बाउंड डिग्री के साथ ग्राफ़ में वर्णिक संख्या को अनुमानित करने की कठोरता

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मैं बाध्य डिग्री के साथ रेखांकन के शीर्ष रंग पर कठोरता के परिणामों की तलाश कर रहा हूं।

ग्राफ को देखते हुए , हम जानते हैं कि किसी भी , यह लगभग एक कारक के भीतर के लिए कठिन है जब तक कि [ 1 ]। लेकिन क्या होगा यदि की अधिकतम डिग्री से ? क्या इस मामले में फॉर्म (कुछ ) की कोई कठोरता अनुपात हैं ? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

एक आसान सवाल यह है: जब उनके किनारे का आकार से बंधा होता है, तो हाइपरोग्राफ के किनारे-क्रोमेटिक-संख्या को अनुमानित करने की कठोरता । क्या हम इस मामले में कठोरता अनुपात की आशा कर सकते हैं ? (कहते हैं, किसी भी ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

ध्यान देने के लिए आपको धन्यवाद!

— afshi7n
स्रोत

3

आप अलग-अलग कोने के साथ एक कठिन उदाहरण पेश कर सकते हैं

— साशो निकोलेव

2

हां, लेकिन यदि आप जिस कठिन उदाहरण से शुरू करते हैं, उसके आकार पर बंधे हुए परिमित को लगाते हैं, तो यह कठोर होना बंद हो जाता है।

— डेविड एपपस्टीन

1

@ साशो को अलग-थलग करने में मदद कैसे की जा सकती है जब वे न तो रंगीन संख्या बढ़ाते हैं और न ही अधिकतम डिग्री?

— अफशिन एन

2

@DavidEppstein यकीन है, यह पैडिंग केवल कुछ साबित करता है अगर और अभी भी बहुपद से संबंधित हैं। ओपी, वह वास्तव में बिंदु है। आप के साथ एक उदाहरण के साथ शुरू कोने (अधिकतम इसलिए अधिकतम डिग्री ) जिसके लिए यह अनुमान लगाने के लिए कठिन है के भीतर करने के लिए । पृथक कोने जोड़ें । वही रहता है और अधिकतम डिग्री रहता है । यह बहुपद है यदि । इसलिए किसी भी पूर्णांक , अधिकतम डिग्री के साथ मौजूद उदाहरण हैं, जिसके लिए लगभग को भीतर करना मुश्किल है

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— साशो निकोलेव

अपडेट: किसी भी अतिरिक्त मान्यताओं के बिना, यह एक कारक के बिना लगभग को NP-hard है ।

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— सिरियाक एंटनी

9

डेविड के रूप में बताया, खोट के कागज,, प्रमेय 1.6 "MaxClique, क्रोमेटिक संख्या और अनुमानित ग्राफ़ रंग के लिए बेहतर Inapproximability परिणाम", यह एनपी कठिन रंग करने के लिए है का कहना है कि -colorable ग्राफ के साथ अधिकांश पर डिग्री के साथ रेखांकन के लिए रंग , पर्याप्त रूप से बड़े निरंतर । दूसरे शब्दों में, डिग्री ग्राफ़ के लिए , -colorable ग्राफ़ को रंगों के साथ रंगना कठिन है । $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

बेहतर डिग्री बाध्य करने के लिए, आप शायद ट्रेविसन के पेपर से विचारों का उपयोग कर सकते हैं "बाध्य डिग्री इंस्टीट्यूशन पर अनुकूलन समस्याओं के लिए गैर-अनुमानित परिणाम"। मुख्य अवलोकन यह है कि एफजीएलएसएस कमी से उत्पन्न ग्राफ पूर्ण द्विपद उपसमूह का एक संघ है, और उनमें से प्रत्येक को एक द्विदलीय फैलाव के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो बहुत विरल है। इसी तरह के विचार कई परिणामों में उपयोग किए जाते हैं जैसे चान http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , प्रमेय 1.4 / परिशिष्ट डी।

मुझे लगता है कि यह आपको लिए कुछ देना चाहिए। द्वारा बांधी गई डिग्री के -चीली रेखांकन , यह NP के लिए कठिन है, इसे कुछ निरंतर लिए रंगों के साथ रंग दें। । $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

माइकल द्वारा उल्लेखित पेपर में बंधी डिग्री खोट के समान है, अर्थात् ध्वनि मामले के घातांक। बेशक उपरोक्त स्पार्सिफिकेशन अप्रोच भी इसमें सुधार करता है, लेकिन संभवतः यह आपके उद्देश्य के लिए बेहतर निरंतरता नहीं देगा।

— sangxia
स्रोत

आपके उपयोगी उत्तर के लिए धन्यवाद, Sangxia। तो, खोत के कागज से, हम एक कठोरता अनुपात लगा सकते हैं। मुझे लगता है कि आपके पेपर में सुधार का उपयोग करते हुए, हम उस कठोरता अनुपात को सुधार कर सकते हैं । क्या वो सही है?

