रेखांकन जिसमें प्रत्येक न्यूनतम विभाजक एक स्वतंत्र सेट है

Question

पृष्ठभूमि: चलो एक अनिर्दिष्ट ग्राफ के दो कोने हो । एक शीर्ष सेट एक -separator है यदि और विभिन्न जुड़े हुए घटकों से संबंधित हैं । यदि कोई -separator का उचित उपसमूह नहीं है -separator है तो एक न्यूनतम -separator है। एक सेट एक (न्यूनतम) विभाजक है अगर वहाँ मौजूद ऐसा है कि एक (न्यूनतम) -सेपरेटर है।$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

जी। डीरेक के एक प्रसिद्ध प्रमेय में कहा गया है कि एक ग्राफ में कम से कम चार (जिसे त्रिभुजित या वर्णिक ग्राफ कहा जाता है) की लंबाई का कोई प्रेरित चक्र नहीं होता है, यदि और केवल तभी यदि उसका प्रत्येक न्यूनतम विभाजक एक गुच्छ है। यह भी सर्वविदित है कि त्रिकोणीय रेखांकन को बहुपद समय में पहचाना जा सकता है।

मेरे प्रश्न: ऐसे कौन से ग्राफ़ हैं जिनमें प्रत्येक न्यूनतम विभाजक एक स्वतंत्र सेट है? क्या इन ग्राफों का अध्ययन किया जाता है? और इन रेखांकन की मान्यता जटिलता क्या है? ऐसे रेखांकन के उदाहरणों में पेड़ और चक्र शामिल हैं।

Answer 1

आपके ग्राफ़ को इस पत्र http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf द्वारा विशेषता दी गई है ।

संपादित करें: ऊपर दिए गए पेपर में यह सिद्ध किया गया है कि ग्राफ जिसमें प्रत्येक न्यूनतम विभाजक एक स्वतंत्र सेट है, ठीक उसी तरह है जिसमें कोई भी चक्र बिल्कुल नहीं है।

ग्राफ, जिसका एक चक्र के साथ कोई चक्र नहीं है, का अध्ययन ट्रॉटिग्नन और वुसकोविक द्वारा किया गया है, ए स्ट्रक्चर फॉर थियोरम फॉर ग्राफ्स विद नो साइकिल जिसके साथ यूनिक कॉर्ड और इसके परिणाम हैं , जे ग्राफ थ्योरी 63 (2010) 31-67 डीओआई । इस पत्र के परिणामस्वरूप, इन ग्राफों को बहुपद समय में पहचाना जा सकता है। (हालांकि, इस पेपर ने स्वतंत्र न्यूनतम विभाजकों के कनेक्शन को इंगित नहीं किया!)

संपादित करें (17 सितंबर 2013): बहुत हाल ही में ( यहां देखें ), टेरी मैकी उन सभी ग्राफ़ों का वर्णन करता है जिनमें प्रत्येक न्यूनतम शीर्ष विभाजक एक क्लस्टर या एक स्वतंत्र सेट है। यह पता चला है कि ये कॉर्डल ग्राफ़ और ग्राफ़ के '' एज सम्स '' हैं जिनमें हर न्यूनतम वर्टेक्स सेपरेटर एक स्वतंत्र सेट है।

Answer 2

उन ग्राफ़ों का सबसे पहला लक्षण वर्णन किया गया है, जिसमें प्रत्येक न्यूनतम विभाजक एक स्वतंत्र सेट TA McKee में दिखाई देता है, "स्वतंत्र विभाजक रेखांकन," Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224। ये ठीक उसी तरह के रेखांकन हैं, जिसमें किसी भी चक्र में एक अद्वितीय राग नहीं है (या, समतुल्य है, जिसमें, प्रत्येक चक्र में, प्रत्येक राग में एक पार का राग होता है)।

Answer 3

बिना एक राग के चक्र के बिना ग्राफ़ पर दो नए पेपर हैं। दोनों मुख्य रूप से इन ग्राफ़िक्स को रंगने का काम करते हैं: http://arxiv.org/abs/1309.2749 और http://arxiv.org/abs/1311.1928 ।

बाद में एक मान्यता एल्गोरिदम भी देता है। लेकिन समय में एक तेज एक पहले से ही ट्रॉटिग्नॉन और वुसकोविक द्वारा पेपर में प्रदान किया जाता है (उपयोगकर्ता 13136 के जवाब में उद्धृत)।$O(m^2n)$$O(mn)$