हम कैसे व्यक्त कर सकते हैं ”

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7 साल पहले बंद हुआ ।

हम कैसे व्यक्त कर सकते हैं " $P=PSPACE$ “पहले क्रम के सूत्र के रूप में?
अंकगणितीय पदानुक्रम के किस स्तर में यह सूत्र शामिल है (और वर्तमान में पदानुक्रम का न्यूनतम स्तर ज्ञात क्या है)?

संदर्भ के लिए, लिपटन का यह ब्लॉग पोस्ट देखें ।

cc.complexity-theory lo.logic descriptive-complexity

— मंगल ग्रह
स्रोत

math.stackexchange.com/questions/313634/…

— मंगल

शायद, आप उसी लिप्टन के प्रमाण का उपयोग कर सकते हैं जिसकी परिभाषा में PSP के बजाय एक PSPACE- पूर्ण समस्या का उपयोग किया गया है

ψ (x, c, y)

$\psi(x,c,y)$ और आपको लगता है कि

P \neq P S P A C E

$P \neq PSPACE$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\forall x, c \exists y ψ (x, c, y)

$\forall x,c \; \exists y \; \psi(x,c,y)$ यानी यह ए

Π_{2}

$\Pi_2$ वाक्य। लेकिन IMO यह एक तरह का "हैक" है ... :-)

— Marzio De Biasi

मैं अपने जीवन और सभी सांसारिक संपत्ति पर शर्त लगाऊंगा कि आप इसे "गलत" के रूप में प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। यही कारण है कि, यह प्रस्तावक तर्क में भी स्पष्ट है। :)

— शूल

@Shaull। ज़रूर। और एक बार जब आप दिखाते हैं कि यह सही प्रतिनिधित्व है, तो आप अपनी ज़रूरत के सभी सामान खरीद पाएंगे। कृपया इस बात का विरोध न करें कि टिप्पणी स्थान में प्रमाण होने के लिए बहुत कम है।

— विजय डी।

@ विजयाद - मैं चारा लूंगा: मुझे वास्तव में अद्भुत प्रमाण मिला है, और टिप्पणी स्थान पर्याप्त है। लेकिन मुझे फॉन्ट पसंद नहीं है ...

— Shaull

जवाबों:

सबसे पहले, मैं प्रश्न को टिप्पणियों को संबोधित करना चाहता हूं, जहां यह सुझाव दिया गया था कि "गलत" व्यक्त करता है $P = PSPACE$ क्योंकि बयान है झूठी। हालांकि यह एक अच्छा मजाक हो सकता है, इस तरह से सोचना वास्तव में बहुत हानिकारक है। जब हम पूछते हैं कि एक निश्चित औपचारिक प्रणाली में एक निश्चित वाक्य को कैसे व्यक्त किया जाए, तो हम सत्य मूल्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। यदि हम थे, तो जब किसी ने पूछा कि "मैं इस तथ्य को कैसे लिखूं कि असीम रूप से कई अपराध हैं?" हम "3 + 3 = 6" उत्तर दे सकते हैं, लेकिन यह स्पष्ट रूप से नहीं करेगा। उसी कारण से "असत्य" "मैं कैसे लिखूँ" का कोई मान्य उत्तर नहीं है $P = PSPACE$ "? मुझे लगता है कि फ्रीज और रसेल ने हमें उस सबक को सिखाने की बहुत कोशिश की। ठीक है, अब जवाब के लिए।

मुझे दिखाओ कि कैसे व्यक्त करना है $PSPACE \subseteq P$ , दूसरी दिशा समान है, और फिर आप उन्हें प्राप्त करने के लिए एक साथ जोड़ सकते हैं $PSPACE = P$ । किसी भी मामले में, आपके उद्देश्यों के लिए यह केवल व्यक्त करने के लिए पर्याप्त हो सकता है $PSPACE \subseteq P$ , आप क्या कर रहे हैं पर निर्भर करता है।

क्लेन के विधेय के निर्माण में उन के समान तकनीकों का उपयोग करना $T$ , हम एक बंधे हुए क्वांटिफ़ेर सूत्र का निर्माण कर सकते हैं $accept_{space}(k, m, n)$ (जो इस प्रकार रहता है $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$ ) यह कहते हुए "जब हम मशीन को इनकोडेड चलाते हैं $k$ और इसके अंतरिक्ष उपयोग को बाध्य करता है $|n|^m$ , मशीन इनपुट स्वीकार करता है $n$ ।" यहाँ $|n|$ की लंबाई है $n$ । यह देखने का एक अनौपचारिक तरीका है कि ऐसे सूत्र मौजूद हैं: यह दिया गया है $k$ , $m$ , तथा $n$ हम आदिम पुनरावर्ती की गणना कर सकते हैं कि हमें कितने समय और कितनी जगह की आवश्यकता है (यानी, अधिकतम पर $|n|^m$ अंतरिक्ष और अधिक से अधिक $2^{|n|^m}$ समय)। हम तो बस सभी संभव निष्पादन निशान के माध्यम से खोज करते हैं जो गणना सीमा के भीतर हैं - ऐसी खोज बल्कि अक्षम है, लेकिन यह आदिम पुनरावर्ती है और इसलिए हम इसे एक बंधे हुए सूत्र के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

एक समान सूत्र है $accept_{time}(k, m, n)$ जिसमें चलने का समय होता है $|n|^m$ ।

अब सूत्र पर विचार करें:

\forall k, m . \exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k, m, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$ यह कहता है कि प्रत्येक मशीन के लिए

k

$k$ जो अधिकांश स्थान पर उपयोग करता है

| n |^{m}

$|n|^m$ एक मशीन है

k^{'}

$k'$ जो ज्यादातर समय उपयोग करता है

| n |^{m^{'}}

$|n|^{m'}$ ऐसा है कि दो मशीनों बिल्कुल एक ही स्वीकार करता है

n

$n$ 'है। दूसरे शब्दों में, सूत्र कहता है

P S P A C E \subseteq P

$PSPACE \subseteq P$ । यह सूत्र है

Π_{3}^{0}

$\Pi^0_3$ ।

हम इसे सुधार सकते हैं यदि हम वाक्य के बजाय व्यक्त करने के लिए तैयार हैं " $TQBF$ बहुपत्नी में है ", जो अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त होना चाहिए, क्योंकि TQBF PSPACE पूर्ण है और इसलिए यह बहुपत्नी में समतुल्य है $PSPACE \subseteq P$ । चलो $k_0$ होना (कोड ऑफ) एक मशीन जो टीक्यूबीएफ को अंतरिक्ष में पहचानती है $|n|^{m_0}$ । फिर " $TQBF \in P$ ”के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k_{0}, m_{0}, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$ यह सूत्र सिर्फ है

Σ_{2}^{0}

$\Sigma^0_2$ । यदि मैं एक जटिलता सिद्धांतवादी था, तो मुझे पता होगा कि क्या यह और भी बेहतर करना संभव है (लेकिन मुझे संदेह है)।

— लेडी बाउर
स्रोत

आपका पहला पैराग्राफ लगभग एक तार्किक, इस तरह का पाठ रूप है: xkcd.com/169

— विजय D

प्रेमिका ने पहले ही समझाया है $P=\mathit{PSPACE}$ ए के रूप में लिखा जा सकता है $\Sigma^0_2$ -वाक्य। बता दें कि यह वर्गीकरण इस मायने में इष्टतम है कि यदि कथन एक के बराबर है $\Pi^0_2$ -संतोष, तो यह तथ्य संबंधित नहीं है। अधिक सटीक रूप से, oracles का सेट $A$ ऐसा है कि $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ द्वारा निश्चित है $\Sigma^0_2$ एक मुक्त दूसरे क्रम के चर के साथ -फॉर्मुला $A$ , लेकिन यह किसी भी द्वारा निश्चित नहीं है $\Pi^0_2$ -formula। तर्क उल्लिखित है (के लिए) $P=\mathit{NP}$ , लेकिन यह सिर्फ उसी के लिए काम करता है $\mathit{PSPACE}$ ) /mathpro/57348 पर टिप्पणियों में । (वास्तव में, कोई इस विचार के विस्तार से दिखा सकता है कि सेट है $\Sigma^0_2$ उपयुक्त अर्थों में अपूर्ण।)

संपादित करें: लिंक की गई टिप्पणी में दिया गया सामयिक प्रमाण छोटा है, लेकिन यह मुश्किल दिखाई दे सकता है। यहाँ एक सीधा मजबूर तर्क है।

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ ए के रूप में लिखा जा सकता है $\Pi^0_2$ -फॉर्म का फॉर्मूला $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$ , कहाँ पे $\theta$ है $\Delta^0_0$ । विरोधाभास के लिए मान लें कि $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ के बराबर भी है $\Pi^0_2$ -formula $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$ । Oracles ठीक करें $B$ , $C$ ऐसा है कि $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ तथा $P^C=\mathit{PSPACE}^C$ ।

जबसे $\phi(B)$ , वहां मौजूद $y_0$ ऐसा है कि $\theta(B,0,y_0)$ । तथापि, $\theta$ एक बंधा हुआ सूत्र है, इसलिए सत्य मूल्य का मूल्यांकन $\theta(B,0,y_0)$ केवल ओरेकल के एक सीमित हिस्से का उपयोग करता है। इस प्रकार, एक परिमित भाग मौजूद है $b_0$ का $B$ ऐसा है कि $\theta(A,0,y_0)$ हर तांडव के लिए $A$ विस्तार $b_0$ ।

चलो $C[b_0]$ अलंकृत करना जो विस्तार करता है $b_0$ , और इससे सहमत हैं $C$ कहाँ पे $b_0$ अपरिभाषित है। जबसे $P^A$ तथा $\mathit{PSPACE}^A$ अलंकृत में एक परिमित परिवर्तन से अप्रभावित हैं, हमारे पास है $\psi(C[b_0])$ । उपरोक्त तर्क के अनुसार, वहाँ मौजूद है $z_0$ और एक सीमित हिस्सा है $c_0$ का $C[b_0]$ ऐसा है कि $\eta(A,0,z_0)$ हर एक के लिए $A$ विस्तार $c_0$ । हम यह मान सकते हैं $c_0$ फैली $b_0$ ।

उसी शैली में जारी रखते हुए, हम संख्याओं के अनंत क्रम का निर्माण करते हैं $y_0,y_1,y_2,\dots$ , $z_0,z_1,z_2,\dots$ , और आंशिक oracles परिमित $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ ऐसा है कि

$\theta(A,n,y_n)$ हर तांडव के लिए $A$ विस्तार $b_n$ ,
$\eta(A,n,z_n)$ हर तांडव के लिए $A$ विस्तार $c_n$ ।

अब छोडो $A$ एक दैवज्ञ हो जो सभी को बढ़ाता है $b_n$ तथा $c_n$ । फिर 1 और 2 मतलब है कि $\phi(A)$ तथा $\psi(A)$ एक साथ पकड़, जो इस धारणा का खंडन करता है कि वे एक दूसरे के पूरक हैं।

— एमिल जेकाब
स्रोत

दुःखद है कि इतना अच्छा जवाब एक प्रश्न के लिए है जो अब बंद हो गया है ...

— arnab