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— 1

@ afshi7n पैरामीटर यहां थोड़ा मुश्किल हैं। डिग्री के संदर्भ में, खोत का पेपर । मेरा पेपर मोटे तौर पर । हम ट्रेविसन के दृष्टिकोण के साथ कमी में ग्राफ की डिग्री में सुधार कर सकते हैं। मेरा मानना है कि इससे आपको । BTW इन सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़े निरंतर आवश्यकता होती है ।

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— सांगज़िया

1

मैं देखता हूं, धन्यवाद! मैंने खोट को ईमेल के माध्यम से भी पूछा, उन्होंने मुझे इस पेपर siam.org/proceedings/soda/2011/Soda11_124_guruswamiv.pdf के लिए संदर्भित किया, जो मेरा मानना है कि का 2-2 अनुमान है।

d^{c}

$d^c$

— अफशिन एन

8

4-रंग-निर्धारण वाले 3-रंगीन ग्राफ की कठोरता पर वेंकटेशन गुरुस्वामी और संजीव खन्ना के कारण, अधिकतम-अधिकतम डिग्री के साथ रंगीन ग्राफों की वर्णनात्मक संख्या का अनुमान लगाने की सर्वश्रेष्ठ ज्ञात कठोरता है : $3$

एक निरंतर जिसने अधिकांश में अधिकतम डिग्री के साथ एक रंगमंचीय ग्राफ दिया है , यह सिर्फ रंगों का उपयोग करके इसे रंगना एनपी-कठिन है । $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb ले
स्रोत

8

खोत के FOCS'01 पेपर में बाध्य डिग्री ग्राफ़िक्स को रंगने के लिए एक अनुपयुक्तता परिणाम है, "मैक्सक्लिक, क्रोमैटिक नंबर और अनुमानित ग्राफ़ रंग के लिए सुधारित अनुपयुक्तता परिणाम" - यह शायद आप चाहते हैं की तुलना में कमजोर है, लेकिन कम से कम यह सही दिशा में है।

उन्होंने कहा कि साबित होता है, एक पैरामीटर के लिए (स्थिर माना), और के लिए -chromatic रेखांकन डिग्री के साथ , यह colorings खोजने के लिए एनपी कठिन है कि उपयोग रंग। तो डिग्री संदर्भ में , यह एक कारक के भीतर रंग करना कठिन है , लेकिन समान अनुपयुक्तता अनुपात भी गुणात्मक संख्या का एक सुपरपोलीनोमियल फ़ंक्शन है। $k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

डेविड, आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। हां, मैंने उनका परिणाम देखा था, लेकिन मैं उम्मीद कर रहा हूं कि तुलना में कठोरता अनुपात बेहतर होगा । मुझे लगता है कि दूसरी समस्या में इसे हासिल करना आसान हो सकता है, यानी

\log d

$\log d$

— हाइपरोग्राफ्स

खोट से क्यों नहीं पूछा?

— चंद्रा चकुरी

1

@ चंद्र ने बस एक ईमेल भेजा और उनसे पूछा, सुझाव के लिए धन्यवाद! अगर मैंने वापस सुना तो मैं यहां अपडेट करूंगा।

— १०:१३ से १०:३३

वास्तव में, खोट द्वारा उद्धृत पेपर k-colorable और -colorable ग्राफ़ (not बीच अंतर साबित करता है । हाल ही में हुआंग द्वारा इसमें सुधार किया गया है। एक कागज है कि अगले STOC में दिखाई देगा में (। arxiv.org/abs/1301.5216 )

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

— माइकल Lampis

आपको क्यों लगता है कि और विभिन्न मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं? या मैं खोत के फार्मूले के अस्पष्ट ऑपरेटर की गलत व्याख्या कर रहा हूं?

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

— डेविड एपपस्टीन

4

यह परिणाम सहायक हो सकता है:

Emden-Weinert, Hougardy, और Kreuter साबित कर दिया कि निर्धारित करता है कि अधिकतम डिग्री के साथ एक ग्राफ एक रंग का उपयोग कर है (रंग एनपी पूरा हो गया है ) $\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

टी। एमडेन-वेइनर्ट, एस। होउगार्डी, बी। क्यूटेर, विशिष्ट रूप से कोलॉएबल ग्राफ और बड़े परिधि, कॉम्बिन के रंग रेखांकन की कठोरता। Probab। कंप्यूटर। 7 (4) (1998) 375–386

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत