) के बगल में नहीं होगी। लेकिन जब एक Nurikabe पहेली का गिवेंस के साथ योग करने के लिए हैΘ(n2), यह है करने के लिए संभव हैहे(1)है कि आकार में से प्रत्येक गिवेंस, ताकिΘ(लॉग(एन))बिट्स एक Nurikabe पहेली निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त हो सकता है आकार केएन- या inverting,कश्मीरबिट्स घातीय में आकार का एक Nurikabe उदाहरण निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त हो सकता हैकश्मीर, जिसका अर्थ है कि केवल गारंटी है कि NEXP में समस्या निहित है।$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

दुर्भाग्य से, Nurikabe की कठोरता के सबूत के साथ मैं सब उपयोग निर्माण पाया है , लगातार आकार के गिवेंस इसलिए उनके उदाहरणों के बजाय ग्रिड आकार में बहुपद लघुगणक हैं, और मैं से इनकार नहीं कर सकते हैं कि सभी व्याख्या करने योग्य 'संक्षिप्त 'नुरिकाबे पहेलियाँ में अतिरिक्त संरचना है जैसे कि समाधानों का वर्णन किया जा सकता है और इसे पूरी तरह से सत्यापित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, एक उदाहरण मैं आकार के 2 गिवेंस के साथ एक पहेली के बारे में पता Θ ( n 2 ) पर और कोशिकाओं है कि प्रत्येक के मिलन हैं बंद दोनों के क्षेत्रों के लिए सुराग हे ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$आयतें, और इसलिए उनका अपना एक अलग वर्णन है। क्या किसी को अतिरिक्त एनपी-पूर्णता परिणाम से परे इस पहेली में किए गए अतिरिक्त शोध का पता है, और विशेष रूप से संभवतः आगे बढ़ने वाले मामलों के लिए कोई और जटिलता परिणाम?

(नोट: यह मूल रूप से math.SE पर पूछा गया था , लेकिन अभी तक इसका कोई जवाब नहीं आया है और यह इस साइट के लिए उचित रूप से अनुसंधान-स्तर लगता है)

Comments

स्टैडनिक: शायद आप नीचे दिए गए उत्तर के प्रकाश में अपने प्रश्न को स्पष्ट कर सकते हैं, या अन्यथा उत्तर को स्वीकार कर सकते हैं? (इसके अलावा, इसे पोस्ट करने के लिए धन्यवाद, सवाल के बारे में सोचने से मुझे पहेली के आधार पर निर्णय की समस्याओं के बारे में मेरी बेचैनी को समझने में मदद मिली।)

— एन्ड्रेस सलामोन

Answer 1

आप वास्तव में पूछ रहे हैं: एनपी में नुरिकाबे है?

नुरिकेब एनपी-हार्ड है, क्योंकि एक बहुपद-आकार के गैजेट्स का निर्माण किया जा सकता है जो नुरिबेबे निर्णय समस्या के एनपी-पूर्ण समस्या को कम करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यही होल्ज़र, क्लेन, और कुट्रीब करते हैं, और उनके पोस्टर में मैकफेल और फिक्स (दोनों विकिपीडिया लेख से संदर्भित) भी हैं।

लेखकों के दोनों समूहों का मानना ​​है कि समस्या एनपी में तुच्छ है, और सदस्यता के सवाल को दूर करती है। सक्सेस इंस्टैंस के बारे में आपकी बेचैनी हाजिर है - मुझे नहीं लगता कि समस्या एनपी में है। निर्णय समस्या को औपचारिक रूप देने के लिए निम्नलिखित तरीके पर विचार करें:

द्विआधारी NURIKABE
इनपुट: पूर्णांक m और n बाइनरी में , एक नुरिकेबे बोर्ड का प्रतिनिधित्व करता है, और तीनों की सूची, प्रत्येक बोर्ड पर एक स्थिति और उस स्थिति में लिखे गए एक सकारात्मक पूर्णांक को इंगित करता है।
प्रश्न: क्या नुरिकाबे बाधाओं का सम्मान करते हुए, बचे हुए पदों को दो रंगों से रंगा जा सकता है?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

आपका प्रश्न तब बन जाता है: क्या सभी द्विआधारी नुरिकाबे उदाहरणों के लिए बहुपद-आकार के प्रमाण पत्र मौजूद हैं, जिन्हें बहुपद समय में जांचा जा सकता है?

मेरे लिए यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह के प्रमाण पत्र आवश्यक रूप से मौजूद हैं। और न ही यह स्पष्ट है कि कोई व्यक्ति यह साबित करने के लिए कैसे आगे बढ़ेगा कि शीघ्रता से सत्यापन योग्य प्रमाणपत्र मौजूद नहीं हैं।

हालांकि, अद्वितीय समाधानों के प्रतिबंध का मतलब है कि समस्या वास्तव में यूएस -हार्ड है, इसलिए सह-एनपी-हार्ड, और इसलिए एनपी में होने की संभावना नहीं है। मुद्दा यह है कि अगर नूरिकेबे बाधा के रूप में एक "एक अनूठा समाधान" का संबंध है (उदाहरण के लिए मानवों के लिए वांछनीय विशेषता के विपरीत), तो यह प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि एक समाधान है, लेकिन एक भी होना चाहिए प्रदर्शित करता है कि कोई अन्य समाधान संभव नहीं है। यह आवश्यकता अकेले तब यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि समस्या शायद एनपी में नहीं है। यह समस्या के एकरूप संस्करण के लिए भी सही है।

संक्षेप में: यदि कोई अद्वितीय समाधान की आवश्यकता को शांत करता है, और बोर्ड के आकार को एकात्मकता में निर्दिष्ट करता है, तो निर्णय की समस्या एनपी में है; गैर-अद्वितीय समाधान और बाइनरी बोर्ड आकार के साथ, यह स्पष्ट नहीं है कि निर्णय समस्या एनपी में है या नहीं; और अद्वितीय समाधानों के साथ निर्णय समस्या यूएस-हार्ड है और इसलिए बोर्ड आकार के एन्कोडिंग के लिए एनपी में होने की संभावना नहीं है।